第四章 平差数学模型与最小二乘原理

F F ( L , X x) F ( L, X 0 ) A Bx
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~ 条件平差法： F (L ) F ( L) rA O r ,1 r ,1 , n n ,1 r ,1
sin L2 S 2 S1 sin L1
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第二节 函数模型
在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型， 一般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而 得的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表 或者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它 的某种特征或内在联系的模型。前者称为模拟模型，后者 称为数学模型。总称为抽象模型。 在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量或 物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学 模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同， 它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以 平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研 究任何平差方法时必须同时予以考虑。
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差法。
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由图知
方程的个数等于观测值的个数。 一般而言，如果某平差问题有n个观测值，t个必要观测 ~ 值，选择t个独立量作为平差参数 X ，则每个观测量必定可 t ,1 以表达成这个t个参数的函数，即有 ~ ~ L F(X ) n ,1
如果这种表达式是线性的，一般为 ~ ~ L B X d n ,1 n ,t t ,1 n ,1 例如
0
F L
~ L, X 0

F1 L2 F2 L2 Fn L2
~ ~ ~
F X
~ L, X 0
x
F1 X2 F2 X2 Fn X2
~ ~ ~
F1 ~ L1 F2 F ~ A ~ c ,n L1 L Fn ~ L1
第四章 平差的数学模型与 最小二乘原理
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第一节 测量平差概述
一、几何模型
在测量工程中，最常见的是要确定某些几何量的大 小。例如，为了求定一些点的高程而建立了水准网，为了 求定某些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前 者包含点间的高差、点的高程等元素，后者包含角度、边 长、边的方位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些 元素都是几何元素，以下统称这些网为几何模型。
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二、条件方程
在测量工程中，为了求得一个几何模型中各量的大小 就必须进行观测。如果总共观测了该模型中n个量的大小， 若观测个数少于必要元素的个数，即n<t，显然它无法确定 该模型，即出现了数据不足的情况；若观测了t个独立量， n=t，则可唯一地确定该模型。由于它们都是独立量，故不 存在任何条件方程，在这种情况下，如果观测结果中含有 粗差甚至错误，都将无法发现，在测量工作中是不允许这 样做的。为了能及时发现粗差和错误，并提高测量成果的 精度，就必须使n>t，若令 r=n-t 式中n为观测值个数，t称为必要观测数，r称为多余观 测数。多余观测数在测量中又称“自由度”。
1 2
( L11 ) ( L2 2 ) ( L3 3 ) 180
sin( L2 2 ) ( S 2 S ) ( S1 S ) sin( L1 1 )
2 1
若用观测值组成上述两个条件方程，则不能成立，即
L1 L2 L3 180 0
~ ~~ ~ T L [ L1 L2 L3 ] 在ΔABC中，观测量为其中三个内角 3 ,1 ~ ~ ，即 选定∠A和∠B为平差参数，设为 X 和X 2 1 ~ ~ ~ T X [ X X2] 1 2 ,1 因为通过这t=2个参数可以唯一地确定该三角形的形状。 将每一个观测量均表达为这两个平差参数的函数，
附有参数的条件平差法的函数模型。 此平差问题，由于选了u个独立参数，方程总数由r个增 加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。
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四、附有限制条件的间接平差法
如果进行间接平差，就要选出t个独立量为平差参数， 按每一个观测值所选参数间函数关系，组成n个观测方程。 如果在平差问题中，不是选t个而是选定u>t个参数，其中 包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数 的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是 用业约束参数之间应满足的关系。因此，在选定u>t个参数 进行间接平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s个 约束参数的条件方程，故称此平差方法为附有限制条件的
0 d 0 180
将
~ L L 代入，并令
l Ld
则有
BX l
~ E (l ) BX
考虑E（）=0，上式也可写成
就是间接平差的函数模型。 尽管间接平差法是选了t个独立参数，但多余观测数不 随平差不同而异，其自由度仍是r=n-t。
L [h1 h2 h3 h4 h5 h6 ] 6 ,1
为了确定B、C、D三点的高程，其必要观测数（即必要元 素）t=3，故多余观测数r=n-t=3。应列出3个线性无关的条 件方程，它们可以是
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~ ~ ~ ~ F1 ( L ) h1 h2 h3 0 ~ ~ ~ ~ F2 ( L ) h2 h5 h6 0 ~ ~ ~ ~ F3 ( L ) h3 h4 h6 0
~ ~ F ( L X ) 0 C ,1
c ,1
将L L 代入上式，并令 则得
~
~ ~ A L B X A 0 0 c , n n ,1 c ,u u ,1
W ( AL A0 ) ~ A cB X W O c , n n ,1 ,u u ,1 c ,1 c ,1
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则上式可写成
~ ~ A L B X A0 0 2 , 3 3 ,1 2 ,1
2 ,1
一般而言，在某一平差问题中，观测值个数为n，必要 观测数为t，多余观测数r=n-t，再增选u个独立参数，0<u<t， 则总共应列出c=r+u个条件方程，一般形式为 如果条件方程是线性的，其形式为
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一个几何模型如果有r个多余观测，就产生r个条件方 程。由于观测值不可避免地存在观测误差，由观测值组成 上述条件方程必不能满足，仍以（2）中情况为例，若观 测了角度L1、L2、L3和边长S1、S2，考虑观测误差，有
因r=n-t=5-3=2，可组成2个条件方程为
~ ~ ˆ L1 L1 1 , L2 L2 2 , L3 L3 3 ~ ~ S1 S1 S , S 2 S 2 S
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2
1. 确定几何模型的必要元素 （必要观测量） （1）几何模型的形状 2个 （2）形状、大小 3个 （3）形状、大小、位置 6个 2、必要元素的选取与性质 （1）能唯一确定该模型 （2）最少需要 （3）元素间不存在任何确定的 函数关系
h1
B h2 D h4 C h3
A
h6 h5
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第三节
函数模型的线性化
~ ~
条件方程的综合形式为：
F F ( L, X )
c ,1 n ,1 u ,1
为了线性化，取X的近似值 X 0： 取 L 的初值 L ：
~
X X 0 x
~
L L
~
将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及 以上项：
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F F ( L , X x ) F ( L, X )
间接平差法。
一般而言，附有限制条件的间接平差法可组成下列方程：
~ ~ L F ( X ) n ,1 u ,1
~ ~ (X ) 0 s ,1
线性形式的函数模型为
~ C X Wx O s ,u u ,1 该平差问题的自由度r=n-(u-s)。 s ,1 s ,1
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~ n B X nl,1 n ,1 ,u u ,1
1, 3
~ ~ ~ ~ T L3,1 [ L1 L2 L3 ]
A0 [180]
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则上式为
~ AL Ao 0
~ F (L ) 0
r ,1
一般而言，如果有n个观测值，t个必要观测，则应列 出r=n-t个条件方程，即
如果条件方程为线性形式，可直接写为
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返回差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数， 则可列出r=n-t个条件方程，现又增设了u个独立量作为参 数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。以 含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有参数
的条件平差法。
例如，在ΔABC中， ~ ~ ~ ~ T，选择∠A为平差参数， 观测量为三个内角， L [ L1 L2 L3 ] 此时，r=n-t=2-2=1，有一个条件方程，由于增加了一个参 ~ 数 ，应再增加一个条件方程。现列出如下 X ~ ~ ~ L1 L2 L3 180 0 ~ ~ L1 X 0, 令 1 1 1 0 180 A 1 0 0 , B 1 A0 0
1 1 1 0 0 0 A 0 1 0 0 1 1 3, 6 0 0 1 1 0 1
则上式为
~ A L 0 3, 6 6 ,1
又如在ΔABC中，观测了三个内角，多余观测r=n-t ~ ~ ~ =2-2=1，存在条件方程为 L1 L2 L3 180 0 令 A [1 1 1]
F1 F1 ~ ~ X 1 L n F2 F2 F ~ B ~ ~ L n c ,u X X 1 Fn Fn ~ ~ X 1 Ln L, X 0
F1 ~ Xu F2 ~ Xu Fn ~ Xu L, X 0
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函数模型是描述观测量与待求量间的数学函数关系的 模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。随机模型是 描述观测量及其相互间统计相关性质的模型。建立这两种 模型是测量平差中最基本而首先考虑的问题。
一、条件平差法的函数模型
以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。 现以水准网为例，说明条件平差的函数模型。图中A为已 知其高程的水准点，B、C、D均为未知点。网中观测向量 的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T
~ ~ L1 X 1 ~ ~ L2 X 2 ~ ~ ~ L3 X 1 X 2 180
~ ~ ~ ~ T L [ L1 L2 L3 ] ~ ~ ~ T X [ X1 X 2 ]
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0 1 B 0 1 1 1
A0为常数向量。 ~ 将 L L 代入并令 则
~ A L A0 O r ,n n ,1 r ,1
W ( AL A0 )
A W 0
为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程的个数。
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二、间接平差法
在一个几何模型中，最多只能选出t个独立量，如果在 进行平差时，就选定t个独立量作为参数，那末通过这t个 独立参数就能唯一地确定该几何模型了。换言之，模型中 的所有量都一定是这t个独立参数的函数，亦即每个观测 量都可表达成所选t个独立参数的函数。 选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一个观测 量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式， 以此为平差的函数模型，称为间接平差法，又称为参数平