工程热力学经典例题-第三章_secret

3．5 典型例题
例题3－１ 某电厂有三台锅炉合用一个烟囱，每台锅炉每秒产生烟气733m （已折算成标准状态下的体积），烟囱出口出的烟气温度为100C ︒，压力近似为101.33kPa ，烟气流速为30m/s 。

求烟囱的出口直径。

解 三台锅炉产生的标准状态下的烟气总体积流量为
33
V073m /s 3219m /s q =⨯=
烟气可作为理想气体处理，根据不同状态下，烟囱内的烟气质量应相等，得出
V 0V 0
pq p q T T = 因p =0p ，所以
33V0V 0219m /s (273100)K
299.2m /s 273K q T q T ⨯+===
烟囱出口截面积 32V f 299.2m /s
9.97m 30m/s
q A c ===
烟囱出口直径 2
449.97m 3.56m 3.14
A
d π⨯=
== 讨论
在实际工作中，常遇到“标准体积”与“实际体积”之间的换算，本例就涉及到此问题。

又例如：在标准状态下，某蒸汽锅炉燃煤需要的空气量3
V 66000m /h q =。

若鼓风机送入
的热空气温度为1250C t =︒，表压力为g120.0kPa p =。

当时当地的大气压里为
b 101.325kPa p =，求实际的送风量为多少？
解 按理想气体状态方程，同理同法可得 01
V1V0
10
p T q q p T = 而 1g1b 20.0kPa 101.325kPa 121.325kPa p p p =+=+= 故 3
3V1101.325kPa (273.15250)K
66000m 105569m /h 121.325kPa 273.15kPa
q ⨯+=⨯
=⨯
例题３－２ 对如图３－９所示的一刚性容器抽真空。

容器的体积为3
0.3m ，原先容器中的空气为0.1MPa ，真空泵的容积抽气速率恒定为3
0.014m /min ，在抽气工程中容器内温度保持不变。

试求：
（１） 欲使容器内压力下降到0.035MPa 时，所需要的抽气时间。

（２） 抽气过程中容器与环境的传热量。

解 （１）由质量守恒得 V m V g d dt q m p q q v R T
=
=-=- 即 g V V g g d d d mR T
q q m p R T R T V
ττ=-
=- 所以 V d d q m m V τ-= 21V 0
d d m m q m m V τ
τ-=⎰⎰
1
g V 1V 22g /ln ln /pV R T q
V m q m V p V R T
τ=
= 313V 20.3m 0.1MPa ln ln
0.014m /min 0.035MPa 22.5min
V p q p ===
（３） 一般开口系能量方程
out out d d Q h m U δ=+ 由质量守恒得 out d d m m =-
又因为排出气体的比焓就是此刻系统内工质的比焓，即out h h =。

利用理想气体热力性质得 ,d d()d()d p V V h c T U mu c Tm c T m ====（因过程中温度不变） 于是，能量方程为
g d ()d d p V p V Q c T c T m c c T m R T m δ=-+=--=- 即 d Q V p δ=- 两边积分得 12()Q V p p =- 则系统与环境的换热量为
3
12()0.3m (100kPa-35MPa)=19.5kJ Q V p p =-=⨯
讨论
由式12()Q V p p =-可得出如下结论：刚性容器等温放气过程的吸热量取决于放气前
后的压力差，而不是取决于压力比。

传热率即
Q
δδτ
与放气质量流率，或者与容器中的压力变化率正正比。

例题3－３ 在燃气轮机装置中，用从燃气轮机中排出的乏气对空气进行加热（加热在空气回热器中进行），然后将加热后的空气送如燃烧室进行燃烧。

若空气在回热器中，从127C ︒定压加热到327C ︒。

试按下列比热容值计算对空气所加入的热量。

（１） 按真实比热容计算； （２） 按平均比热容表计算；
（３） 按比热容随温度变化的直线关系式计算； （４） 按定值比热容计算；
（５） 按空气的热力性质表计算。

解 （１）按真实比热容计算
空气在回热器中定压加热，则2
2
1
1
,d d T T p m p p T T C q c T T M
=
=⎰
⎰
又 2
,012p m C a a T a T =++ 据空气的摩尔定压热容公式，得
36
01228.15, 1.96710, 4.80110a a a --==⨯=⨯
故 2
2
1
1
,20121d ()d T T p m
p T T C q T a a T a T T M M
=
=++⎰
⎰
21
T 23120T
3
226
331()|231 1.96710[28.15(600400)(600400)28.9724.80110(600400)]209.53kJ/kg 3
a a a T T M --=
++⨯=
⨯⨯-+⨯-+⨯⨯-= （２） 平均比热容表计算
21
0201||t t
p p p q c t c t =-
查平均比热容表
100C, 1.006kJ/(kg K)
200C, 1.012kJ/(kg K)300C, 1.019kJ/(kg K)400C, 1.028kJ/(kg K)
p p p p t c t c t c t c =︒=⋅=︒=⋅=︒=⋅=︒=⋅
用线形内插法，得
20010000
127
1000
|||
|
(127100)200100
p p p p c c c c -=+
⨯--
1.012 1.006
1.00627
100
1.0076kJ/(kg K)
-=+
⨯=⋅ 400
30000
327300
00
||||(327300)400300
p p p p c c c c -=+⨯--
1.028 1.019
1.01927
1001.0214kJ/(kg K)-=+
⨯=⋅ 故
1.0214327 1.0076127206.03kJ/kg p q =⨯-⨯= （３） 按比热容随温度变化的直线关系式计算 查得空气的平均比热容的直线关系式为
21|0.99560.00009299t p t c t =+
0.99560.00009299(127327)1.0378kJ/(kg K)
=++=⋅
故 2
121|() 1.3078(32712)207.76kJ/kg t
p p t q c t t =-=⨯-=
（４） 按定值比热容计算
21g 212177()()()2278.314
(32712)200.80kJ/kg 228.97
p p R
q c t t R t t t t M
=-=
-=-=⨯⨯-=
（５） 按空气的热力性质表计算 查空气热力性质表得到：
当127317400K T =+= 时，1400.98kJ/kg h =；
2273327600K T =+=时，2607.02kJ/kg h =。

故
21607.02400.98206.04kJ/kg p q h h h =∆=-=-=
讨论
气体比热容的处理方法不外乎是上述集中形式，其中真空比热容、平均比热容表及气体热力性质表是表述比热容随温度变化的曲线关系。

由于平均比热容表和气体热力性质表都是根据比热容的精确数值编制的，因此可以求得最可靠的结果。

与他们相比，按真实比热容算得的结果，其相对误差在1%左右。

直线公式是近似的公式，略有误差，在一定的温度变化范围内（0C ~1500C ︒︒）误差不大，有足够的准确度。

定值比热容是近似计算，误差较大，但由于起计算简便，在计算精度要求不高，或气体温度不太高且变化范围不大时，一般按定
值比热容计算。

在后面的例题及自我测验题中，若无特别说明，比热容均按定值比热容处理。

例题３－４ 某理想气体体积按/
a p 的规律膨胀，其中a 为常数，p 代表压力。

问：
（１） 气体膨胀时温度升高还是降低？
（２） 此过程气体的比热容是多少？ 解 （１）因/
V a p =又g pV mR T =
所以 g a p mR T = 当体积膨胀，则压力降低，由上式看到温度也随之下降。

（２）由/
V a p =得过程方程
2
2
pV a ==常数 多变指数 n=2 于是 V V (2)1
n n k
c c k c n -==-- 又由状态方程得
g g 1
1(1)V a p
pV R mT mT a p c R k k mT
=
==
=--
故 2(2)1n V a p
k c k c k mT
-=-=
-
例题３－５ 一直某理想气体的比定容热容V c a bT =+，其中，a,b 为常数，试导出其热力学能、焓和熵的计算式
解：
2
2
11
2211
V g g
2
2V 212122p g 2121d ()d ()()2
d ()d ()()()
2
p T T T T T T T T c c R a bT R b u c T a bT T a T T T T b
h c T a bT R T a R T T T T =+=++∆=
=+=-+-∆==++=+-+-⎰⎰⎰⎰ 2
1
2V
g 1
d ln T T T v
s c R T v ∆=+⎰
2
1
222g 21g 111d ()
ln ln ()ln T T T v T v
a bT R a
b T T R T v T v =++=+-+⎰
例题３－６ 一容积为3
0.15m 的储气罐，内装氧气，其初态压力10.55MPa p =、温度138C t =︒时。

若对氧气加热，其温度、压力都升高。

储气罐上装有压力控制阀，当压力超过0.7MPa 时，阀门便自动打开，放走部分氧气，即储气罐中维持的最大压力为0.7MPa 。

问当罐中温度为285C ︒时，对罐内氧气共加入了多少热量？设氧气的比热容为定值。

解 分析：这一题目隐含包括了两个过程，一是由110.55MPa,38C p t ==︒被定容加热到20.7MPa p =；二是由20.7MPa p =，被定容加热到330.7MPa,285C p t ==︒，如图３－10所示。

由于，当20.7MPa p p <=时，阀门不会打开，因而储气罐中的气体质量不变，有储气罐总容积V 不变，则比体积V
v m
=
为定值。

而当20.7MPa p p ≥=后，阀门开启，氧气会随着热量的加入不断跑出，以便维持罐中最大压力20.7MPa p =不变，因而此过程又是一个质量不断变化的定压过程。

该题求解如下：
（１） １－２为定容过程
根据定容过程状态参数之间的变化规律，有
221
10.7MPa (27338)K 395.8K 0.55MPa
p T T p ==+⨯= 该过程吸热量为
11V 1V g 2121g 55()()1221
p V p V
Q m c T R T T T T R T T =∆=
⨯-=- 3350.5510Pa 0.15m
(395.8K-311K)2311K
=56.2410J =56.24kJ.
⨯⨯=⨯⨯⨯ （２） ２－３过程中质量随时在边，因此应先列出其微元变化的吸热量
2g 277
d d d 122
p p p V Q mc T R T p V T T δ==
= 于是 3
2
3222
7d 7ln 22T p T T T Q p V p V T T =
=⎰
6337(273+285)K 0.710Pa 0.15m ln
2395.8K 126.210J =126.2kJ
=⨯⨯⨯=⨯
故，对罐内气体共加入多少热量
56.24kJ+126.2kJ =182.4kJ V Q Q Qp =+=
讨论
（１） 对于一个实际过程，关键要分析清楚所进行的过程是什么过程，即确定过程 指数一旦了解过程的性质，就可根据给定的条件，依据状态参数之间的关系，求得未知的状态参数，并进一步求得过程中能量的传递与转换量。

（２） 当题目中给出同一状态下的３个状态参数p ，V ，T ，时实际上隐含给出了此
状态下工
质的质量，所以求能量转换量时，应求总质量对应的能量转换量，而不应求单位质量的能量转换量。

（３） 该题目的２－３过程是一边质量、变稳过程，对于这样的过程，可先按质量 不变列出微元表达式，然后积分求得。

例题３－７ 空气在膨胀透平中由110.6MPa,900K p T ==绝热膨胀到
20.1MPa p =，工质的质量流量为5kg/s m q =。

设比热容为定值，k =1.4。

试求：
（１） 膨胀终了时，空气的温度及膨胀透平的功率； （２） 过程中热力学能和焓的变化量；
（３） 将单位质量的透平输出功表示在p-v 图和T-s 图上；
（４） 若透平的效率为T 0.90η=，则终态温度和膨胀透平的功率又为多少？ 解 （１）空气在透平中经过的是可逆绝热过程，即定熵过程。

所求的功是轴功，在动、位能差忽略不计时，即为技术功。

1.4-11.4
122110.1MPa 900K =539.1K 0.6MPa k k
p T T p -⎛⎫
⎛⎫
==
⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
(1)/g 12t 1[1]1k k
kR T p w k p -⎛⎫
=
- ⎪-⎝⎭
(1.41)/1.4
31.4287J/(kg K)900K 0.1MPa [1]
1.4-10.6MPa 36
2.510J/kg =362.5kJ/kg
-⨯⋅⨯⎛⎫=- ⎪⎝⎭
=⨯
或用式 t 21()p w h c T T =-∆=-计算 透平输出的功率
t 5kg/s 362.5kJ/kg =1812.5kW m P q w ==⨯
（２） .
215
()5kg/s 287J/(kg K)(539.1K-900K)2
m V U q c T T ∆=-=⨯⨯⋅⨯ 3
1294.710W =-1294.7kW =-⨯
.
.
21()1812.5kW m p H q c T T k U ∆=-=∆=- （４）
比技术功t w 表示在图上，是图３－11a 所示的面积。

在T s -图上的表示，
可这样考虑，因T s -图上表示热量比较容易，如果能够将t w 等效成某过程的热量，则表示就没有困难了。

因理想气体的焓仅是温度的函数，则'
11h h =。

于是
'''t 121212,12()p p w h h h h h c T T q -=-∆=-=-=-=
即技术功的数值恰好与定压过程的热量相等。

所以在T s -图上，'
'
121a b ----所围的面积即是技术功。

（５）
因0.90T η=，说明此过程是不可逆的绝热过程，透平实际输出的功率为
'1812.5kW 0.901631.3kW T P P η==⨯= 由热力学第一定律得 .
'0H P ∆+=,即
'21211
3()'0
''
'7g
2
1631.310W
+900K =575.2K
7
5kg/s 287J/(kg K)
2
m p m p
m q c T T P P P T T T q c q R -+==-
+=-+⨯⨯=-⨯⨯⋅ 讨论： （１）
功在p-v 图上的表示很容易理解，但在T-s 图上的表示较难理解。

本题的技术功还可用图３－11b 所示的面积1-2’-c-2-1表示，为什么？请读者自己思考。

（２）
理想气体无论什么过程，热力学能和焓的变化计算式恒为V U mc T ∆=∆，
p H mc T ∆=∆不会随过程变。

（３）
第４的终态温度，能否根据(1)/2211
()k k T p
T p -=求得？答案是不能。

因为等熵过程参数间的关系
1(1)/222222111111
(),(),()k k k k p v T v T p
p v T v T p --=== 式
适用条件是理想气体、可逆绝热过程，且比热容为定值。

而本题的第４问不是可逆过程，因此终态温度的求解不能用上述公式，只能根据能量方程式推得。

（４） 实际过程总是不可逆的，对不可逆过程的处理，热力学中总是将过程简化成 为可逆过程求解，然后借助经验系数进行修正。

膨胀透平效率的定义为t,R eal T t,Rev
w w η=。

（５）
空气的气体常数-3
8.314J/(mol K)g =287J/(kg K)28.910kg/mol
R R M ⋅=
=⋅⨯，因空气是常用工质，建议记住其Rg 。

例题３－８ 如图３－12所示，两端封闭而且具有绝热壁的气缸，被可移动的、无摩 擦的、绝热的活塞分为体积相同的Ａ，Ｂ两部分，其中各装有同种理想气体1kg 。

开始时活塞两边的压力、温度都相同，分别为0.2Mpa ，20C ︒现通过Ａ腔气体内的一个加热线圈，对Ａ腔气体缓慢加热，则活塞向右缓慢移动，直至A2B20.4MPa p p ==时，试求：
（１） Ａ，Ｂ腔内气体的终态容积各为多少？ （２） Ａ，Ｂ腔内气体的终态温度各为多少？ （３） 过程中供给Ａ腔气体的热量是多少？ （４） Ａ，Ｂ腔内气体的熵变各为多少？ （５） 整个气体组成的系统熵变为多少？
（６） 在p-V 图、T-s 图上，表示出Ａ，Ｂ腔气体经过的过程。

设气体的比热容为定值
1.01kJ/(kg K)p c =⋅，0.72kJ/(kg K)V c =⋅。

解 （１）因为Ｂ腔气体进行的是缓慢的无摩擦的绝热过程，所以它经历的是可逆绝热，即等熵过程。

而Ａ腔中的气体经历的是一般的吸热膨胀多变过程。

先计算工质的物性常数
g (1.010.72)kJ/(kg K)0.29kJ/(kg K)p V R c c =-=-⋅=⋅ / 1.403p V c c κ== 于是 B g B1
3B16
B1
1kg 290J/(kg K)293K
0.4249m 0.110Pa
m R T V p ⨯⋅⨯=
=
=⨯ 1/31/1.4033B1B2B1B23
B2B1B23
A 2A1
B 0.2
(
)0.4249m ()0.2592m 0.4
0.1657m
||0.5906m k p V V p V V V V V V ==⨯=-∆=-==+=
（２） (1)/0.403/1.403B2B2B1B10.4(
)293K ()357.5K 0.2
k k p T T p -==⨯= 63
A2A2A2
A2g 0.410Pa 0.5906m 814.6K 1kg 290J/(kg K)
p V T m R ⨯⨯===⨯⋅ （３）该问有２种解法。

方法１：取气缸内的整个气体为闭口系，因过程中不产生功，所以 Q U =∆
A A 2A1
B B2B1()()V V m c T T T c T T =-+-
1kg 0.72kJ/(kg K)(814.6293)K+
1kg 0.72kJ/(kg K)(357.5293)K 422.0kJ
=⨯⋅⨯-⨯⋅⨯-=
方法２：取Ａ腔气体为闭口系，则过程中Ａ腔气体对Ｂ腔气体做功，即
B A B B1B231kg 290J/(kg K)
()(357.5293)K
1
1.4031
46.4110J =46.41kJ
g
m R W W T T k ⨯⋅=-=-
-=
---=⨯ 对Ａ腔列闭口系能量方程 A A Q U W =∆+
1kg 0.72kJ/(kg K)(814.6293)K+46.41kJ
422.0kJ
=⨯⨯-=
(4) Ｂ腔气体为可逆绝热压缩过程，所以熵变为 B 0S ∆= Ａ腔气体的熵变为
A 2A 2A g A1A1
(ln
ln )p T p
S m c R T p A ∆=- 814.6K 0.4MPa
1kg [1.01kJ/(kg K)ln
0.29kJ/(kg K)ln ]293K 0.2MPa
0.831.7kJ/K
831.7J/K
=⨯⋅-⋅⨯==
（６）
整个气体的熵变即是
A B 831.7J/K S S S ∆=∆+∆=
（６）Ａ。

Ｂ腔气体经过的过程在p-V 图、T-s 图上的表示见图３－13所示。

讨论
该题再次说明，分析清楚所讨论的过程的特点是很关键的。

本题就是抓住Ｂ腔中气体进行的是定熵过程这一特点，从定熵过程状态参数之间的关系及能量转换量的公式入手，使问题得到解决的。

例题３－９ 一绝热刚性气缸，被一导热的无摩擦活塞分成两部分。

最初活塞被固定在某一位置，气缸的一侧储有压力为0.2MPa 、温度为300K 的3
0.01m 的空气，另一侧储有同容积、同温度的空气，其压力为0.1MPa 。

去除销钉，放松活塞任其自由移动，最后两侧达到平衡。

设空气的比热容为定值。

试计算：
（１） 平衡时的温度为多少； （２） 平衡时的压力为多少；
（３） 两侧空气的熵变值及整个气体的熵变为多少。

解 依题意画出设备如图３－14所示。

（１）
取整个气缸为闭口系，因气缸绝热，所以Q=0；又因活塞导热而无摩擦，W=0，且平衡时Ａ，Ｂ两侧温度应相等，即A 2B22T T T ==。

由闭口系能量方程得
A B 0U U U ∆=∆+∆=
即 A 2A1B 2B1()()0V V m c T T m c T T -+-= 因 A1B11300K T T T ===
于是，由式（ａ）得终态平衡时，两侧的温度均为21300K T T ==
（２）
该问求解有２种方法。

方法１：仍取整个气缸为对象。

当终态时，两侧压力相等，设为2p ，则
A B g 2
g 2
A11B1B122
g 1
g 11B1()A A m m R T R T p V p V p V R T R T V V ⎛⎫+=
=+ ⎪
⎪+⎝⎭ 2
A11B1B111B163633
()
()
300K
(0.210Pa 0.01m +0.110Pa 0.01m )
300K(0.01+0.01)m A A T p V p V T V V =++=⨯⨯⨯⨯
0.15MPa =
方法２：由能量方程式（ａ）得
A 2
B 2A A1B B1()()0V V V V m c T m c T m c T m c T +-+= 因V g 1
1
c R k =
-，上式可化为 A g 2B g 2A g A1B g B1()()0m R T m R T m R T m R T +-+= 用状态方程g pV mR T =，上式可进一步化为 2A1B2A1A1B2B2()p V V p V p V +=+ 于是 A 2A1B1B1A1A1B1B1
2A 2B2A1B1
p V p V p V p V p V V V V ++==++
代入参数，则
33
23
0.2MPa 0.01m +0.1MPa 0.01m =0.15MPa (0.01+0.01)m p ⨯⨯=
（３） 2
A A g A1
ln
p S m R p ∆=-
3A1A1A1A120.2MPa 0.01m 0.2MPa
ln ln 1.918J/K 300K 0.15MPa
p V p T p ⨯===
2
g 1
ln
p S m R p ∆=-B B B 3111120.1MPa 0.01m 0.1MPa
ln ln 1.352J/K 300K 0.15MPa
p V p T p ⨯===-B B B B
整个气缸绝热系的熵变
A B 0.566J/K S S S ∆=∆+∆= 讨论
（１）
像本题这样的过程，或是绝热气缸中插有一隔板，抽去隔板两侧气体绝热混 合等过程，均可选整个气缸为对象，根据闭口系能量方程可得0U ∆=，从而求得终态温度。

（２） 计算结果表明，整个气缸绝热系熵增0S ∆>。

这里提出两个问题供思考：
一是根据题意，绝热容器与外界无热量交换，且活塞又是无摩擦的，是否可根据熵的定义式得到0S ∆=？二是像本题或是混合等过程，熵增是否必然的？
（３） 若将此题中的活塞改为隔板，其他参数不变，求抽出隔板平衡后的压力、温
度各为多少？整个气体的熵有为什么？请读者自己解答，并与该题进行比 较,将气缸壁改成非绝热的,则最终平衡温度为42C ︒，则气体平衡后的压力为多少？气体与外界的换热量又为多少？请读者自己解答，并用心体会与上述解法上的差别。

例题３－10 一刚性容器初始时刻装有500kPa ，的空气。

容器通过一阀门与一垂直放置的活塞气缸相连接，初始时，气缸装有200kPa ，290K 的空气。

阀门虽然关闭着，但有缓慢的泄漏，使得容器中的气体可缓慢地流进气缸，直到容器中的压力降为200kPa 。

活塞的重量和大气压力产生200kPa 的恒定压力，过程中气体与外界可以换热，气体的温度维持不变为290K ，试求气体与外界的部换热量。

解 依题意画出的装置图如图3－15所示，取容器和气缸中的整个空气为系统，根据闭口系能量方程有 Q U W =∆+
因空气可作为理想气体处理，过程中温度不变，则0U ∆= 所以 B 21()Q W p V V ==-
而 33
B1B1B1B120010Pa 0.05m 0.120kg 287J/(kg K)290K
g p V m R T ⨯⨯===⋅⨯
A g A1
1A1B1B1A1
m R T V V V V p =+=
+
33
3
3kg 287J/(kg K)290K 0.05m 0.549m 50010Pa
⨯⋅⨯=
+=⨯
tot g 2
3
23
2
(3 1.20)kg 287J/(kg K)290K 1.298m 20010Pa
m R T V p +⨯⋅⨯=
=
=⨯ 故 3
3
B 21()20010Pa (1.298-0.549)m =149.8kJ Q p V V =-=⨯⨯
讨论
（１） 如果分别取容器和气缸为研究对象，则每个系统中的气体质量在过程中总在 变化，使求解变的复杂，读者不妨试一试。

（２） 本例题与例题３－9及例题３－9中讨论（３）提到的各种情况属于同一类型 的题目。

这类题目可用示意图3－16表示。

Ａ，Ｂ容器本身可以是绝热的，也可以是不绝热的。

按容器Ａ，Ｂ内工质的情况不同，又可分为：
① 初态时，Ａ内有气体，Ｂ内无气体。

容器Ｂ可以是密闭的，也可以内装活塞，
活塞上方与大气相通等，参看例题３－10。

② 初态时，Ａ，Ｂ装有同种气体。

但状态不同，参看例题３－９。

③ 初态时，Ａ，Ｂ装有不同种气体。

④ Ａ为刚性容器，Ｂ为弹性容器。

这类题目一般是根据给定的初态和打开阀门达到平衡的条件求解终态压力、温度，以及与外界交换的功量和热量。

当求解这类问题时，一般选取闭口系为方便。

运用闭口系能量方程、工质性质（状态方程,u h ∆∆计算式）以及过程的特点，问题很容易解决。

例题３－11 将例题３－９中的导热活塞改为无摩擦的绝热活塞，如图３－17所示，其他条件不变。

①问突然拔走销钉后，终态Ａ，Ｂ中气体的压力是多少？终态温度能否用热力学方法求出？②假设拔走销钉后，活塞缓慢移动，终温有能否确定？左室气体对右室气体所做的功能否求出？
解 （１）选取Ａ室与Ｂ室中的气体为闭口系，因Q=0，W=0故0U ∆=，即有
A A 2A1
B B2B1()()0V V m c T T m c T T -+-= （a ）
又 2A 2
A 2A g
p V T m R =
（b ） 2B2
B2B g
p V T m R =
将式（b ）、（c ）代入（a ），化简后得 A A1g B B1g
A1A1B1B1
2A2B2
A1B1
m T R m T R p V p V p V V V V ++==
++
代入已知参数得
6363
20.210Pa 0.01m +0.110Pa 0.01m (0.01+0.01)m
p ⨯⨯⨯⨯=
=0.15MPa
虽然，根据已知条件确定了，但由式（b ）与（c ）发现。

和无法分别确定A2V ，B2V 所
以、无法用热力学方法求出A 2B2,T T 。

也许有人会认为，既然已求出2A 2B2p p p ==了，而且Ａ，Ｂ中的气体都经历了无摩擦的绝热过程，因此误认为可用理想气体可逆绝热过程的公
式(1)/2211k k
p T T p -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
求出A2T 和B2T ，这是错误的。

因为突然拔走销钉，Ａ室与Ｂ室中气体
将迅速膨胀或压缩，它们经历的是非准静态过程，所以Ａ、Ｂ中的气体不能运用理想气体可逆绝热过程的公式。

（３） 若假设成立，活塞可缓慢移动，Ａ、Ｂ中的气体可近似认为进行的是可逆绝
热过程，则
(1)/0.4/1.4
2A 2
A1A1(1)/0.4/1.4
2B2B1B10.15MPa 300K 276.3K
0.2MPa 0.15MPa 300K 336.8K
0.1MPa k k
k k
p T T p p T T p --⎛⎫⎛⎫
==⨯= ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
⎛⎫
==⨯= ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
左室气体对右室气体做的功
(1)/1A12A A1[1]1k k
p V
p W k p -⎛⎫=- ⎪
-⎝⎭
0.4/1.4
63(0.210)Pa 0.01m 0.15MPa [1]394.5J 1.4-10.2MPa ⨯⨯⎛⎫=-= ⎪
⎝⎭
讨论
本例题推导的（d ）式，与例３－９推出的（b ）结果一样，这是偶然的还是必然的？为什么？请思考。

例题３－12 透热容器Ａ和绝热容器Ｂ通过一阀门相连，如故３－18所示，Ａ，Ｂ容器的容积相等。

出使时，与环境换热的容器Ａ中有3MPa ，25C ︒的空气。

打开联接两容器的阀门，空气由Ａ缓慢地进入Ｂ，直至两侧压力相等时重新关闭阀门。

设空气的比热容为定值， 1.4κ=。

试（１）确定稳定后两容器中的状态；（２）求过程中的换热量。

解 （１）由于Ａ容器是透热的，且过程进行得很缓慢，因此可以认为，过程中Ａ中气体是等温的，即A1A2A T T T ==。

取B 容器为系统，又一般开口系能量方程得 in in 0U h m ∆-=
因 in CV,B B22in A ,,m m m U U h h ==∆==
于是 2A B2B2V B2A B2B2A A V
1.4(273+25)K =417.2K
p p U h m m c T c T m c T T T c κ-=-==
==⨯
因两侧压力相等，即
A 2g A
A1A 2g B2
A B
A1B2A 2A B2B2A1A 2A 2g A
A 2g A 2A 2B2A
A1g A A1
()1kg 417.2K
0.5833kg
(298+417.2)K 0.4167kg /m R T m m R T V V m T m T T m m m m R T m R T p p p V m R T p -=
⨯=
==+=-====
=
6A 2A1A160.5833kg
(310)Pa 1kg 1.7510Pa =1.750MPa
m p m =
=⨯⨯=⨯
即终态时，Ａ容器的状态为
A2A2A21.750MPa,298K,0.5833kg p T m === Ｂ容器的状态为
B2B2B21.750MPa,298K,0.4167kg p T m ===
(2) 求换热量时，去整个装置为系统，由闭口系能量方程得
A 2V A B2V B2A1V A
()Q u m c T m c T m c T =∆=--
35
=287J/(kg K)(0.5833kg 298K+0.4167kg 417.2K-1kg 298K)2
=35.6410J =35.64kJ
⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯
讨论
建议将例题３－８～３－12对比、分析、归纳，比较它们解题思路上的相同点与不同点，体会每题的关键所在。

例题３－13 某种理想气体从初态按多变过程膨胀到原来体积的３倍，温度从300C ︒下降到67C ︒。

已知每公斤气体在该过程的膨胀功为100kJ ，自外界吸热20kJ 。

求该过程的多变指数及气体的V c 和p c （按定值比热容计算）
解 由
1
2112n T V T V -⎛⎫= ⎪⎝⎭
得
2112(67+273)K
ln
ln
(300+273)K 11 1.4751ln ln 3
T T n V V =
+=+=
又由g 12()1
R w T T n =
-- 得
3g 1210010J/kg(1.475-1)
(1)=203.9J/(kg K)(573-340)K
w R n T T ⨯=-=⋅-
或 21()V q u w c T T w =∆+=-+ 得
321g (20-100)10J/kg =343.3J/(kg K)
(340-573)K
343.3J/(kg K)203.9J/(kg K)547.2J/(kg K)V p V q w c T T c c R -⨯==⋅-=+=⋅+⋅=⋅ 讨论
通常过程的题目都是已知过程的多变指数以工质的种类和物性，求过程与外界交换的功量和热量，此题恰是正常类型题目的逆过程，即已知功量和热量及状态参数之间的变化，求工质的物性及多变指数。

例题３－14 在一具有可移动活塞的封闭气缸中，储有温度145C t =︒，表压力
g110kPa p =的氧气30.3m 。

在定压下对氧气加热，加热量为40kJ ；再经过多变过程膨胀
到初温45C ︒，压力为18kPa 。

设环境大气压力为0.1MPa ，氧气的比热容为定值，试求：（１）两过程的焓变量及所做的功；（２）多变膨胀过程中气体与外界交换的热量。

解 （１）先求出氧气的有关物性值
g 3
g g 8.314J/(mol K)259.8J/(kg K)3210kg/mol 7
909.3J/(kg K)25
649.5J/(kg K)
2
p V R R M c R c R ⋅=
==⋅⨯==⋅==⋅
再确定２状态点的状态参数 2110kPa+100kPa =110kPa p p == 温度由 21()p p Q mc T T =- 确定。

其中
3311
g 111010Pa 0.3m 0.3994kg 259.8J/(kg K)(27345)K pV m R T ⨯⨯===⋅⨯+
于是 3214010J
318K =428.1K 0.3994kg 909.3J/(kg K)
p
p Q T T mc ⨯=+=+⨯⋅
过程２－３的多变指数，由
(1)/3322
()n n T p
T p -=
得
32
32
318K
ln
ln
1428.1K 0.1642, 1.2018kPa ln
ln 110kPa T n T n p n p -==== 解得: n=1.20
两过程的焓变量 1221()0.3994kg 909.3J/(kg K)(428.1-318)K p H mc T T ∆=-=⨯⋅⨯
=40.0kJ
23321212()()p p H mc T T mc T T H ∆=-=-=-∆ 两过程所做的功量
12g 21()W mp v mR T T =∆=-
3=0.3994kg 259.8J/(kg K)(428.1-318)K =11.410J
11.4kJ
⨯⋅⨯⨯=
g 2323()1
mR W T T n =
--
0.3994kg 259.8J/(kg K)
(428.1-318)K
1
57.2kJ
n ⨯⋅=
-= （３）
多变过程与外界交换的热量
2323233223()V Q U W mc T T W =∆+=-+
0.3994kg 649.5J/(kg K)(318-428.1)K 57.2kJ
28.6kJ
=⨯⋅⨯+=
例题３－15 试分析多变指数在１<n<k 范围内的膨胀过程的性质。

解 首先在p-v 图和T-s 图上画出四条基本过程线作为分析的参考线，然后依题意画出多变过程线１－２，如图３－19所示。

根据３.４.２中的２(2)讲述的方法判断过程的性质。

过程线１－２在过起点的绝热线的右方和定容线的右方，这表明是热膨胀过程（即q 和w 均为正）。

又过程线字定温下方，表明气体的温度降低，即0,0u h ∆<∆<。

这说明膨胀时气体所做的功大雨加入的热量，故气体的热力学能减少而温度降低。

例题３－16 将满足下列要求的理想气体多变过程表示在p-v 图和T-s 图上。

（１） 工质又升压、又升温及有放热。

（２） 工质又膨胀、又降温及又放热。

解 （１）按３.４.２中的２(3)介绍的步骤进行。

先在图和图上画出四条基本过程线， 如图３－20所示。

再分别找出升压的区域，升温的区域以及放热的区域。

于是，３个区域重叠的区域，就是满足又升压、又升温、又放热的要求，过程线如图中的１－２曲线所示。

（２）方法同上，满足要求的过程线如图中的１－３曲线所示。

例题３－17 试在T-s 图上把理想气体两状态间的热力学能及焓的变化量表示出来。

解 设两状态为１和２，其温度分别为12,T T ，而 V 21V 2'1V,12'()()U mc T T mc T T Q →∆=-=-=
2'
'1
d 121T s ba ==⎰面积（如图3－21a 所示）
212'1V,12'()()p p H mc T T mc T T Q →∆=-=-=
2'
'1
d 121T s dc ==⎰面积（如图3－21b 所示）
讨论
上述方法中是过１点，并分别作定容线和定压线，也可过２点分别作定容线和定压线， 在这种情况下，如何作线，如何表示U ∆，H ∆，请读者自己完成。

例题３－18 试在T-s 图上定性表示出的n ＝１，２的理想气体的压缩过程，并在图上用面积表示所耗的过程功w 或t w 技术功。

解法１：过程线如图３－22中的１－２所示。

由能量方程得
'211,12'2()()n n V n V n V w q u q c T T q c T T q q →=-∆=--=--=-
'1221c b a =------面积（见图３－22a 所示） 't 211,12'2()()n n p n p n p w q h q c T T q c T T q q →=-∆=--=--=-
'1221f e d =------面积（见图３－22b 所示）
解法２：过２点分别作定容线和定压线，如图３－23所示。

则
2121',1'2()()n n V n V n V w q u q c T T q c T T q q →=-∆=--=--=-
''''1211a b c =------面积（见图３－23a 所示）
t 2121',1'2()()n n p n p n p w q h q c T T q c T T q q →=-∆==--=--=-
''''1211d e f =------面积（见图３－23b 所示）。