考研数学公式手册随身看(打印版)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
(1) lim sin x = 1
极限存在
x→0 x
1
(2) lim(1+ x) x = e x→0
的两个准
则:单调有
界准则和 夹逼准则,
重要公式:
lim
x→∞
a0 xn b0 xm
+ a1xn−1 + b1xm−1
+L +L
+ +
an−1 x bm−1 x
+ +
an bm
=
0ab,00n,
n <
=m m
性:闭区间
上 连 续 函 (2) (最值定理)设函数 f ( x) 在 [a,b] 上连续,则在 [a,b] 上
数的性质
f ( x) 至少取得最大值与最小值各一次,即 ∃ξ ,η 使得:
2
3
f (ξ ) = max{ f ( x)}, ξ ∈[a,b] ; a ≤ x≤b
f (η ) = min { f ( x)}, η ∈[a,b] . a ≤ x≤b
数,函数关 5 反三角函数:如 系的建立: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x 等.
初等函数:由常数 C 和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合 步骤所构成,并可用一个数学式子表示的函数,称为初等函
数.
数列极限
1 lim x→ x0
f (x) =
A⇔
1 幂函数: y = xµ (µ ∈ R) ;
基本初等 2 指数函数 y = ax ( a > 0 且 a ≠ 1 ); 函数的性 质及其图 3 对数函数: y = loga x ( a > 0 且 a ≠ 1 ); 形,初等函 4 三角函数:如 y = sin x, y = cos x, y = tan x 等;
(3) (介值定理)若函数 f ( x) 在 [a,b] 上连续, µ 是介于 f (a) 与 f (b) (或最大值 M 与最小值 m )之间的任一实数,则在 [a,b] 上至少 ∃ 一个 ξ ,使得 f (ξ ) = µ. (a ≤ ξ ≤ b) (4) (零点定理或根的存在性定理)设函数 f ( x) 在 [a,b] 上连 续,且 f (a) ⋅ f (b) < 0 ,则在 (a,b) 内至少 ∃ 一个 ξ ,使得 f (ξ ) = 0. (a < ξ < b)
目录
一、高等数学...................................................................................... 1 (一) 函数、极限、连续 ..................................................... 1 (二) 一元函数微分学 ......................................................... 4 (三)一元函数积分学 ......................................................... 11 (四) 向量代数和空间解析几何 ....................................... 16 (五)多元函数微分学 ......................................................... 24 (六)多元函数积分学 ......................................................... 30 (七)无穷级数 ..................................................................... 34 (八)常微分方程 ................................................................. 40
>0,
极限
当x ∈ (x0 − δ , x0 + δ ),且x ≠ x0时,f (x) > 0(或f (x) < 0)
无穷小和 设 limα(x) = 0, lim β (x) = 0 无穷大的
概念及其
1
关系,无穷 (1)若lim α (x) = 0,则α (x)是比β(x)高阶的无穷小,
小的性质
三、概率论与数理统计.................................................................... 55 (一)随机事件和概率 ......................................................... 55 (二)随机变量及其概率分布 ............................................. 58 (三)多维随机变量及其分布 ............................................. 60 (四)随机变量的数字特征 ................................................. 63 (五)大数定律和中心极限定理 ......................................... 65 (六)数理统计的基本概念 ................................................. 66 (七)参数估计 ..................................................................... 68 (八)假设检验 ..................................................................... 70
(二) 一元函数微分学
考试内容
对应公式、定理、概念
导数和微
1 导数定义
:
f
'(x0 )
= lim x→0
f
(x0
+ x) − x
f
(x0 )
(1)
分的概念 左右导数 导数的几
或
f
'( x0 )
=
lim
x→ x0
f (x) − f (x0 ) x − x0
(2)
2 函数 f (x) 在 x0 处的左、右导数分别定义为:
经常用到的初等数学公式................................................................ 72 平面几何............................................................................ 76
f− (x0 ) =
f+ (x0 ) =
A
与函数极
限的定义
2 lim x→ x0
f (x) =
A⇔
f (x0 ) =
A + a(x), 其中 lim a(x) = 0 x→ x0
及其性质, 函 数 的 左 3(保号定理)
极限与右
设 lim x→ x0
f (x) = A,又A > 0(或A < 0),则∃一个δ
一、高等数学
(一) 函数、极限、连续
考试内容
公式、定理、概念
函数:设有两个变量 x 和 y ,变量 x 的定义域为 D ,如果对于 D 中的每
函数和隐 函数
一个 x 值,按照一定的法则,变量 y 有一个确定的值与之对应,
则称变量 y 为变量 x 的函数,记作: y = f ( x)
基本初等函数包括五类函数:
两个重要
∞, n > m
极限: 4 几个常用极限特例
lim n n = 1,
n→∞
lim arctan x = − π
x→−∞
2
lim arctan x = π
x→+∞
2
lim arc cot x = 0,
x→+∞
lim arc cot x = π
x→−∞
lim ex = 0,
x→−∞
lim ex = ∞,
左导数:
何意义和
物理意义
f −′( x0
)
=
lim
∆x → 0−
f (x0 + ∆x) − ∆x
f (x0 )
= lim x→ x0−
f
(x) x
− −
f (x0 x0
)
,(x
=
x0
+
∆x)
右导数:
f +′( x0
)
=
lim
∆x →0+
f (x0 + ∆x) − ∆x
f (x0 ) = lim x→ x0+
二、线性代数.................................................................................... 44 (一) 行列式 ....................................................................... 44 (二)矩阵 ............................................................................. 45 (三) 向量 ........................................................................... 48 (四)线性方程组 ................................................................. 50 (五)矩阵的特征值和特征向量 ......................................... 51 (六)二次型 ......................................................................... 53
x→+∞
lim xx = 1,
x→+0+
连续函数在闭区间上的性质: 函数连续
的概念:函 (1) (连续函数的有界性)设函数 f ( x) 在 [a,b] 上连续,则 f ( x)
数间断
点的类 在 [a,b] 上有界,即 ∃ 常数 M > 0 ,对任意的 x ∈[a,b] ,恒有
型:初等函
数 的 连 续 f (x) ≤ M .
f (x) − f (x0 ) x − x0
函数的可 Th1: 函数 f (x) 在 x0 处可微 ⇔ f (x) 在 x0 处可导 导性与连 Th2: 若函数 y = f (x) 在点 x0 处可导,则 y = f (x) 在点 x0 处连续,反之则
续性之间
不成立.即函数连续不一定可导.
的关系,平 Th3: f ′(x0 ) 存在 ⇔ f−′(x0 ) = f+′(x0 ) 面曲线的
切线和 法线
设函数f (x)在x = x0处可导,则f (x)在M (x0 , y0 )处的
切 线方程:y - y0 = f '( x0 )( x − x0 )
法线方程:
y - y0
=−
f
1 '( x0 )
(x
−
x0 ),
f
'( x0 ) ≠ 0.
四则运算法则:设函数 u = u(x) , v = v(x) 在点 x 可导则 (1) (u ± v)′ = u′ ± v′ d (u ± v) = du ± dv (2) (uv)′ = uv′ + vu′ d (uv) = udv + vdu
(3) lim
f
(x)
=
A (B
≠
0)
g(x) B
1 (夹逼定理)设在x0的邻域内,恒有ϕ(x) ≤ f (x) ≤ φ(x),
且 lim ϕ(x) = lim φ(x) = A, 则 lim f (x) = A
x→ x0
x→ x0
x→ x0
2 单调有界定理:单调有界的数列必有极限 3 两个重要极限:
β (x)
及 无 穷 小 记为α(x)=o(β(x)).
的比较
(2)若lim α (x) = ∞,则α (x)是比β(x)低阶的无穷小, β (x)
(3)若lim α (x) = c(c ≠ 0),则α (x)与β(x) 是同阶无穷小, β (x)
(4)若lim α (x) = 1,则α (x)与β(x)是等价的无穷小, β (x)
1x
n
无穷小的性质
(1) 有限个无穷小的代数和为无穷小
(2) 有限个无穷小的乘积为无穷小
(3) 无穷小乘以有界变量为无穷小
Th 在同一变化趋势下,无穷大的倒数为无穷小;非零的无穷小的倒数
为无穷大
lim f (x) = A, lim g(x) = B.则
(1) lim( f (x) ± g(x)) = A ± B ; 极限的四 则运算 (2) lim f (x)g(x) = AB ;
记为α(x) β(x)
(5)若 lim
α ( x) β k (x)
=
c(c
≠
0), kຫໍສະໝຸດ >0,则α (x)是β(x)的k阶无穷小
常用的等阶无穷小:当x → 0时
sin x
arcsin
x
tan x arctan
x
x,
ln(1+ x)
ex −1
1− cos x 1 x2 2
1
(1+ x)n −1