2023版高考数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第四讲正余弦定理及解三角形课件理
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俯角
下方
线______的叫作俯角
.
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间
的水平夹角叫作方位角.
图形表示
• 考点
2
术语名称
方向角
• 解三角形的实际应用
术语意义
图形表示
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表
达为北(南)偏东(西)α.
北偏东α
坡角
坡面与水平面的夹角.
坡度
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比.
bsin B=4csin C,cos A=- ,则 = (
)
4
• A.6
B.5
C.4
D.3
A
• (3)[2017全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin
A·(sin C-cos C)=0,a=2,c= 2,则C= (
)
•
π
A.
12
π
B.
6
π
C.
4
π
D.
3
B
2R
2Rsin B
变形
余弦定理
2
2Rsin C
2
2 + 2 −2
2
2
+2 − 2
2
• 考点
1
• 注意
• 正、余弦定理
已知a,b和A,解的情况如下:
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系
式
解的
个数
a<bsin A
a=bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
a≤b
无解
一解
________
• 考向 • 利用正、余弦定理解三角形
•1解析 (1)由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,得BC2+2BC-15=0,
解得BC=3或BC=-5(舍去).故选D.
• (2)由题意及正弦定理得,b2-a2=-4c2,所以由余弦定理得,cos
2 + 2 −2
−3 2 1
• 考点
1
• 正、余弦定理
内切圆
• 考点 • 解三角形的实际应用
2
• 实际测量中的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问
题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.
• 说明 测量中的常用术语如下:
术语名称
术语意义
在竖直平面内的目标视线与水平视线所成的角中,目标
仰角与
上方
视线在水平视线______的叫作仰角,目标视线在水平视
于x的方程x2-2bcos A·x+b2-a2=0的正实数根的个数就是三角形解的个
数).
• 考向1
• 利用正、余弦定理解三角形
• 2. 变式 [2021浙江高考]在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中
点,AM=2 3,则AC= 2 13
3π
·sin
以tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A= ,由正弦定理得sin C=
=
2×
2
2
2
4
=
1
π
π
,又0<C< ,所以C= .故选B.
2
4
6
• 考向1 • 利用正、余弦定理解三角形
• 方法技巧
• 在△ABC中,
• (1)已知两角和任一边(ASA,AAS),求其他两边和一角(唯一解),用正弦定
理;
• (2)已知三边(SSS),求三个角(唯一解),用余弦定理;
• (3)已知两边和夹角(SAS),求第三边和其他两角(唯一解),用余弦定理;
• (4)已知两边和其中一边的对角(SSA),求第三边和其他两角(解的个数不
确定),用余弦定理(已知a,b,A,设第三边为x,则x2+b2-a2=2bxcos A,即关
两解
________
一解
_______
一解
无解
• 考点 • 正、余弦定理
•1规律总结
三角形中的常见结论
•
+
(1)在△ABC中,A+B+C=π.变形:
2
=
π
2
− .
2
• (2)大边对大角,大角对大边,如a>b⇔A>B.
• (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
• (4)三角形中的三角函数关系:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
• b=2,则△ABC的外接圆面积为
4
π
3
.
• ·考向扫描
• 考向 • 利用正、余弦定理解三角形
1
• 1. 典例 (1)[2021全国卷甲]在△ABC中,已知B=120°,AC= 19,AB=2,则
BC= (
)
D
• A.1
B. 2
C. 5
D.3
• (2)[2019全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A1
•
•
+
+
=cos ;cos
=sin .
2
2
2
2
π
2π
(5)在△ABC中,角A,B,C成等差数列⇔B= ,A+C= .
3
3
tan(A+B)=-tan C;sin
• (6)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.
• (7)在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
)
• (4பைடு நூலகம்若满足条件C=60°,AB= 3,BC=a的△ABC有两个,则实数a的取值范围
是( 3,2). (√
)
• (5)三角形中的三边之比等于相应的三个内角之比. (✕
)
• 2.在△ABC中,若c-acos B=(2a-b)cos A,则这个三角形的形状
• 为 等腰三角形或直角三角形
.
• 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)=(a-c)sin C,
A=
=
=- ,得 =6.故选A.
2
2
4
• (3)因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以sin(A+C)+sin A·sin C• sin A·cos C=0,所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=
• 0,整理得sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C≠0,所以sin A+cos A=0,所
南偏西α
• 理解自测
• 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
• (1)在△ABC中,A>B是sin A>sin B的充要条件. (√
)
• (2)在△ABC中,若b2+c2>a2,则△ABC为锐角三角形. (✕
)
• (3)在△ABC中,若A=60°,a=4 3,b=4 2,则B=45°或B=135°.(✕
第四章 三角函数、解三角形
• 第四讲 正、余弦定理及解三角形
• 要点提炼
• 考点 • 正、余弦定理
1
• 1.正、余弦定理
• 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则
定理
内容
正弦定理
a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;
c2=a2+b2-2abcos C.
下方
线______的叫作俯角
.
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间
的水平夹角叫作方位角.
图形表示
• 考点
2
术语名称
方向角
• 解三角形的实际应用
术语意义
图形表示
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表
达为北(南)偏东(西)α.
北偏东α
坡角
坡面与水平面的夹角.
坡度
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比.
bsin B=4csin C,cos A=- ,则 = (
)
4
• A.6
B.5
C.4
D.3
A
• (3)[2017全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin
A·(sin C-cos C)=0,a=2,c= 2,则C= (
)
•
π
A.
12
π
B.
6
π
C.
4
π
D.
3
B
2R
2Rsin B
变形
余弦定理
2
2Rsin C
2
2 + 2 −2
2
2
+2 − 2
2
• 考点
1
• 注意
• 正、余弦定理
已知a,b和A,解的情况如下:
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系
式
解的
个数
a<bsin A
a=bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
a≤b
无解
一解
________
• 考向 • 利用正、余弦定理解三角形
•1解析 (1)由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,得BC2+2BC-15=0,
解得BC=3或BC=-5(舍去).故选D.
• (2)由题意及正弦定理得,b2-a2=-4c2,所以由余弦定理得,cos
2 + 2 −2
−3 2 1
• 考点
1
• 正、余弦定理
内切圆
• 考点 • 解三角形的实际应用
2
• 实际测量中的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问
题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.
• 说明 测量中的常用术语如下:
术语名称
术语意义
在竖直平面内的目标视线与水平视线所成的角中,目标
仰角与
上方
视线在水平视线______的叫作仰角,目标视线在水平视
于x的方程x2-2bcos A·x+b2-a2=0的正实数根的个数就是三角形解的个
数).
• 考向1
• 利用正、余弦定理解三角形
• 2. 变式 [2021浙江高考]在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中
点,AM=2 3,则AC= 2 13
3π
·sin
以tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A= ,由正弦定理得sin C=
=
2×
2
2
2
4
=
1
π
π
,又0<C< ,所以C= .故选B.
2
4
6
• 考向1 • 利用正、余弦定理解三角形
• 方法技巧
• 在△ABC中,
• (1)已知两角和任一边(ASA,AAS),求其他两边和一角(唯一解),用正弦定
理;
• (2)已知三边(SSS),求三个角(唯一解),用余弦定理;
• (3)已知两边和夹角(SAS),求第三边和其他两角(唯一解),用余弦定理;
• (4)已知两边和其中一边的对角(SSA),求第三边和其他两角(解的个数不
确定),用余弦定理(已知a,b,A,设第三边为x,则x2+b2-a2=2bxcos A,即关
两解
________
一解
_______
一解
无解
• 考点 • 正、余弦定理
•1规律总结
三角形中的常见结论
•
+
(1)在△ABC中,A+B+C=π.变形:
2
=
π
2
− .
2
• (2)大边对大角,大角对大边,如a>b⇔A>B.
• (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
• (4)三角形中的三角函数关系:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
• b=2,则△ABC的外接圆面积为
4
π
3
.
• ·考向扫描
• 考向 • 利用正、余弦定理解三角形
1
• 1. 典例 (1)[2021全国卷甲]在△ABC中,已知B=120°,AC= 19,AB=2,则
BC= (
)
D
• A.1
B. 2
C. 5
D.3
• (2)[2019全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A1
•
•
+
+
=cos ;cos
=sin .
2
2
2
2
π
2π
(5)在△ABC中,角A,B,C成等差数列⇔B= ,A+C= .
3
3
tan(A+B)=-tan C;sin
• (6)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.
• (7)在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
)
• (4பைடு நூலகம்若满足条件C=60°,AB= 3,BC=a的△ABC有两个,则实数a的取值范围
是( 3,2). (√
)
• (5)三角形中的三边之比等于相应的三个内角之比. (✕
)
• 2.在△ABC中,若c-acos B=(2a-b)cos A,则这个三角形的形状
• 为 等腰三角形或直角三角形
.
• 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)=(a-c)sin C,
A=
=
=- ,得 =6.故选A.
2
2
4
• (3)因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以sin(A+C)+sin A·sin C• sin A·cos C=0,所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=
• 0,整理得sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C≠0,所以sin A+cos A=0,所
南偏西α
• 理解自测
• 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
• (1)在△ABC中,A>B是sin A>sin B的充要条件. (√
)
• (2)在△ABC中,若b2+c2>a2,则△ABC为锐角三角形. (✕
)
• (3)在△ABC中,若A=60°,a=4 3,b=4 2,则B=45°或B=135°.(✕
第四章 三角函数、解三角形
• 第四讲 正、余弦定理及解三角形
• 要点提炼
• 考点 • 正、余弦定理
1
• 1.正、余弦定理
• 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则
定理
内容
正弦定理
a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;
c2=a2+b2-2abcos C.