无锡外国语学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案(1)

无锡外国语学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案(1)
一、压轴题
1．如图，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l ．
（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与△EAD 相似时，求出BF 的长．
2．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点
(0,3)C ，顶点为点D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACE
CEB
S S
=，求直线CE 的解析式
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边
形时，求点P 的坐标； （4）已知点450,
,(2,0)8H G ⎛⎫
⎪⎝⎭
，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知函数1221,(21)1y x m y m x =+-=++均为一次函数，m 为常数．
（1）如图1，将直线AO 绕点()1,0A -逆时针旋转45°得到直线l ，直线l 交y 轴于点B ．若直线l 恰好是1221,(21)1y x m y m x =+-=++中某个函数的图象，请直接写出点B 坐标以及m 可能的值；
（2）若存在实数b ，使得||(1)10m b b ---=成立，求函数
1221,(21)1y x m y m x =+-=++图象间的距离；
（3）当1m 时，函数121y x m =+-图象分别交x 轴，y 轴于C ，E 两点，
(21)1y m x =++图象交x 轴于D 点，将函数11y y y =的图象最低点F 向上平移
5621
m +个单位后刚好落在一次函数121y x m =+-图象上，设12y y y =的图象，线段OD ，线段
OE 围成的图形面积为S ，试利用初中知识，探究S 的一个近似取值范围．（要求：说出
一种得到S 的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．） 4．二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．
（1）当m =1时，求顶点P 的坐标； （2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63
m m
y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；
（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．
5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
6．如图，过原点的抛物线y=﹣1
2
x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），B为抛物线的顶点，
连接OB，点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC⊥OB，垂足为点C．
（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B的坐标；
（2）设点P的横坐标为m，将△POC绕着点P按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m的值；
（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n（0＜n＜2）个单位，点B、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n，使得四边形OB′C″A的周长最短？若存在，请直接写出n的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．
7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2
12
y x bx c =-
++与x 轴交于A ，B 两点，A 点坐标为(2,0)-，与y 轴交于点(0,4)C ，直线1
2
y x m =-
+与抛物线交于B ，D 两点．
（1）求抛物线的函数表达式； （2）求m 的值和D 点坐标；
（3）点P 是直线BD 上方抛物线上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交直线
BD 于点F ，过点D 作x 轴的平行线，交PH 于点N ，当N 是线段PF 的三等分点时，
求P 点坐标；
（4）如图2，Q 是x 轴上一点，其坐标为4,05⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，动点M 从A 出发，沿x 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M 的运动时间为t （0t >），连接AD ，过M 作
MG AD ⊥于点G ，以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，点M 在运动过程中，线段A Q ''的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段
A Q ''与抛物线有公共点时t 的取值范围．
8．四边形ABCF 中，AF ∥BC ，∠AFC =90°，△ABC 的外接圆⊙O 交CF 于E ，与AF 相切于点A ，过C 作CD ⊥AB 于D ，交BE 于G ． （1）求证：AB =AC ； （2）①证明：GE =EC ； ②若BC =8，OG =1，求EF 的长．
9．将抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ．
（1）直接写出抛物线1C ，2C 的解析式；
（2）如图（1），点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；
（3）如图（2），直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，M 为线段EF 的中点；直线4
y x k
=-
与抛物线2C 交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点．
10．⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，OB AC ⊥，OB 与AC 相交于点H ，
21012BC AC CD ===，．
（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长；
（3）若E为弦CD上的一个动点，过点E作EF//AC，EG//AD． EF与AD相交于点F，EG与AC相交于点G．试问四边形AGEF的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边BC，AB上，AF＝BE＝2，连结DE，DF，动点M在EF上从点E向终点F匀速运动，同时，动点N在射线CD上从点C沿CD方向匀速运动，当点M运动到EF的中点时，点N恰好与点D重合，点M到达终点时，M，N同时停止运动．
（1）求EF的长．
（2）设CN＝x，EM＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）连结MN，当MN与△DEF的一边平行时，求CN的长．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，的解析式
为，若将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点是，顶点是，连结.
（1）求抛物线的解析式； （2）求证：
∽
（3）半径为的⊙的圆心沿着直线
从点运动到
，运动速度为1单位/
秒，运动时间为秒，⊙绕着点顺时针旋转得⊙
，随着⊙的运动，求
的运动路
径长以及当⊙
与轴相切的时候的值.
13．如图所示，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，43BC =，30C ∠=︒，点D 从点C 出发
沿CA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒(0)t >，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、
EF .
（1）求证：AE DF =；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由； （3）当t =________时，DEF ∆为直角三角形.
14．如图，抛物线y ＝mx 2﹣4mx+2m+1与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 2﹣x 1＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E 是抛物线上一点，∠EAB ＝2∠OCA ，求点E 的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D ，动点P 从点B 出发，沿抛物线向上运动，连接PD ，过点P 做PQ ⊥PD ，交抛物线的对称轴于点Q ，以QD 为对角线作矩形PQMD ，当点P 运动至点（5，t ）时，求线段DM 扫过的图形面积．
15．如图，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，作ABC ∠的平分线交AC 于点D ，在AB 上取点O ，以点O 为圆心经过B 、D 两点画圆分别与AB 、BC 相交于点E 、F （异于点B ）．
（1）求证：AC 是O 的切线；
（2）若点E 恰好是AO 的中点，求BF 的长； （3）若CF 的长为
34
． ①求O 的半径长；
②点F 关于BD 轴对称后得到点F '，求BFF '∆与DEF '∆的面积之比．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2
0y ax bx c a =++>与x 轴交于点()
1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，且30OBC ∠=︒．点E 在第四象限且在抛物线上．
（1）如（图1），当四边形OCEB 面积最大时，在线段BC 上找一点M ，使得
12EM BM +
最小，并求出此时点E 的坐标及1
2
EM BM +的最小值； （2）如（图2），将AOC △沿x 轴向右平移2单位长度得到111AO C △，再将111AO C △绕点1A 逆时针旋转α度得到122AO C △，且使经过1A 、2C 的直线l 与直线BC 平行（其中
0180α︒<<︒），直线l 与抛物线交于K 、H 两点，点N 在抛物线上．在线段KH 上是
否存在点P ，使以点B 、C 、P 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （3，0），B （0，3）两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式；
（2）如图①，动点E 从O 点出发，沿着OA 方 向 以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时， 动点F 从A 点出发，沿着AB 方向以2个单位/ 秒的速度向终点B 匀速运动，当E ，F 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△AEF 为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点A 、B 在函数(0)m
y x x
=>的图象上，顶点C 、D 在函数(0)n
y x x
=
>的图象上，其中0m n <<，对角线//BD y 轴，且BD AC ⊥于点P ．已知点B 的横坐标为4．
（1）当4m =，20n =时，
①点B 的坐标为________，点D 的坐标为________，BD 的长为________． ②若点P 的纵坐标为2，求四边形ABCD 的面积． ③若点P 是BD 的中点，请说明四边形ABCD 是菱形．
（2）当四边形ABCD 为正方形时，直接写出m 、n 之间的数量关系．
19．已知四边形ABCD 是矩形．
（1）如图1，E F 、分别是AB CD 、上的点，CE 垂直平分BF ，垂足为G ，连接
DG ．
①求证：DG CG =；
②若2BC AB =，求DGC ∠的大小；
（2）如图2，6AB BC ==，M N P 、、分别是AB CD AD 、、上的点，MN 垂直平分
BP ，点Q 是CD 的中点，连接,MP PQ ，若PQ MP ⊥，直接写出CN 的长．
20．在平面直角坐标系xOy 中，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，它们与直线
(0)x t t =>分别相交于点,P Q ．
（1）如图，函数1F 为
1y x =+，当2t =时，PQ 的长为_____； （2）函数1F 为3
y x
=
，当6PQ =时，t 的值为______； （3）函数1F 为2
(0)y ax bx c a =++≠，
①当b
t b
=
时，求OPQ △的面积； ②若0c >，函数1F 和2F 的图象与x 轴正半轴分别交于点(5,0),(1,0)A B ，当
1c x c ≤≤+时，设函数1F 的最大值和函数2F 的最小值的差为h ，求h 关于c 的函数解析
式，并直接写出自变量c 的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）21(6)33y x =
--；（2）333）323 【解析】
试题分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将C 点坐标代入求解即可．
（2）由于DE 是⊙A 的切线，连接AE ，那么根据切线的性质知AE ⊥DE ，在Rt △AED 中，AE 、AB 是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A 、D 关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD 的长，进而可利用勾股定理求得切线DE 的长．
（3）若△BFD 与EAD △相似，则有两种情况需要考虑：①△AED ∽△BFD ，
②△AED ∽△FBD ，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF 的长． 试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a （x-6）2+k ；
∵抛物线经过点A （3，0）和C （0，9）， ∴90{369
a k a k +=+=， 解得：1 {33
a k ==-
∴y=13
（x-6）2-3． （2）连接AE ；
∵DE 是⊙A 的切线，
∴∠AED=90°，AE=3，
∵直线l 是抛物线的对称轴，点A ，D 是抛物线与x 轴的交点，
∴AB=BD=3，
∴AD=6；
在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2-AE 2=62-32=27，
∴DE=33． （3）当BF ⊥ED 时； ∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF ，
∴△AED ∽△BFD ，
∴
AE AD BF BD =， 即363
BF =， ∴BF=
32； 当FB ⊥AD 时，
∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB ，
∴△AED ∽△FBD ，
∴AE ED BF BD
=， 即BF=33333
⨯=； ∴BF 的长为32
或3．
考点：二次函数综合题．
2．（1）2y x 2x 3=-++；（2）63y x =-+；（3）点P 的坐标为
(15,1),(13,1)-；（4）存在，点K 的坐标为(2,3)
【解析】
【分析】
（1）由于点A 、B 为抛物线与x 轴的交点，可设两点式求解；也可将A 、B 、C 的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；
（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出:3:5AE EB =，求出AE,根据点A 坐标可解得点E 坐标,进而求得直线CE 的解析式；
（3）分两种情况讨论①当四边形DCPQ 为平行四边形时；②当四边形DCQP 为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；
（4）根据抛物线的对称性，AF=BF ，则HF+AF=HF+BF ，当H 、F 、B 共线时，HF+AF 值最小，求出此时点F 的坐标，设()00,K x y ，由勾股定理和抛物线方程得0174KF y =-，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174，则点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，此时，0174
KS y =-,∴KF+KG=KS+KG,当S 、K 、G 共线且平行y 轴时，KF+KG 值最小，由点G 坐标解得0x ，代入抛物线方程中解得0y ，即为所求K 的坐标．
【详解】
解：（1）方法1：设抛物线的解析式为(3)(1)y a x x
将点(0,3)C 代入解析式中，则有1(03)31a a ⨯-=∴=-．
∴抛物线的解析式为()
222323y x x x x =---=-++． 方法二：∵经过,,A B C 三点抛物线的解析式为2y ax bx c =++，
将(1,0),(3,0),(0,3)A B C -代入解析式中，则有
30930c a b c a b c =⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++．
（2）:3:5ACE CEB S S ∆∆=，
13215
2
AE CO EB CO ⋅∴=⋅． :3:5AE EB ∴=．
3334882
AE AB ∴==⨯=． 31122
E x ∴=-+=． E ∴的坐标为1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
． 又C 点的坐标为(0,3)． ∴直线CE 的解析式为63y x =-+．
（3）2223(1)4y x x x =-++=--+．
∴顶点D 的坐标为(1,4)．
①当四边形DCPQ 为平行四边形时，由DQ ∥CP ，DQ=CP 得：
D Q C P y y y y -=-，即403P y -=-．
1p y ∴=-．令1y =-，则2231x x -++=-．
1x ∴=
∴点P 的坐标为(11)-．
②当四边形DCQP 为平行四边形时，由CQ ∥DP ，CQ=DP 得：
c Q D p y y y y -=-，即304P y -=-
1p y ∴=．令1y =，则2231x x -++=．
1x ∴=
∴点P 的坐标为(1．
∴综合得：点P 的坐标为(11),(1)-
（4）∵点A 或点B 关于对称轴1x =对称
∴连接BH 与直线1x =交点即为F 点．
∵点H 的坐标为450,8⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，点B 的坐标为(3,0)， ∴直线BH 的解析式为：154588y x =-
+． 令1x =，则154
y =． 当点F 的坐标为151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，HF AF +的值最小．11分 设抛物线上存在一点()00,K x y ，使得FK FG +的值最小．
则由勾股定理可得：()2
22001514KF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝
⎭． 又∵点K 在抛物线上， ()2
0014y x ∴=--+
()20014x y ∴-=-代入上式中， ()22
20001517444KF y y y ⎛⎫⎛⎫∴=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0174
KF y ∴=-． 如图，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174
．
∴点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 则0174
SK y =-． 000171717,444y y y ⎛⎫<∴-=- ⎪⎝⎭
（两处绝对值化简或者不化简者正确．）
KF SK ∴=．
KF KG SK KG ∴+=+
当且仅当,,S K G 三点在一条直线上，且该直线干行于y 轴，FK FG +的值最小． 又∵点G 的坐标为(2,0)，
02x ∴=，将其代入抛物线解析式中可得：03y =．
∴当点K 的坐标为(2,3)时，KF KG +最小．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．
3．（1）（0,1）；1或0 （22（3）
348131200010
S << 【解析】
【分析】
（1）由题意，可得点B 坐标，进而求得直线l 的解析式，再分情况讨论即可解的m 值； （2）由非负性解得m 和b 的值，进而得到两个函数解析式，设1y 与x 轴、y 轴交于T ，P ，2y 分别与x 轴、y 轴交于G ，H ，连接GP ，TH ，证得四边形GPTH 是正方形，求出GP 即为距离；
（3）先根据解析式，用m 表示出点C 、E 、D 的坐标以及y 关于x 的表达式为()221221421y y y m x m x m =⋅+++-=，得知y 是关于x 的二次函数且开口向上、最低
点为其顶点()222212,2121m m F m m ⎛⎫- ⎪-- ⎪++⎝⎭
,根据坐标平移规则，得到关于m 的方程，解出m 值，即可得知点D 、E 的坐标且抛物线过D 、E 点，观察图象，即可得出S 的大体范围，如：ODE S S
<，较小的可为平行于DE 且与抛物线相切时围成的图形面积． 【详解】
解：（1）由题意可得点B 坐标为（0,1），
设直线l 的表达式为y=kx+1，将点A （-1,0）代入得：k=1，
所以直线l 的表达式为：y=x+1, 若直线l 恰好是121y x m =+-的图象，则2m-1=1,解得：m=1，
若直线l 恰好是2(21)1y m x =++的图象，则2m+1=1,解得：m=0，
综上，()0,1B ，1m =或者0m =
（2）如图，()110m b b ---=
()110m b b ∴+--=
0m ≥，10b -≥
0m ∴=，10b -=
0m ∴=
11y x ∴=-，21y x =+
设1y 与x 轴、y 轴交于T ，P ，2y 分别与x 轴、y 轴交于G ，H ，连接GP ，TH
1OG OH OP OT ====，PH GT ⊥
∴四边形GPTH 是正方形
//GH PT ∴，90HGP ∠=︒，即HG GP ⊥
2HP =
2GP ∴=
（3）121y x m =+-，()2211y m x =++
121y x m =+-分别交x 轴，y 轴于C ，E 两点
()12,0C m ∴-，()0,21E m -
()2211y m x =++图象交x 轴于D 点
1,021D m -∴+⎛⎫ ⎪⎝⎭
()()()22122121121421y y y x m m x m x m x m =⋅=+-++=+++-⎡⎤⎣⎦
1m >
210m ∴+>
∴二次函数()2221421y m x m x m =+++-开口向上，它的图象最低点在顶点
∴顶点()222212,2121m m F m m ⎛⎫- ⎪-- ⎪++⎝⎭ 抛物线顶点F 向上平移5621
m +,刚好在一次函数121y x m =+-图象上 ()()2
22
2156221212121m m m m m m -∴-+=-+-+++且1m
2m ∴=
2125163(3)(51)y y y x x x x =⋅=+=∴+++，
∴13y x =+，251y x =+
∴由13y x =+，251y x =+得到1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，()0,3E ， 由25163y x x =++得到与x 轴，y 轴交点是()3,0-，1
,05⎛⎫- ⎪⎝⎭
，()0,3， ∴抛物线经过1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，()0,3E 两点 12y y y ∴=⋅的图象，线段OD ，线段OE 围成的图形是封闭图形，则S 即为该封闭图形的面积
探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．
探究过程：
①观察大于S 的情况．
很容易发现ODE S S < 1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，()0,3E 11332510ODE S =⨯⨯=，310
S ∴< （若有S 小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）
②观察小于S 的情况．
选取小于S 的几个特殊值来估计更精确的S 的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：
位置一：如图
当直线MN 与DE 平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN 与x ，y 轴分别交于M ，N 1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，()0,3E ∴直线:153DE y x =+ 设直线1:15MN y x b =+
25163y x x =++
21530x x b ∴++-=
()1430b ∴∆=-⨯-=，15920b =
∴直线59:1520MN y x =+
∴点59,0300M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
15959348122030012000OMN S =⨯⨯=∴，348112000
S ∴> 位置二：如图
当直线DR 与抛物线有唯一交点时，直线DR 与y 轴交于点R
设直线2:DR y kx b =+，1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
∴直线1:5
DR y kx k =+ 25163y x x =++
()21516305
x k x k +-∴+-= ()211645305k k ⎛⎫∴∆=--⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，14k =
∴直线14:145DR y x =+
∴点140,5R ⎛⎫ ⎪⎝⎭
1141725525ODR S ∴=⨯⨯=，725
S ∴> 位置三：如图
当直线EQ 与抛物线有唯一交点时，直线EQ 与x 轴交于点Q
设直线:3EQ y tx =+ 25163y x x =++
()25160x t x +∴-=
()2
160t ∴∆=-=，16t = ∴直线:163EQ y x =+
∴点3,016Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 139321632OEQ S =⨯⨯=∴，932
S ∴> 348197120003225
>> 我们发现：在曲线DE 两端位置时的三角形的面积远离S 的值，由此估计在曲线DE 靠近中间部分时取值越接近S 的值
探究的结论：按上述方法可得一个取值范围348131200010
S << （备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）
【点睛】
本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．
4．（1）P （2，
13
）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．
【解析】
【分析】 （1）把m =1代入二次函数22(0)63
m m y x x m m =
-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可； （2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m m y x x m m =
-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可； （3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；
②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．
【详解】
解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =
-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13
）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =
-+>的图象上， ∴2263
m m b a a m =-+， 即：2263m m b m a a -=- ∵0b m ->， ∴2263
m m a a -＞0， ∵m ＞0，
∴2263
a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，
∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；
（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，
∵二次函数的解析式为2263
m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，
3
m
）， 当x=0时，y=m ， ∴点A （0，m ）， ∴OA=m ；
设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把点A （0，m ），点P （2，
3
m
）代入，得： 23
m b m
k b =⎧⎪
⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m
⎧
=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线AP 的解析式为y=3
m
-x+m ， 当y=0时，x=3， ∴点B （3，0）； ∴OB=3；
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°， 且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB ， 在△ADF 和△ABO 中，
DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADF ≌△ABO （AAS ），
∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D 的坐标为：（m ，m+3）； ②由①同理可得：C （m+3，3），
∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，
∴当x =m 时，3y m ≤+，可得3
2
2363m m
m m -+≤+，化简得：32418m m -≤．
∵0m >，∴2184m m m -≤，∴2
18(2)4m m
--≤，
显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，
当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m
-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；
当x = m +3时，y ≥3，可得2
(3)2(3)
363m m m m m ++-+≥，
∵0m >，∴21823m m m ++≥，即2
18(1)2m m
++≥，
显然：m =1不是上述不等式的解，
当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m
++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；
综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4． 【点睛】
本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．
5．（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）①存在，点P 的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②点M （﹣
43，﹣359
） 【解析】 【分析】
（1）y ＝ax 2+bx ﹣3＝a （x +3）（x ﹣1），即可求解；
（2）①分点P （P ′）在点C 的右侧、点P 在点C 的左侧两种情况，分别求解即可； ②证明△AGR ≌△RHM （AAS ），则点M （m +n ，n ﹣m ﹣3），利用点M 在抛物线上和AR ＝NR ，列出等式即可求解． 【详解】
解：（1）y ＝ax 2+bx ﹣3＝a （x +3）（x ﹣1）， 解得：a ＝1，
故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C 、D 的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C 、D 的坐标知，直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3；
tan∠BCO＝1
3
，则cos∠BCO＝
3
10
；
①当点P（P′）在点C的右侧时，
∵∠P′AB＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，∵∠PBC＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则
BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH
10
22 3110 +
解得：CH＝5
3
，则OH＝3﹣CH＝
4
3
，故点H（0，﹣
4
3
），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝4
3
x﹣
4
3
②，
联立①②并解得：
5
8 x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝1
3
，
故设直线AP的表达式为：y＝1
3
x s
+，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y＝1
3
x+1，
联立①③并解得：
4
3
13
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，故点N（
4
3
，
13
9
）；
设△AMN 的外接圆为圆R ，
当∠ANM ＝45°时，则∠ARM ＝90°，设圆心R 的坐标为（m ，n ）， ∵∠GRA +∠MRH ＝90°，∠MRH +∠RMH ＝90°， ∴∠RMH ＝∠GAR ，
∵AR ＝MR ，∠AGR ＝∠RHM ＝90°， ∴△AGR ≌△RHM （AAS ）， ∴AG ＝m +3＝RH ，RG ＝﹣n ＝MH ， ∴点M （m +n ，n ﹣m ﹣3），
将点M 的坐标代入抛物线表达式得：n ﹣m ﹣3＝（m +n ）2+2（m +n ）﹣3③， 由题意得：AR ＝NR ，即（m +3）2＝（m ﹣
43）2+（139
）2
④， 联立③④并解得：29
109m n ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
故点M （﹣43，﹣359
）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、圆的基本知识等，其中（2）①，要注意分类求解，避免遗漏． 6．（1）2122
y x x =-
+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=2
7时，
抛物线向左平移． 【解析】 【分析】
（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；
（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得
到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2
m
），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；
（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】
解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12
-
x 2
+bx+c ． 得040c b b c =⎧
⎨-++=⎩，
∴02c b =⎧⎨=⎩
．
∴2211
2(2)222
y x x x =-
+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）． （2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．
∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．
∵O′P=OP=m ． ∴C′D=
12O′P=1
2
m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（3
2m ，2
m ）．
当点O′在y=12
-x 2
+2x 上． 则−
12
m 2
+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2．
当点C′在y=
1
2
-x2+2x上，
则
1
2
-×(3
2
m)2+2×
3
2
m＝
1
2
m，
解得：
120 9
m=，
20
m=（舍去）．
∴m=20 9
（3）存在n=2
7
，抛物线向左平移．
当m=20
9
时，点C′的坐标为（
10
3
，
10
9
）．
如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．
以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．
∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（10
3
，
10
9
），点B（2，2）．
∴点A′（8
3
，
8
9
）．
∴点A″的坐标为（8
3
，
28
9
）．
设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39
k=，
解得：k=7
6
．
∴直线OA″的解析式为y=7
6 x．
将y=2代入得：7
6
x=2，
解得：x=12
7
，
∴点B′得坐标为（12
7
，2）．
∴n=212277
-
=． ∴存在n=27
，抛物线向左平移． 【点睛】
本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2
m
）以及点B′的坐标是解题的关键．
7．（1）2
1
y=x +x+42﹣；（2）m=2，D(﹣1，
52)；（3）P （52，27
8 ）或P(1，92
)； （4）0＜t≤261
200
． 【解析】 【分析】
(1)根据A ，C 两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解． (2)通过(1)中的二次函数解析式求出B 点坐标，代入一次函数1
2
y x m =-+,即可求出m 的值，联立二次函数与一次函数可求出D 点坐标．
(3)设出P 点坐标，通过P 点坐标表示出N ，F 坐标，再分类讨论PN=2NF ，NF=2PN ，即可求出P 点(4)由A ，D 两点坐标求出AD 的函数关系式，因为以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，所以QQ '∥AD ，即可求出QQ '的函数关系式，设直线QQ '与抛物线交于第一象限P 点，所以当Q '与P 重合时，t 有最大值，利用中点坐标公式求出PQ 中点H 点坐标,进而求出MH 的函数关系式，令y=0求出函数与x 轴交点坐标，从而可求出t 的值,求出t 的取值范围． 【详解】
解：(1)∵A (2,0)-，(0,4)C 把A,C 代入抛物线2
12
y x bx c =-
++， 得：1
42b+c=02
c=4
⎧⨯⎪
⎨⎪⎩﹣－ 解得b=1
c=4⎧⎨⎩
∴2
1y=x +x+42
﹣．
（2）令y=0即
21x +x+4=02
﹣，
解得1x =2﹣
，2x =4 ∴B （4,0） 把B （4,0）代入1
2
y x m =-+ 得1042
m =-⨯+ m=2
1
22
y x =-
+， ∴21y=x +x+42
122y x ⎧
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
﹣ 得11x =15y =2⎧⎪⎨⎪⎩﹣ 或22x =4y =0⎧⎨
⎩ ∴B(4,0),D(﹣1，
5
2) ∴,m=2，D(﹣1，
5
2)． （3）设P （a ，
21a +a+42
﹣），则F （a ，1
a 22
-+）， ∵DN ⊥PH ，
∴N 点纵坐标等于D 点的纵坐标 ∴N(a ，52
) FN=
52－（1a 22-+）=11a 22+，PN=
21a +a+42﹣－52=213
a +a+22
﹣， ∵N 是线段PF 的三等分点， ∴①当FN=2PN 时，
11a 22+=2（213
a +a+22
﹣）， 解得：a=5
2
或a=﹣1（舍去）， ∴P （
52，
27
8
）． ②当2FN=PN 时， 2（
11a 22+）=（213
a +a+22
﹣）， 得a=1或a=﹣1（舍去）， ∴P(1,
9
2
)，
综上P 点坐标为P （
52，
27
8 ）或P(1,92
)， (4)由（2）问得D(﹣1，5
2
)，又A (2,0)-， 设AD ：y=kx+b ，
5k+b=22k 0b ⎧
⎪
⎨
⎪+=⎩
﹣﹣ ， ∴5k=2b=5
⎧⎪⎨⎪⎩ ， ∴AD ：y=
5
2
x+5， 又GM ⊥AD ，
∴可设GM ： y=
25
﹣x+p ， 以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''， ∴QQ '∥AD ， 可设QQ '：y=
52x+q ，又Q 4,05⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，代入QQ '， 得：
5
2
×45⎛⎫
-
⎪⎝⎭
+q=0， q=2， ∴QQ '：y=
5
2
x+2， 设直线QQ '与抛物线交于第一象限N 点,,所以当Q '与N 点重合时,t 有最大值，
∴25+22
1y=x +x+42y x ⎧=⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
﹣ ， 解得：11x =19y =2⎧⎪
⎨⎪⎩
或22x =4y =8⎧⎨⎩﹣﹣ ， ∴N(1,
92)又Q 4,05⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 设H 为N,Q 中点， 则H （
110，9
4
），
又∵H在直线GM上，
∴把H代入GM y=2 5
﹣x+p ，
得：921
=+p 4510
﹣，
P=229 100
，
∴y=2 5
﹣x+229 100
，
令y=0得：0=2 5
﹣x+229 100
，
∴x=229 40
，
即QM=229
40
+
4
5
=
261
40
，
∵M的速度为5，
∴t=261
40
÷5=
261
200
，
∴0＜t≤261 200
．
【点睛】
本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．
8．（1）见详解；（2）①见详解；②EF=2．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，则OA=OB=OC，先证明OA∥FC，则有∠ACE=∠CAO，由∠ABE=∠ACE，然
后得到∠AOB=∠AOC ，即可得到结论成立；
（2）①先证明BE 是直径，则先证明∠ACD=∠EBC ，由∠ABC=∠ACB ，则
∠BCD=∠ABG=∠ACE ，则得到∠EGC=∠ECG ，即可得到GE=EC ；
②由①可知，GE=EC=r+1，在直角三角形BCE 中，由勾股定理得222(2)8(1)r r =++，得到半径，然后得到EC 的长度；作OM ⊥CE 于点M ，则EM=3，即可求出EF 的长度．
【详解】
解：（1）连接OC ，则OA=OB=OC ，
∴∠ABO=∠BAO ，∠ACO=∠CAO ，
∵AF 是切线，
∴∠FAO=90°=∠AFC ，
∴OA ∥FC ，
∴∠CAO=∠ACE=∠ABO ，
∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO ，
∴∠AOB=∠AOC ，
∴AB=AC ；
（2）①∵AF ∥BC ，∠AFC=90°，
∴∠BCE=90°，
∴BE 是直径，
∵CD ⊥AB ，
∴∠DAC+∠ACD=∠BEC+∠EBC ，
∵∠DAC=∠BEC ，
∴∠ACD=∠EBC ，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ，
∴∠ABO+∠EBC=∠ACD+∠BCD ，
∴∠ABO=∠BCD=∠ACE ，
∴∠EBC+∠BCD=∠ACD+∠ACE ，
∴∠EGC=∠ECG ，
∴EG=EC ；
②作OM ⊥CE 于点M ，如图：
则四边形AOMF 是矩形，
∴AO=FM ，
∵OG=1，
设GE=EC=r+1，
在Rt △BCE 中，由勾股定理得
222BE BC CE =+，
∴222(2)8(1)r r =++，
解得：=5r （负值已舍去），
∴AO=FM=5，EC=6，
∵OM ⊥EC ，OM 是半径，EC 是弦， ∴116322
EM EC ==⨯=， ∴532EF FM EM =-=-=．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，切线的性质定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及矩形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行分析．
9．（1）抛物线1C 的解析式为： y=x 2-4x-2；抛物线2C 的解析式为：y=x 2-6；（2）点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线MN 经过定点（0，2）
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；
（2）先判断出点A 、B 、O 、D 四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到
∠BDA=∠BOA=45°，从而证出DAC △是等腰直角三角形．设点A 的坐标为（x ，x 2-4x-2），把DC 和AC 用含x 的代数式表示出来，利用DC=AC 列方程求解即可，注意有两种情况；
（3）根据直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M 的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N 的坐标，再用待定系数法求出直线MN 的解析式，从而判断直线MN 经过的定点即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ，
∴抛物线1C 的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x 2-4x-2，
抛物线2C 的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x 2-6．
（2）如下图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，连接AD ，
∵OAB 是等腰直角三角形，
∴∠BOA =45°，
又∵∠BDO=∠BAO=90°，
∴点A 、B 、O 、D 四点共圆，
∴∠BDA=∠BOA=45°，
∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，
∴DAC △是等腰直角三角形，
∴DC=AC ．
∵点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，
∴抛物线1C 的对称轴为x=2，
设点A 的坐标为（x ，x 2-4x-2），
∴DC=x-2，AC= x 2-4x-2，
∴x-2= x 2-4x-2，
解得：x=5或x=0（舍去），
∴点A 的坐标为（5，3）；
同理，当点B 、点A 在x 轴的下方时，
x-2= -(x 2-4x-2)，
x=4或x=-1（舍去），
∴点A 的坐标为（4，-2），
综上，点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）．
（3）∵直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，。