北京市东城区2019届高三4月综合练习(一模)数学(理)试卷

北京市东城区 2018-2019 学年度第⼆学期高三综合练习（一）
2019.4
数学 （理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的⼀一项。

（1）已知集合{}
2
20A x x x =+>，{}
210B x x =+>， 则A B =I
（A ）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭
（B ）12x x ⎧⎫>
⎨⎬⎩⎭
（C ） {}
0x x > （D ）R
（2）在复平⾯面内，若复数 (2)i z -对应的点在第⼆二象限，则z 可以为
（A ） 2 （B ）1- （C ） i （D ）2+i
（3）在平面直角坐标系XOY 中，角α 以OX 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m -≠ ，则下列各式的值一定为负的是
(A) sin cos αα+ (B) sin cos αα- (C) sin cos αα (D)
sin tan α
α
（4）正方体被一个平面截去⼀一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为
（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形
（5）若,x y 满足01026x y y y x +≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则x y -的最大值为
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4
（6）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点 C.若点F 是 的AC 中点，则线段BC 的长为 (A)
83 (B)3 (C) 163
(D)6 （7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则 积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所 截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平⾯面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的
(A) 充分⽽而不不必要条件 (B) 必要⽽而不不充分条件 (C) 充分必要条件
(D) 既不不充分也不不必要条件
（8）已知数列{}n a 满足：1a a =，+11
=(*)2n n n
a a n N a +∈，则下列关于{}n a 的判断正确的是
（A ）0,2,a n ∀>∃≥
使得n a < （B ）0,2,a n ∃>∃≥ 使得1n n a a +< （C ）0,*,a m N ∀>∃∈ 总有m n a a < （D ）0,*,a m N ∃>∃∈总有m n n a a +=
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

（ 9）在
6)x 的展开式中，2x 的系数是 .（用数字作答） （ 10 ）在ABC ∆中，若cos sin 0b C c B +=，则=C ∠ .
（ 11）若曲线cos :2sin x a C y θθ=+⎧⎨
=+⎩（θ为参数）关于直线1:22x t
l y t
=+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)对称，则
a = ； 此时原点O 到曲线C 上点的距离的最大值为 .
（ 12）已知向量a
=，向量b 为单位向量，且a ·b =1，则2 b- a 与2 b 夹角为 . （13）已知函数3()4f x x x =-，若1212,[,],x x a b x x ∀∈≠ 都有 12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则 满足条件的一个区间是 . （14）设A,B 是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：0,1,x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，，0,1,x B
n x B ∉⎧=⎨
∈⎩
①若A B ⊆.则对任意x R ∈，(1)m n -= ； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则 A,B 的关系为
.
三、解答题共 6 ⼩小题，共 80 分。

解答应写出⽂文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题 13 分） 已知函数()4cos sin()6
f x a x x π
=-
，且()13f π
= .
(Ⅰ ) 求a 的值及()f x 的最小正周期；
(Ⅱ ) 若()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求()f x 的最大值.
（16）（本小题 13 分） 改革开放 40 年年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国 2006 年至 2016 年体 育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．
（Ⅰ ）从 2007 年至 2016 年随机选择 1 年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多 亿 元以上的概率；
（Ⅱ ）从 2007 年至 2016 年随机选择 3 年，设X 是选出的三年中体育产业年增长率超
过 20%的年数，求X 的分布列列与数学期望；
（Ⅲ ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年 增加值方差最大？（结论不不要求证明）
（17）（本小题 14 分） 如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C - 中，点C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与
1A B 的 交点， E,F 分别为11,BC AC 的中点．
（Ⅰ ）求证：四边形11A ABB 为正方形；
（Ⅱ ）求直线EF 与平面 11A ACC 所成角的正弦值；
（Ⅲ ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线 EF 与平面1ACD 没有 公共点，求1
AD
DB 的值.
（18）（本小题 13 分）
设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x . （I ）若01x =，求 a 的值()f x 的单调区间；
（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于X 轴的下方？若存在，求出一个 点P 坐标，若不存在，说明理由.
（19）（本小题 13 分）
已知椭圆 22
:1(0)4x y C m m m
+=>与x 轴交于两点12,A A ，与y 轴的一个交点为B ，12
BA A ∆
的面积 为 2.
（Ⅰ ）求椭圆C 的方程及离心率；
（Ⅱ ）在y 轴右侧且平行于y 轴的直线l 与椭圆 交于不同的两点12,P P ，直线 11A P 与直线
22A P 交于点 P .以原点O 为圆心，以1A B 为半径的圆与 x 轴交于 两点M,N （点M 在点N
的左侧），求PM PN - 的值.
（20）（本小题 14 分）
已知L *∈N ，数列12:n A a a a L ，，
，中的项均为不大于L 的正整数. k c 表示12,,,n a a a L 中k 的个数(1)k L =L ，2，，. 定义变换T ，T 将数列A 变成数列()T A 12:(),(),
,()n t a t a t a 其
中12()k
c c c t k L n
+++=⋅
L .
（Ⅰ）若4L =，对数列A ：1，1，2，3，3，4，写出i c 4)i ≤≤(1的值；
（Ⅱ）已知对任意的(1,2,
,)k k n =，存在A 中的项m a ，使得m a k =.
求证： i i t a a =（）(1,2,,)i n =L 的充分必要条件为(12)i j c c i j L ==，，，，；
L （Ⅲ）若l n =，对于数列12:,,,n A a a a L ，令12(()):,,,n T T A b b b L ，求证：
()i i b t a =(1,2,,).i n =
北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）
2
019.4
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）B （3）D （4）A （5）D （6）C （7）B （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）60 （10）34π
（11
）3 （12）
60
（13）(0,1) (答案不唯一) （14）0 A B R =ð
三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）由已知()1
3f π=，得114122a ⨯⨯=，解得1a =.
4cos si n 6
x x x π
=-
21
4cos cos )2
cos 2cos 2cos 21
x x x x x x x x =-=-=-- 2sin(2)1
6x π
=--
所
以
()2sin(2)16
f x x
π
=--的最小正周期为
π. ............................7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2) 1.
6f x x π
=--
当[0,]x m ∈时，
2[,2],
666x m πππ
-∈--
若()f x 在区间[0,]m 上单调递增，
则有262m ππ-
≤，即3m π≤.
所
以
m 的最大值为
3π
. ............................13分
（16）（共13分）
解:（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增
加值多500亿元以上”．
由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故42
105
P A ==． ............................4分
（Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，3，且
36310C 1
(0)=
C 6
P X ==； 1246
310C C 1(1)=
C 2
P X ==；
2146
310C C 3(2)=
C 10
P X ==；
34310C 1
(3)=
C 30
P X ==.
所以X 的分布列为：
故X
的期望
11316()01236210305E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=． ............................10分
（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．
从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． ............................13分
（17）（共14分）
1
x
解：（Ⅰ）连结CO ． 因为C 在平面
11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，
所以CO ⊥平面1
1A ABB ． 由已知三棱柱
111ABC A B C -各棱长均相等，
所以AC BC =，且11A ABB 为菱形.
由勾股定理得OA OB =，即11AB A B =所以四边形11A ABB 为正方形. .....................5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知CO ⊥平面11,A ABB 1,.CO OA CO OA ⊥⊥
在正方形
11
A
ABB 中，
1OA OA
⊥
．
如图建立空间直角坐标系O
xyz -．
由
题
意
得
11(0,0,0),
(
O A A B
C C ，
(
E F
．
所以
1(2,2,0),(0,A A AC =-=-
设平面11A ACC 的法向量为(,,),
x y z =m
则
10,0.
AA
AC ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪
⎩m m 即
0,
0.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
令1,x =则1,
1.y z == 于是(1,1,1)=m ．
又因为3(EF =，
设直线EF 与平面11A ACC 所成角为θ，则
30
sin |cos |EF ,EF EF
θ⋅=〈〉=
=
m m m ．
所以直线EF 与平面1A AC
(10)
分
（Ⅲ）直线EF 与平面
1A CD
没有公共点，即EF ∥平面
1A CD
．
x
设D 点坐标为0(0,,0)y ，D 与O 重合时不合题意，所以00y
≠．
因为10(,0)A D y =，1(A C =．
设
111(,,)x y z =n 为平面1A CD 的法向量，
则1
10,0.A D
A C ⎧⋅
=⎪⎨
⋅=⎪
⎩n n 即
101110,
0.y
y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
令11x =
，则
1y =
11z =.
于是(1,,1)
=n .
若EF ∥平面
1A CD ，0EF ⋅=n .
又
3
(
EF =，
0=
，解得
0y = 此时
EF ⊄平面1ACD ，
所以
AD =
，1DB =所以
112AD DB =． ......................14分 （18）（共13分）
解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.
212(2)1(21)(1)
'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x +--+-=+--==
.
由已知，得(1)0f '=，解得1a =.
当1a =时，
(21)(1)
'(),
x x f x x +-=
当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.
所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+?
所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值. 即
()
f x '的极小值点为1时
a
的值为
1. ............................6分
（II ） 当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下：
由（I ）知
(21)(1)
'(),
x ax f x x
+-=
当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；
当0a >时，令
21)1)0
x ax x x +-=
=，得
1x a =
.
当
1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)
a 上单调递减； 当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增.
所以11()ln 1f a a
a =+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值. 由已知，若001x <<，则有
1
01a <
<，即1a >.
当
1
a >时，
ln 0a >，且
101a <
<，110a ->.
所以1
()0.
f a >
当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方.
故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下
方. ............................13分
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）因为0,m >由椭圆方程知：224,,a m b m a b ====
121
222
2BA A S ab m ∆=⨯===，所以 1.m =
所以椭圆C 的方程为2
21
4x y +=.
由2,1a b ==，222
a b c =+
，得c =
所以椭圆C
的离心率为
. ............................5分
（Ⅱ）设点(,)P P P x y ,
1002000(,),(,)(0),P x y P x y x ->不妨设12(2,0),(2,0),A A -
设
()0110:22y P A y x x =
++，()0220:22y
P A y x x -=--，
由()()00
002222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，得0004,2.
P P
x x y y x ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即0004,
42=.
22P
P
p P P P x x y x x y y y x ⎧
=⎪⎪⎪
⎨⎪⎪==⎪⎩
又2
2001
4x y +=，得2
224(
)414P P P
x y x +=，
化简得2
21(0).
4P P P x y x -=
>
因为
1(2,0),(0,1)
A B -
，所以
1A B =(M N
所以点P 的轨迹为双曲线2
21
4x y -=的右支，,M N 两点恰为其焦点，12,A A
为双曲
线
的
顶
点
，
且
124
A A =，所以
4
PM PN -=. ............................13分
（20）（共14分） 解
：（Ⅰ）
1=2
c
2=1
c
3=2c
4=1.
c ............................3分
（Ⅱ）由于对任意的正整数(1)k k L ≤≤，存在A 中的项m a ，使得m a k =. 所以12L
c c c L ，，
，均不为零.
必要性：若()i i t a a =(1)i n ≤≤，由于12()k
c c c t k L n +++=⋅
L ，
所以有1(1)1c t L n =⋅=；12(2)2c c
t L n +=⋅=；123(3)3
c c c t L n ++=⋅=；L
；
12
()L
c c c t L L n +++=⋅L .
通过解此方程组，可得(12)
i j c c i j L ==L ，，，，成立.
充分性：若
(12)
i j c c i j L ==L ，，，，成立，不妨设(12)
i j h c c i j L ===L ，，，，，可以得到
h L n ⋅=.
所以有：
(1)1h
t L n =⋅
=；2(2)2h t L n =⋅=；3(3)3
h
L n
==；L ；()Lh t L L L n =⋅=.
所
以
()i i
t a a =(1)
i n ≤≤成
立. ............................9分
（Ⅲ）设12:n A a a a L ，，，的所有不同取值为12m u u u L ，，
，，且满足：12m u u u <<<L . 不妨设12111212122212:,m
r r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ，，，，，，，，，，，， 其中
1
11121r u u u ==L =；2
21222r u u u ===L ；L ；
12m
m m mr u u u ==L =. 又因为L n =，根据变换T 有：
111112111
()()()()u r c t u t u t u t u L r n =====⋅
=L ；
12
221222212
()()()()u u r c c t u t u t u t u L r r n
+=====⋅
=+L ；;L
121212()()()()m
m u u u m m mr m m c c c t u t u t u t u L r r r L
n
+++=====⋅
=+++=L L L ；
所以
12111222():(),(),
,()(),(),
,()(),(),
,().
m m m m r r r T A t u t u t u t u t u t u t u t u t u 个
个
个
，，
即12111121212():,,
,,,
,,,
,.
m r r r T A r r r r r r r r r L L L +++个
个
个
，，，
所
以
12111121212(()):(),(),
,(),(),(),
,()(),(),
,().
m r r r T T A t r t r t r t r r t r r t r r t L t L t L +++个
个
个
，，
因为
11212,m r r r r r r <+<<++
+
所以有m rr L
=+=++++=.
因此，
112121211112,,
,
r r r r r b b b r b b b r r +++==
====
==+
1211211
2
12m m r r r r r r n m b b b r r r L
--++
++++
++==
==++
+=
即(()):T T A 12111121212,,
,,,
,,,
,.
m r r r r r r r r r r r r L L L +++个
个
个
，，，
从而
()(1,2,
,)i i b t a i n ==.
因此结论成
立. . ...........................14分。