课件3：6.2.3 平面向量的坐标及其运算习题课(一)

7．已知在△ABC 中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N 是 AB，AC 的中点，
D 是 BC 的中点，MN 与 AD 交于点 F，求D→F.
解 因为 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， 所以A→B＝(－4，－3)，A→C＝(－3，－5)． 又因为 D 是 BC 的中点，有A→D＝12(A→B＋A→C)＝(－3.5，－4)， 而 M，N 分别为 AB，AC 的中点，所以 F 为 AD 的中点． 故有D→F＝12D→A＝－12A→D＝(1.75,2)．
解 (1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)． (2)设 p＝λa＋μb(λ，μ∈R)， 则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
∴2－λ－4λμ＋＝3μ－＝6，－3，
∴ λ＝－221， μ＝－15，
∴p＝－221a－15b．
本课结束
知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标公式 6.在△ABC 中，已知点 A(3,7)，B(－2,5)，若线段 AC，BC 的中点都在坐标轴上． (1)求点 C 的坐标； (2)求△ABC 的三边长．
解 (1)①若 AC 的中点在 y 轴上，则 BC 的中点在 x 轴上， 设点 C 的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得3＋2 x＝0，y＋2 5＝0， ∴x＝－3，y＝－5，即 C 点坐标为(－3，－5)． ②若 AC 的中点在 x 轴上，则 BC 的中点在 y 轴上， 则同理可得 C 点坐标为(2，－7)． 综上 C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．
6.2.3 平面向量的坐标及其运算习题课(一)
平面向量的坐标及其运算、 两点间的距离公式与中点坐标公式
【知识对点练】
知识点一 平面向量的坐标 1.如下图，向量 a，b，c 的坐标分别是________、________、________.
答案 (向基底所在直线分解． a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)， b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)， c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
则 P 点坐标为( )
A．(－2,11)
B．43，3
C．23，3
D．(－2,12)
答案 A
解析 因为 P 在 MN 的延长线上且|MP|＝2|PN|，
所以M→P＝2N→P，则O→P－O→M＝2(O→P－O→N)，
所以O→P＝2O→N－O→M＝2(0,5)－(2，－1)，即O→P＝(－2,11)．
二、填空题
11．已知点 A(6,3)，O 为坐标原点，点 P 在直线 OA 上，且O→P＝12P→A， 若 P 是线段 OB 的中点，求点 B 的坐标及 PB 的长．
解 设点 P(x1，y1)，B(x，y)， ∵O→P＝12P→A，∴(x1，y1)＝12(6－x1,3－y1)，
∴xy11＝＝121263－－xy11，，
解析 根据题意建立坐标系如图，则
A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)． ∴A→B＝(1,0)，B→C＝(0,1)，A→C＝(1,1)． ∴2A→B＋3B→C＋A→C＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)．
三、解答题 10．(1)已知平面上三个点 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求A→B，A→C，A→B＋A→C， A→B－A→C，2A→B＋12A→C的坐标； (2)已知 a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量 a＋b，a－b,3a－4b 的坐标． 解 (1)∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)． ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；
易错点 转换向量关系失误 9.平面上有 A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点 C 在直线 AB 上，且A→C＝ 12B→C，连接 DC 并延长至点 E，使|C→E|＝14|E→D|，则点 E 的坐标为________． 易错分析 连接 DC 并延长至 E，即 E 在 DC 的延长线上，注意向量的方向 不要判断错误． 答案 83，－7
B．(2,4)
C．(3,4)或(4,3)
D．(4,2)或(2,4)
答案 A 解析 由图可知 2a＝2e1＋e2，b＝e1＋3e2，所以 2a＋b＝3e1＋4e2＝(3,4)．
4．设向量 a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若 a＋b＝λc(λ∈R)，
则 λ＋x 的值是( )
A．－121
A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)； 2A→B＋12A→C＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(6，－2)＋－32，1＝92，－1. (2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)； a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)； 3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．
知识点二 平面上向量的运算与坐标的关系
3.设平面向量 a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则 a－2b＝( )
A．(7,3)
B．(7,7)
C．(1,7)
D．(1,3)
答案 A 解析 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
4．已知平面向量 a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则 a＋b( ) A．平行于 x 轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于 y 轴 D．平行于第二、四象限的角平分线 答案 C 解析 因为 a＋b＝(0,1＋x2)，所以 a＋b 平行于 y 轴．
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2．在平面直角坐标系中，点 A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x 轴、y 轴正方向 上的两个单位向量分别为 i 和 j，则下列说法正确的是________(只填序号)．
①O→A＝2i＋3j； ②O→B＝3i＋4j；③A→B＝－5i＋j； ④B→A＝5i－j.
答案 ①③④ 解析 i，j 互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理， 有O→A＝2i＋3j，O→B＝－3i＋4j，A→B＝O→B－O→A＝－5i＋j，B→A＝ O→A－O→B＝5i－j，故①③④正确．
8．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c，
且C→M＝3c，C→N＝－2B．
(1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求点 M，N 的坐标及M→N的坐标． 解 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
6．如图，正方形 ABCD 中，O 为中心，且O→A＝(1,1)，试用基底向
量 i，j 表示下列向量：
O→B＝________，O→C＝________， A→B＝________，A→C＝________.
答案 －i＋j －i－j －2i －2i－2j
解析 如题图所示，O→A＝(1,1)＝i＋j，∴O→E＝i，E→A＝j. ∴O→F＝－O→E＝－i，F→B＝E→A＝j，F→C＝－F→B＝－j. ∴O→B＝O→F＋F→B＝－i＋j；O→C＝O→F＋F→C＝－i－j； A→B＝O→B－O→A＝－i＋j－(i＋j)＝－2i.
得 xy－ ＋36＝ ＝－ －14144－－3x－，y，
解得 x＝83， y＝－7，
∴点 E 的坐标为83，－7.
【课时综合练】
一、选择题 1．已知向量 a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是( ) A．向量 a 的终点坐标为(－2,3) B．向量 a 的起点坐标为(－2,3) C．向量 a 与 b 互为相反向量 D．向量 a 与 b 关于原点对称 答案 C 解析 a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，故 a＝－B．故选 C．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴－－63mm＋＋n8＝n＝5，－5. 解得mn＝＝－－11.， (3)∵C→M＝O→M－O→C＝3c， ∴O→M＝3c＋O→C＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M(0,20)，又∵C→N＝O→N－O→C＝－2b， ∴O→N＝－2b＋O→C＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴M→N＝(9，－18).
B．121
C．－229
D．229
答案 C
解析 a＋b＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc＝(4λ，xλ)，
又 a＋b＝λc，故－7＝2＝xλ，4λ，
解得 λ＝－12， x＝－14，
则 λ＋x＝－229.
5．已知 M(2，－1)，N(0,5)，且点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
5．已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋nb 与 a－2b 相等， 则mn ＝________，|na＋mb|＝________. 答案 －12 41
解析 ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． ∴23mm－＋n2＝n＝4，－1， 解得mn＝＝－1，2， ∴mn ＝－12. na＋mb＝－2a＋b＝(－5，－4)， ∴|na＋mb|＝|－2a＋b|＝ －52＋－42＝ 25＋16＝ 41.
2．已知 a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则 3a＋b 等于( )
A．(－5,14)
B．(5,14)
C．(7,4)
D．(5,9)
答案 A 解析 3a＋b＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故选 A．
3．如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量 2a＋b 的坐标为( )
A．(3,4)
由①－②得，b＝(5，－12)．
故|a|＋|b|＝ －32＋42＋ 52＋－122＝5＋13＝18.
8．已知点 A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点 O，
都有O→C＝λO→A＋(1－λ)O→B，λ∈R，则 x＝________.
答案 2
解析 取 O(0,0)，由O→C＝λO→A＋(1－λ) O→B得，
(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，
∴x5＝＝－－λλ＋＋31－1－λλ，.
解得 λ＝－12， x＝2.
9．已知边长为 1 的正方形 ABCD，若点 A 与坐标原点重合， 边 AB，AD 分别落在 x 轴、y 轴的正方向上，则向量 2A→B＋3B→C ＋A→C的坐标为________． 答案 (3,4)
同理，B→C＝O→C－O→B＝－i－j－(－i＋j)＝－2j，
A→C＝A→B＋B→C＝－2i＋(－2j)＝－2i－2j.
7．已知 a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则|a|＋|b|＝________.
答案 18
解析
联立aa＋ －bb＝ ＝2－，8－ ，816，，
① ②
由①＋②得，a＝(－3,4)，
解得xy11＝＝21，，
∴点 P 的坐标为(2,1)． ∵点 P 是 OB 的中点， ∴2＝0＋2 x，1＝0＋2 y⇒x＝4，y＝2， ∴点 B 的坐标为(4,2)． ∴PB 的长为 4－22＋2－12＝ 5.
12．已知 a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c， (1)求 p 的坐标； (2)若以 a，b 为基底，求 p 的表达式．
正解 设坐标原点为 O， ∵A→C＝12B→C，∴O→C－O→A＝12(O→C－O→B)． ∴O→C＝2O→A－O→B＝(3，－6)． ∴点 C 的坐标为(3，－6)． 又∵|C→E|＝14|E→D|，且 E 在 DC 的延长线上， ∴C→E＝－14E→D.
设 E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－14(4－x，－3－y)，
(2)当 C 点坐标为(－3，－5)时， AB＝ －2－32＋5－72＝ 29， AC＝ －3－32＋－5－72＝6 5， BC＝ －3＋22＋－5－52＝ 101. 当 C 点坐标为(2，－7)时，AB＝ 29， AC＝ 2－32＋－7－72＝ 197， BC＝ 2＋22＋－7－52＝4 10.