中考数学复习专题3+阅读理解问题

专题三阅读理解问题
专题透视■ 典例解析■ 专题实训
专题透视
阅读理解型问题是通过阅读材料，理解其实质，揭示其方法规律从而解决新问题.既考查学生的阅读能力、自学能力，又考查学生的解题能力和数学应用能力.这类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律.阅读理解题一般是提供一定的材料，或介绍一个概念，或给出一种解法等，让你在理解材料的基础上，获得探索解决问题的途径，用于解决后面的问题.
基本思路是：“阅读f分析一理解-解决问题
典例解析
一、新概念学习型
新概念学习型是指在题目中先构建一个新数学概念（或 定义），然后再根据新概念提出要解决的相关问题.主要目的 是考査学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力.解决这 类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习 的新概念和已有的知识相结合，并进行运用. nm （2015 -临沂）定义：给定关于x 的函数y,对于该函 数图象；n ；n
上任意两点（x p y。

, （x2, y2）.当Xi%时，都Wy1<y2>称该函数为增函数.根据上述定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有（填上所有正确答案的序
号).
①y=2x；②y=-x+l； @y=x2 (x>0) ； @y =
【分析】结合一次函数、二次函数、反比例函数的性质，严格按照新定义的要求验证即可.
【解答】假设点(X1，y T) , (x2, y2)在y=2x上, 当X］〈X2时，y?-y 1=2x2-2xi=2 g-x】)>0.
则y=2x是增函数.
同理可证y=x2 (x>0)是增函数，y=-x+l不是增函数.
y =--在每个象限内是增函数，但当x1<0<x2W,有yi>y2，则v y = -l 不是增函数.
1=1
【答彙］①③
【点评】本题考查了一次函数、二次函数及反比例函数的性质，正确理解增函数的定义是解题的关键.
翼②(2014・四川舟山)类比梯形的定义，我们定义：有 一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫作“等对 角四边形”.
(1)已知：如图1,四边形ABCD 是“等对角四边形”， /AUNC, ZA=70° , ZB=80° .求NC, ND 的度数.
(2)在探究“等对角四边形”性质时：
!1! !1! !1! U!
①小红画了一个“等对角四边形"ABCD (如图2),其中
!1!
ZABC=ZADC, AB=AD,此时她发现CB=CD成立.请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意'等对角四边形'，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”.你认为她的猜想正确吗 ?若正确，请证明；若不正确，请举出反例.
在“等对角四边形力ABCD 中，ZDAB=60° , AB=5, AD=4.求对角线AC 的长. (3)已知:
ZABC=90°
U!
【分析】（1）利用“等对角四边形”这个概念来计算.
!1!
（2）①利用等边对等角和等角对等边来证明；
②举例画图.
（3）①当ZADC=ZABC=90°时，延长AD, BC相交于点E, 利用勾股定理求解；
②当ZBCD=ZDAB=60°时，过点D作DE1AB于点E, DF丄
专题三阅读理解问题
BC 于点F,求线段利用勾股定理求解.【解答】
(1)如图IL.等对角四边形ABCD, ZA^ZC,
A ZD=ZB=80° ,
A ZC=360° -70° -80° -80° =130° .
专题三阅读理解问题
①如図Z,连核BD,
VAB=AD,
•I ZABD=ZADB.
•/ ZABC=ZADC,
:.Z ABC- ZABD= Z ADC- Z ADB,
:.ZCBD=ZCDB,
ACB=CD.
②不正确,
AB=AD,
但 CB^CD,反例：如图3, ZA=ZC=90° ，
C 图
(3)①如图4,当ZADC=ZABC=90°时，延长AD, BC相交于点E, V ZABC=90° , ZDAB=60° ,
AB=5,
AAE=10,
ADE=AE-AD=10-4=6.
VZEDC=90° , ZE=30° ,
二CD = 2>/3,
•I AC = V A D2+CD2=M +(2构2 = 2^7.
②如图5,当NBCD二NDAB二60。

时，过点D作DE±AB于点E,
DF±BC 于点F,
VDE±AB, ZDAB=60° ,AD=4, AE=2, DE = 2^3,
•••BE=AB—AE=5—2=3.
A DF=BE=3, BF=DE=2V5.
•.NBCD 二60。

，
•L CF = V3,
：・ BC = CF + BF =后 +
2^3 = 3^3,
二 AC = JAB 。

+ Be?=农 +
(3回2 = 2应. ..•四边形BFDE 是矩形,
!1! 图
5
【点评】本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是 理解并能运用“等对角四边形”这个概念.!1! II!
1. （2015 -四川巴中）定义2是不为1的有理数,我们把土称为Q的差倒数，如：2的差倒数是土 = 一1，一1的差倒数是 ]_：_]）=+.已知= ~ ,。

2是的差倒数，⑶是的差倒数,。

4是。

3的差倒数，…，以
2
此类推，贝Wzoi5= T・
2. (2015 -浙江台州)定义：如图1,点M, N把线段AB分割
成AM, MN和BN,若以AM, MN, BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M, N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知点M, N是线段AB的勾股分割点，若AM=2, MN=3, 求BN的长；
A M N B
(2)如图2,在ZkABC中，FG是中位线，点D, E是线段BC 的勾
股分割点，且EODENBD,连接AD, AE分别交FG于点M, N,求
(3)已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，
证：点M, N是线段FG的勾股分割点;
请在BC上画一点D,使C, D是线
（4）如图4,已知点M, N是线段AB的勾股分
割点,
段AB的勾股分割点; (要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可)
13
MN〉AMNBN, AAMC, ZXMND和ZiNEM均是等边三角形，AE分别交CM, DM, DN于点F, G, H,若H是DN的中点，试探究S/\AMF， S/XBEN和，四边形MNHG的数量关系,并说明理由.
解：（1 ）当MN为最大线段时，BN = VMN2-AM2 = J9_4 = V5;
当BN为最大线段时，
BN = VMN2 + AM2= J9 + 4 =而. /.BN = V^g V13
(2 )「FG是MBC的中位线,
「.FGIIBC.
AM AN AG f
• —— _____ —
•, MD NE GC •
二点M , N分别是AD , AE的中点.•.・BD=2FM , DE=2MN , EC=2NG.
. •点D , E是线段BC的勾股分割点,
fiEC>DE> D,
/.EC2=BD2+DE2f
即(2NG)2=(2FM)2+(2MN)2.
/.NG2=FM2+MN2.
二点M , N是线段FG的勾股分割点.
专题三阅读理解问题
(3)画如
* n D B
边形MNHG =S^AM F *S^BEN •理由如 （4 ） S 四T ：
・.H 是DN 師中点, A DH=HN^= C . •. △MND , ^BNE 均为等边三角形, .\zD=zDNE=60°. !1! 设AM=a , N=b, MN=c f
/zDHG=zNHE f
..△DGH 兰△NEH.
/.DG=EN=b f MG=c-b.
/GMllEN , ..△AGM K AEN.
= ^|fic2= 2a b-ac + be. b a + c ••点M , N是线段AB的勾股分割点,
/.c2=a2+b2.
.\(a-b)2=(b-a)c. 又b-afc , .\a=b> ffi^DGH 和KAF 中
zD=zC , DG=CA , zDGH=zCAF ,
.•.△DGH 竺KAF.
•'S DGH =S《AF・
vc2=a2+b2f
「S DMN =S AACM +S%NB・
‘△ACM =S《AF *S^AM F，
=S ADG H!1!边形MNHG，
!1!边形MNHG =S^AMF+S^BEN
・
二、新公式应用型
新公式应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的数学公式、定理、运算法则或解题思路等，进而运用这些知识和已有知识解决题目中提出的数学问题.解决这类问题, 不仅要求所运用的思想方法、数学公式、性质、运算法则或解题思路与阅读材料保持一致；还需要创造条件，准确、规范、灵活地解答.
Q3](2015 -江苏扬州)平面直角坐标系中，点P(x, y)的横坐标x的绝对值表示为|x|,纵坐标y的绝对值表示为|y|,我
们把点P(x, y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫作点P(x, y)的勾股值，记为: 「P」，艮卩「P」=x + y (其中“+”是
四则运算中的加法).
(])求点A(-l,3),B(V5 + 2,V5-2)的勾股值FAJ , 「B」；(2)点M在反比例函数y 的图象上，且「M」=4,求点M
的坐标；x
(3)求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积.
【分析】（1）按照定义的运算法则直接求出FAJ , FBJ的值. （2）先设点M的坐标为（x, y）,结合题干中条件求解即可. （3）根据「N」=3,知点N围成的图形是边长是32的正方
■ CJ
形，由此计算面积即可.
【解答】(1)「A」=| —11 + |3|=l+3 = 4.
r Bj = |V3~+21 + |-x/3 — 21 =A/^+2+2—海=2+2 = 4.
(2) ... 3=邑的图象在第一、三象限，且关于原点对称, 又点M 在反比例函数v =—
「•设点M在第一象限，坐标为（了,丄）, r Mj= |x| + | —| =.r+ —= 4.
X X
即x~ 4；r+3 = 0.
解得3或⑦一1.
则点M的坐标为（3,1）或（1,3）.
又..•点M还可能在第三象限，
则根据反比例函数图象关于原点的对称性知，
点M的坐标为（―3, —1）或（一1,—3）.
综上可知，点M的坐标为（3,1）或（1,3 ）或（一3, — 1）或（―13）.
(3)设点N的坐标为(心少，则丨
+ V =3.
则在直角坐标系中画出点N围成的图形如下: 由上图知点N围成的图象是由4个全等的等腰直角三角形围成的正方形.
一3
由图知等腰直角三角形的腰长是3,则正方形的边长AV32+32 = 3 72.
则图形的面积& = 3、2X3顼2=18. 即所有点N围成的图形的面积是1& 【点评】本题考查了有理数的运算、一元二次方程、反比例函数的性质及函数图象.解答第(2)问时，注意点M 的多解情况，不要漏解.解答第(3)问时，画出图形是解题的关键.
3. (2015 •甘肃武威)定义新运算：对于任意实数a, b 都有 a©b=a (a-b) +1,其中等式右边是通常的加法、减法及乘
式3①x< 13的解集为x>.l
三、新方法应用型
新方法应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新 的思想、方法或解题途径，进而运用这些知识和已有的知识 解决题目中提出的问题.
法运算，如: 1= 5=2X (2-5) +1=2X (-3) +1=-5.那么不等
（2015・四川遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题.
1 1 1 x \ / 1 I 1
汀舁：戸_耳_ 4 一、2 1 3
专题三阅读理解问题令l+l+i=z>则
专题三阅读理解问题
原式= (1-O(z _丄
—5 .
1 1 "(1—
问题:
）x（3+…计算:H* 1
014
:+…十见+思）
_1 _____ )X(丄+丄2 014 2 0157 k 2 丁3 （1一丄一丄一丄一〕
' 2 3 4 5 丄+丄--- 1——-—）4 丁5 丁丁2 014A
【分析】设； + ；+ ： + ：--- 2 J14 = ''代入原式
进行化简计算即可.
【解答】设土+§+土+§ +，,・+翥=切则原式=（1—z）X （z+&）一（1—L 点）Xz =/+2 015_产―2 015《_'+『 + 2 015''
=1
—2 015*
【点评】本题考査了有理数的混合运算，根据新方法正确换元是快速解答本题的关键.
4. （2014 -广东珠海）阅读下列材料：
解答"已知x-y=2,且x>l, y<0,试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解:x-y=2, .L x=y+2.
又..・x>l, .・.y+2>l,
XVy<0, A-l<y<0.
同理得l<x<2.
由①+②得-l+lXy+x<0+2.
/. x+y的取值范围是0<x+y<2.
请按照上述方法，完成下列问题：
=1
(1)已知x-y=3,且x>2, y<l,贝！|x+y的取值范围是；
(2)已知y>l, x<-l,若x-y二a成立，求x+y的取值范围(结
果用含a的式子表示).
解:(l) vx-y=3，二x=y+3 , 又・x > 2，二y+3 > 2，二y > -1 . 又y<l,
.>l<y<l, ®
同理得2 < X < 4 ,②
由①+②得・1+2 < y+x < 1+4. •・x+y的取值范围是1 v x+y < 5.
(2 ) \ x-y=a ,. .x=y+a ,
又・.x< -1 ，二y+a < -1 ，二y < -a-1, 又y > 1,
同理得a + l<xv.l,②
由①+②得
l+a + l<y+x< -a-l+ (-1),。