常用地一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式1.三重标量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合()a b c⨯∙叫做他们的三重标量积。

三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。

在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为(),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()123123,,,,,a a a a b b b b 及()123,,c c c c 则有()()123123123123123123c c c i jka b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ⨯∙=∙++=因此，三重标量积必有如下关系式：()()()a b c b c a c a b ⨯∙=⨯∙=⨯∙即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。

2.三重矢量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合()a b c⨯⨯叫做他们的三重标量积，因有()()()a b c a c b c b a ⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。

三重标量积有一个重要的性质（证略）:()()()a b c a b c a c b⨯⨯=-∙+∙ （1-209）将矢量作重新排列又有：()()()a b c b a c b a c∙=⨯⨯+∙ （1-210）3.算子（a ∇）∇是哈密顿算子，它是一个矢量算子。

（a ∇）则是一个标量算子，将它作用于标量φ，即()a φ∇是φ在a 方向的变化速率的a 倍。

如以无穷小的位置矢量d r代替以上矢量a，则()dr φ∇是φ在位移方向d r的变化率的d r倍，即d φ。

()()d dr dr φφφ=∇=∇若将()dr ∇作用于矢量v，则()dr v∇就是v 再位移方向d r变化率的d r倍，既为速度矢量的全微分()dv dr v=∇ 应用三重矢量积公式（1-209）()()()00()()()()a b a b a b b a a b b a a b ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯=∙∇-∙∇-∇∙+∇∙应用三重矢量积公式（1-210）又有()()()00()()()()a b a b a b a b a b b a b a∇∙=∇∙+∇∙=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇∙将以上两式结合（相减）后可得(){()}1()()()()()2a b a b a b b a a b b a a b ∇=∇∙-∇⨯⨯-⨯∇⨯-⨯∇⨯-∇∙+∇∙ 一个重要的特例，令a b v ==，因()0v v ∇⨯⨯=则有21()()2v v v v v ∇=∇-⨯∇⨯ 4.算子∇的应用令φ是标量，a是矢量，;a b为并矢量，则有00002000()()()()()()()()()()()(;)(;)(;)()()a a a a a a a a a a a a aa b a b a b b a a b φφφφφφφφφφ∇=∇+∇=∇∙+∙∇∇⨯=∇⨯+∇=∇⨯+∇⨯∇⨯∇⨯=∇∇∙-∇∇=∇+∇=∇∙+∙∇在直角坐标中，令2222222()x y z y x zx y zx y za ia ja ka ij k x y z a a a a x y z i jka x y z a a a x y za a a a x y zφφφφφφφφφ=++∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∇∙=++∂∂∂∂∂∂∇⨯=∂∂∂∂∂∂∇=∇∙∇=++∂∂∂∂∂∂∇=++∂∂∂对一组正交曲线坐标系123(,,)εεε，其单位矢量123(,,)e e e ，将任意位置矢量R变分写为111222333R h d e h d e h d e δεεε=++其中123,,h h h 为尺度因子（拉美系数）。

因在直角坐标中，R dxi dx j dxkδ=++，所以1231h h h ===。

在柱坐标(,,)r z ϕ中，因r zR dre rd e dze ϕδφ=++，所以1321,h h h r===。

在球坐标(,,)r θϕ中，因s i n r R dr e r d e r eθθδθθ=++，所以1231,,sin h h r h r θ===。

在任意正交曲线坐标系中，令φ是标量，矢量112233a a e a e a e =++，则有312112233231312231123133112233123123112233()()()11e e e h h h h h a h h a h h a a h h h h e h e h e a h h h h a h a h a φφφφξξξξξξξξξ∂∂∂∇=++∂∂∂⎫⎧∂∂∂∇∙=++⎨⎬∂∂∂⎩⎭∂∂∂∇⨯=∂∂∂单位矢量的旋度和散度为3211113312223112312233112123111222333(1,2,3)()1(1,2,3)1()()()e e h h e h h h h h h e h h h h h h h h h h h h h h h ξξξφφφφξξξξξξ∂∂∇⨯=-∂∂∂∇∙=∂⎫⎧∂∂∂∂∂∂∇=++⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭轮换轮换123(,,)n n n n 方向梯度n ∇作用于矢量a为{{{332121111213122131313332221223212332311233112233313231132323()()()()()()a h a h h h n a e n a n n n n h h h h a a h h h he n a n n n n h h h h h h a h a h e n a n n n n h h h h ξξξξξξξξξξξξ⎫∂∂∂∂∇=∇+---⎬∂∂∂∂⎭⎫∂∂∂∂+∇+-+-⎬∂∂∂∂⎭⎫∂∂∂∂+∇+-+-⎬∂∂∂∂⎭笛卡尔张量1.求和约定.克罗尼克尔符号.轮转符号以1(1,2,3)x i =表示笛卡尔直角坐标系的坐标，1(1,2,3)i i =表示三个坐标轴方向单位矢量。

令123(,,)x x x φ，定义求和约定的写法为123123iid dx dx dx dx x x x x φφφφφ∂∂∂∂=++=∂∂∂∂式中重复下标称为哑指标，表示求和约定。

哑指标字母可以任意更换，j j dx x φ∂∂和ii dx x φ∂∂具有相同的效果。

使用求和约定时规定在每一单项中同一指标使用不能超过两次。

克罗克尼尔（Kroneker ）符号定义为0,1,ij i ji j δ=⎧=⎨≠⎩在笛卡尔直角坐标系中，有12,,3,iij ij ij ij i jjx i i x x x δδδδ∂∙====∂ 单位矩阵也可以表示为111213212223313233100010()001ij I δδδδδδδδδδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦轮转符号定义为0,,,1,,,1,2,3-1,,,1,2,3ijki j k i j k i j k ε⎧⎪=⎨⎪⎩当中有两个相同时当为顺序轮转排列时当为非轮转顺序排列时 例如1232313121323212131,1εεεεεε======-。

采用轮转符号ijkε可使运算的书写简化，如123123123iijk j ki i i i a b a a a a b b b b ε⨯==或123123123()()ii ijk j ki k ijk i j a b a b i i i v v i x x x x v v v εε⨯=⎡⎤⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥∇⨯==⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()ki ijk j v v x ε∂∇⨯=∂2.笛卡尔张量定义在直角坐标系中张量称为笛卡尔张量，而张量本身与所取的坐标无关。

如一个标量在任何坐标系中都为同一个量，标量亦称为零阶张量。

如一个适量在任何坐标系中以为同一个量。

但他在三维空间中由三个分量组成，在不同的坐标系中这三个分量则不同，但他们都有一定的变换关系，矢量亦称为一阶张量。

若有一个量∏（如应力）在任一点处有三个矢量分量123,,p p p 即这个量具有九个分量。

∏这个量在任何坐标系中都为一个量，而它们的9个分量在不同的坐标系中有不同的分量，但它们存在一定的变换关系，则∏这个量称为二阶张量，常简称为张量。

在三维空间中被称为零阶张量，一阶张量，二阶张量等等，是因为它们分别有0123,3,3个分量，而称之为零阶，一阶，二阶张量，并可由此类推到n 阶张量。

笛卡尔二阶张量∏所确定的三个矢量的分解式为112233111121231321212223233131232333i p i p i p p i p i p i p p i p i p i p p i p i p i p ∏=++=++=++=++则张量∏可用9个张量元素来定义，可写成如下的矩阵形式111213212223313233p p p p p p p p p ⎡⎤⎢⎥∏=⎢⎥⎢⎥⎣⎦或写成张量的九项式：,,1,2,3i j ij i i p i j ∏==如1112131,0()ij p p p p i j ====≠，则为单位张量I如果张两分两满足条件ij jip p =，则这个张量叫对称张量。

如果张两分两满足条件ij jip p =-，则这个张量叫反对称张量。

若将张量∏的分量ijp 与jip 互易位置后的张量，则称该张量的共轭张量，并以c ∏表示：112131122232132333c p p p p p p p p p ⎡⎤⎢⎥∏=⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.并失为区别两个矢量的点乘，可将两个矢量的并失ab写成;a b。

令112233112233,a i a i a i a b i b i b i b =++=++，则并失亦有9个分量，写成矩阵形式为111213212223313233;a b a b a b ab a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，并失为二阶张量。

必须注意，并失;a b 与;b a 是不同的111213212223313233;b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由此可见;b a 是并失;a b 的共轭张量。

矢量的梯度梯度为一并失，故是一个二阶张量：312111312222312333;a a a x x x a a a grad a a x x x a a a x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=∇=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦考虑矢量123()(,,)a r a x x x =的无穷小增量，因111112312322221231233333123123a a a da dx dx dx x x x a a ada dx dx dx x x x a a ada dx dx dx x x x ∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂ 故/da dr 为具有九个分量的二阶张量312111312222312333a a a x x x a a a d a x x x d r a a a x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦因可将da表示为张量/da dr 与矢量d r的点乘，(;)d ad a d r d r grad a d r a d r=∙=∙=∇ 应用并失运算法则又有(;)();()d a d r a d r a d r a =∙∇=∙∇=∙∇对标量函数()r φ类似的有d d r grad d r φφφ=∙=∙∇并失运算服从如下四个运算法则 （1）结合律法则;;(;);;(;)a b c a b c a b c ==连续的并失积可以任何方式加上括号而不改变结果。