湖南省湘西市边城高级中学2019年高三数学文期末试卷含解析

湖南省湘西市边城高级中学2019年高三数学文期末试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
设集合，，则=
A. B. C. D.U
参考答案：
A
2. 阅读右面的程序框图，则输出的=
A．14 B．30 C．20 D．55
参考答案：
B
略
3. 函数的图象为，如下结论中正确的是（）
A. 图象关于直线对称 B .图象关于点
对称
C.函数在区间内是增函数
D.向右平移个单位可得图象
参考答案：
C
4. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在（▲）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
参考答案：
A
略
5.
如图，三棱锥中，若三棱锥的四个顶点在同一球面上，则这个球的表面积为
A. B. C.
D.
参考答案：
答案：A
6. 若a、b，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】若可得b＞a＞0或a＜b＜0或a＞0＞b，从而可进行判断充分性与必要性【解答】解：若
则
∴或
即b＞a＞0或a＜b＜0或a＞0＞b
∴q?p，p推不出q
∴p是q成立的必要不充分条件
故选B
7. 已知集合M={x|x2+3x＜4}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1，2}
参考答案：
C
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合M，根据交集的定义写出M∩N．
【解答】解：集合M={x|x2+3x＜4}={x|x2+3x﹣4＜0}={x|﹣4＜x＜1}，N={﹣2，﹣1，0，
1，2}，
则M∩N={﹣2，﹣1，0}．
故选：C．
8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）
（A）（B）160 （C）（D）
参考答案：
C
略
9. 直线ax+by=0与圆x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
参考答案：
B
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】将圆的方程化为标准方程，表示出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由d=r可得出直线与圆位置关系是相切．
【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y+）2=，
∴圆心坐标为（﹣，﹣），半径r=，
∵圆心到直线ax+by=0的距离d===r，
则圆与直线的位置关系是相切．
故选：B．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
10. 若函数f(x)＝log a有最小值，则实数a的取值范围是()
A．(0,1) B．(0,1)∪(1，)
C．(1，) D．，＋∞)
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 由直线，曲线及轴所围成的图形的面积是___________.
参考答案：
【知识点】定积分在求面积中的应用．B13
解析：由定积分的几何意义，得围成的面积
.
【思路点拨】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由直线，曲线及轴所围成的图形的面积即求一个定积分即可，再计算定积分即可求得．
12. 已知实数满足，则的最大值为_______________.
参考答案：
略
13. 已知(为自然对数的底数),函数,则
__________.
参考答案：
7
略
14. 已知,则的最小值是____________
参考答案：
答案：6
15. 过原点O且斜率为的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为___________。

参考答案：
2
16. 已知，则_____________________。

参考答案：。

17. 记二项式展开式中的各项系数和为，二项式系数和为，则
=____________。

参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
参考答案：
曲线C的普通方程是．2分
直线l的普通方程是．4分
设点M的直角坐标是，则点M到直线l的距离是6分
．
因为，所以
当，即Z)，即Z)时，d取得最大值．
此时．
综上，点M的极坐标为时，该点到直线l的距离最大．10分
19. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出20名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]，然后画出如下所示频率分布直方图，但是缺失了第四组[70，80）的信息．观察图形的信息，回答下列问题．
（1）求第四组[70，80）的频率；
（2）从成绩是[50，60）和[60，70）的两段学生中任意选两人，求他们在同一分数段的概率．
参考答案：
【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）由各组的频率和等于1，由此利用频率分布直方图能求出第四组的频率．
（2）这是一个古典概型，分别求出总事件和基本事件的个数，然后求比值即可．
【解答】解：（1）因为各组的频率之和等于1，故第四组的频率为p=1﹣10×
（0.025+0.015×2+0.01+0.05）=0.3；…（6分）
（2）分数在“[50，60），[60，70）”的人数分别为3，3；…（7分）
记[50，60）中的3人为a1，a2，a3，[60，70）中的3位学生为b1，b2b3，从中选两人共有15种结果，…（10分）
他们在同一分数段有3+3=6种，…（12分）
他们在同一分数段的概率．…（13分）
【点评】本题考查频率的求法，概率的计算是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．
20. 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数零点的个数.
参考答案：
(1) ；(2)零点的个数为2.
【分析】
（1）求出导函数，得出，即可得到切线方程；
（2）根据为偶函数，只需讨论在的零点个数，结合导函数分析单调性即可讨论.
【详解】解:( 1)因为,
所以，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为；
(2)因为为偶函数,
所以要求在上零点个数,
只需求在上零点个数即可.
令,得,，
所以在单调递增,在单调递减,在单调递增,
在单调递减,在单调递增
列表得:
由上表可以看出在()处取得极大值,在()处取得极小值，
;
.
当且时
(或,)
所以在上只有一个零点
函数零点的个数为2.
【点睛】此题考查求函数在某点处的切线方程，求函数零点的个数，根据奇偶性分类讨论，结合单调性和极值分别考虑函数值的符号得解.
21. （本小题满分13分）
已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线
x2=的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足
·，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明埋由
参考答案：
22. （14分）圆内接等腰梯形，其中为圆的直径（如图）. （1）设，记梯形的周长为
，求的解析式及最大值；
（2）求梯形面积的最大值.
参考答案：
考点分析：本题涉及几何与函数，用函数的方法求解几何题中最值问题。

题目稍难，1.需要考虑几何图形中未知量的取值范围，2.第一问及到换元法（注意换元之后元的取值范围会发生变化）。

3.第二问中，求最值采用了导数的方法。

注意复合函数的求导法则。

解：（1）过点作于, 则1分
2分
3分
4分
令，则
5分
6分
当，即时有最大值5 7分
（2）设，则
8分
9分
Ks5u 10分
=0 11分
12分
且当时，，当时，
13分
所以当时，有最大值，即14分
或解：设，过点作于
是直径，
8分
9分
10分
11分
12分
Ks5u 13分
当时，，当时，
所以当时有最大值
14分
或解：设，则
8分
9分
10分
11分
12分
当且仅当，即时等号成立Ks5u 13分
所以当时，有最大值14分。