贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高一下学期6月联考数学试卷

贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高一下学期6月
联考数学试卷
一、单选题
1．已知复数i(1i)z =-，则||z =（ ）
A ．2
B C ．5
D 2．设{}
12,e e u r u u r
是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A ．122e e +u r u u r 和12e e -u
r u u r B ．123e e -u r u u r
和2126e e -u u r u r
C ．123e e +u r u u r 和213e e +u
u r u r D ．1e u r 和12e e +u r u u r
3．已知a r ，b r ，e r 是平面向量，e r 是单位向量，若非零向量a r 与e r 的夹角为π
4
，向量b r 满足
2680b b e -⋅+=r r r
，则a b -r r 的最小值是（ ）
A 1
B 1
C 1
D ．24．,a b 为不重合的直线，,αβ为互不相同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b B ．若//a b ，//a α，b β//，则//αβ C ．若//a b ，//b α，则//a α
D ．若//a α，b α⊂，则//a b 或a 与b 异面
5．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos cos a C c A a +=，则ABC V 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形
D ．钝角三角形
6．下列说法不正确的是（ ）
A ．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B ．棱台的各侧棱延长线必交于一点
C ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D ．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
7．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为坐标原点，定义余弦相似度为
cos(,)cos ,A B OA OB =u u u r u u u r
，余弦距离为1cos(,)A B -．已知()cos ,sin P αα，()1,0Q ，若P ，Q
πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）
A B ．13 C ．D ．1
3
-
8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4,AB E =在线段1CD 上，则1AE B E +的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、多选题
9．下列命题中，真命题为（ ）
A ．复数z a bi =+为纯虚数的充要条件是0a =
B ．复数13z i =-的共轭复数为13z i =+
C ．复数13z i =-的虚部为3-
D 1i =+，则2z i =
10．已知a r ，b r
，c r 是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A ．一定存在实数x ，y 使得a xb yc =+r r r
成立
B ．若a b a c ⋅=⋅r r r r 且b c =r r ，那么一定有()
·0a b c -=r r r
C ．若()()a c b c -⊥-r r r r ，那么|||2|a b a b c -=+-r r r r r
D ．若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，那么a r ，b r
，c r 一定相互平行
11．已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（ ）
A ．该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B ．该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C ．该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D ．该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万
三、填空题
12．若3AB =，2AC CB =u u u r u u u r
，平面内一点P ，满足PA PC PB PC PA PB
⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，sin PAB ∠的最大值是．
13．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
()
2
222
s i n 02s i n c o s 2b
c a C c b A C
b c
+-+=+，a =则b c +的取值范围是．
14．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a ，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a 的最大值是.
四、解答题
15．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄
球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是1
2.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i ）写出该试验的样本空间Ω；
（ii ）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这
个游戏是否公平，请说明理由.
16．为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位：t ），将数据按照[4.5,5.5)，
[5.5,6.5)，[6.5,7.5)，[7.5,8.5)，[8.5,9.5)，[9.5,10.5]分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已
知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.
(1)在这500个家庭中月均用水量在[7.5,8.5)内的家庭有多少户？ (2)求,a b 的值；
(3)估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
. 17．已知向量(,2)a x =r ，(3,1)b =-r
．
(1)若()(2)a b a b -⊥+r r r r ，且0x ≠，求向量a r 在向量b r
上的投影向量的坐标；
(2)若向量(8,2)m =u r ，且()//a b m +r r u r ，求向量a r ，b r
夹角的余弦值． 18．在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知2b =
，cos a C C b =+． (1)求角B ；
(2)若M 是ABC V 内的一动点，且满足BM MA MC =+u u u u r u u u r u u u u r
，则BM u u u u r 是否存在最大值？若存在，
请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若D 是ABC V 中AC 上的一点，且满足BA BD BD BC BA BC ⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r ，求ABD BCD S
S V V 的取值范围． 19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -
中，1,AB D 为AB 的中点
.
(1)证明：AB ⊥平面1CC D .
(2)求异面直线1BC 与CD 所成角的余弦值.
(3)在1C D 上是否存在点E ，使得平面BCE ⊥平面1ABC ？若存在，求出1C E
ED
的值；若不存在，说明理由.。