人教课标版(B版)高中数学选修1-2《复数的引入》教学课件

例 如,复 平 面 内 的 原 点0,0 表 示 实 数0,实 轴 上 的 点
2,0表示实数2,虚轴上的点0,1表示纯虚数 i,
点 2,3表示复数 2 3i等.
按 照 这 种 表 示 方 法, 每 一 个 复 数, 有 平 面 内 唯 一 的
一 个 点 和 它 对 应;反 过 来, 复 平 面 内 的 每 一 个 点, 有
复 数 的 这 种 几 何 表 示 于1797年 由 挪 威 的 测 量 学家韦塞尔(Caspar Wessel)提出,随即由瑞士
的藏书家阿甘得(Jean Robert Argand)出书 进 行 讨 论 并 得 到 高 斯 的认 同,因 此 这 种 几 何 表 示也称为阿甘得图(Argand diagram).
根据复数相等的定义,任意一个复数z a
bi,都可以由一个有序实数对 a,b唯一确 定.由 于 有 序 实 数 对a, b 与 平 面 直 角 坐 标 系
中 的 点 一 一 对 应,因 此 复 数 集 与 平 面 直 角坐 标 系 中 的 点 集 之 间 可 以建 立 一 一 对 应.
如 图3.1 2,点Z的 横 坐 标 是 y a,纵 坐 标 是b,复 数z a bi b
a2 b2 r 0,r R.
复数集,实数集,虚数集,纯虚数集之间的关系, 可 用 图3.1 1表 示.
例1 实数m取什么值时,复数z m 1 m 1 i是 1实数 ? 2虚数 ? 3纯虚数?
分析 因为m R,所以m 1,m 1都是实数.由复数
z a bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定
m 的 取 值.
解 1当m 1 0,即m 1时,复数z是实数; 2当m 1 0,即m 1时,复数z是虚数; 3当m 1 0,且m 1 0,即m 1时,复数 z
是C a bi| a,b R .
a i可以看作是a 1i,bi可以看作是0 bi,a可以 看是a 0i,i可以看作0 1i.
我们把集合C a bi | a,b R 中的数,即形如 a bia,b R的数叫做复 数(complex number),
其中i叫做虚 数 单 位 (imaginary unit).全体复数 所成的集合C叫做复 数 集 (set of complex nu
点Z(相 对 原 点 来 说)也 可 以 由 向 量OZ唯 一 确 定.因 此, 复 数 集C与 复 平 面 内 的 向 量 所 成的 集 合 也 是 一 一 对 应 的(实 数0与 零 向 量 对 应),即
一一对应
复数z a bi
平 面 向 量OZ
这 是 复 数 的 另 一 种 几 何意 义.
3.1.2 复数的引入
思考 方程x2 1 0在实数中无解,联系从自然 数系到实数系的扩充过程 ,你能设想一种方法, 使这个方程有解吗? 回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过程,可 以看到,数系的每一次扩充都与实际需求密切 相关.例如,为了解决x2 2 0 这样的方程在有 理数集中无解,以及正方形对角线的度量等问 题, 人 们 把 有 理 数 系 扩 充 到了 实 数 系.数 系 扩 充 后,在实数系中规定的加法运算、乘法运算,与 原来 在 有理数系中规定的加法运算、乘法运 算协调一致: 加法和乘法都满足交换律和结合 律,乘法对加法满足分配律.
依照以上设想,把实数 a与新引入的数i 相加,结果 记作a i;把实数b与i相乘,结果记作bi;把实数a与 实数b和i相乘的结果相加,结果记作a bi,等等.由 于加法和乘法的运算律仍然应该成立 ,从而这些 运算的结果都可以写成a bi(a,b R) 的形式,应 把这些数都添加到数集A中去.再注意到实数a 和 数i,也可以看作是a bi (a,b R) 这样的数的特殊 形式,所以实数系经过扩充后得到的新数集应该
唯 一 的 一 个 复 数 和 它 对应.由 此 可 知, 复 数 集C和 复
平 面 内 所 有 的 点 所 成 的集 合 是 一 一 对 应 的,即
一一对应
复数z a bi
复 平 面 Leabharlann 的 点Za,b这 是 复 数 的 一 种 几 何 意义.
在 平 面 直 角 坐 标 系 中, 每 一 个 平
2
虚部分别是 2, 3, 1 ,0.2, 2
并 且其 中 只有 0.2i 是 纯虚 数.
显 然,实 数 集R是 复 数 集 C的 真 子 集,即R C. 这 样,复 数z a bi 可 以
虚数集 复数集 纯虚数集 实数集
分 类 如 下:
图3.1 1
复 数z
实数b 0,
虚数b 0,当a 0时为纯虚数.
依照这种思想,我们来研究把实数系进一步扩充 的问题.
为了解决x2. 1 0这样的方程在实数系中无解 的问题,我们设想引入一个新数i,使i是方程x2 1 0的根,即使i i 1.把这个新数i添加到实数集 中去,得到一个新数集,记作A,那么方程x2 1 0 在A中就有解x i了 我们从数集A出发,希望新引进的数i和实数之间 仍然能象实数系那样进行加法和乘法运算,并希 望加法和乘法都满足交换律、结合律,以及乘法 对加法满足分配律.
是纯虚数. 最 后 还 要 指 出 的 是, 一 般 地 说,两 个 复 数 只 能 说
相等或不相等,而不能比较大小.例如1 i与2 3i
不 能 比 较 大 小.
思考 我们知道,实数与数轴上的点一一对 应,因 此,实 数 可 用 数 轴 上 的 点 来表 示.类 比 实 数 的 几 何 意 义,复 数 的 几 何 意 义 是 什 么呢 ?
思 考 复 数集C和 实数 集R之 间有 什么 关系?
对于复数a bi,当且仅当b 0时,它是实数; 当且仅当a b 0时,它是实数0; 当b 0时,叫做虚数;
当a 0,且b 0时,叫做纯虚数.
例如,3 2i, 1 3i, 3 1 i,0.2i都是虚数,
2
2
它们的实部分别是3, 1 , 3,0,
y
b
面向量都 可以用一个有序实数
Z : a bi •
对 来 表 示,而 有 序 实 数 对 与 复 数 是一一对应的.这样,我们还可以 O
a
x
用 平 面 向 量 来 表 示 复 数.
图3.1 3
如图3.1 3,设复平面内的点Z表示复数z a bi,
连 结OZ, 显 然 向 量OZ是 由 点Z唯 一 确 定 的;反 过 来,
Z : a bi •
可 用 点Za,b表 示,这 个 建 立
了 直 角 坐 标 系 来 表 示 复数 的 O
a
x
平 面 叫 做复 平 面 ,x轴 叫 做
图3.1 2
实 轴 , y轴 叫 做虚 轴 .显 然,实 轴 上 的 点 都 表 示 实
数;除 了 原 点 外,虚 轴 上 的 点 都 表 示 纯 虚数.
mbers).
虚数单位i是瑞士数学家欧拉Euler 最早引用的
它 取 自imaginary (想 象 的, 假 想 的)一 词 的 词 头.
在复数集C a bi | a,b R中任取两个数a bi, c dia,b,c,d R,我们规定:
a bi与c di相等的充要条件是a c且b d.
为方便起见,我们常把复数z a bi说成点 Z或 说 成 向 量 OZ,并 且 规 定, 相 等 的 向 量 表 示 同 一 个 复 数.
向量OZ的模r叫做复数z a bi的模,记作 | z | 或 | a bi | .如果 b 0,那么z a bi 是 一个实数a,它的模等于| a | (就是a的绝对 值).由模的定义可知: | z || a bi | r