高等数学精品课件-4-2换元法

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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x
sec2 x sec x tan x dx sec x tan x
d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
或
ln tan x C (P198 例16 )
d sin x sin x
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例5. 求
解:
1 x2 a2
1
(x a) (x a)
1
(
1
1
)
2a (x a)(x a) 2a x a x a
∴ 原式 =
1 2a
dx xa
dx xa
1 2a
d(x a) xa
d(x a) xa
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
f
2
(
x)
f (x) f 2(x)
f
(
x)
dx
f (x) f (x)
d(
f (x) ) f (x)
1 2
f (x) f (x)
2
C
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小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
1 sin2 x cos2 x 等
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
例3. 求 解:
dx a 1 (ax)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
d u arcsinu C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(直接配元)
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例4. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似
cos x dx sin x
一、第一类换元法 定理1. 设 f (u) 有原函数 , u (x)可导, 则有换元
公式
f (u)du u (x) 即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
(C C1 2ln a)
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说明:
被积函数含有
或 x2 a2 时, 除采用
三角代换外, 还可利用公式
ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换
x a sh t 或 x a ch t
消去根式 , 所得结果一致 .
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例19. 求
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
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例10. 求
解法1
cos x cos2 x
dx
1
d
sin sin
x
2
x
1 2
1 1 sin
x
1 1 sin
x
d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
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例18. 求
解:
当x
a时,
令
x
a sect
,
t
(0,
2
)
,
则
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tan t
dx a sect tan t d t
∴
原式
asect tan t a tant
dt
sect d t
ln sect tan t C1
t
万能凑幂法
f (xn )xn1 dx 1n f (xn ) d xn
f
(x
n
)1 x
dx
1 n
f
(
x
n
)
1 xn
d
xn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
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二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
f
[ ( x)] ( x)dx
难求
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作业
P207 2 (4) , (5) , (8) , (9) , (11) , (16) , (18) ,
(19) , (21) , (25) , (28) , (29) , (30) , (32) , (33) , (35) , (36) , (40)
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1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
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例9. 求
dx 1 ex
.
解法1
(1 ex ) ex 1 ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
x ln(1 ex ) C
解法2
ex 1 ex
dx
d(1 ex ) 1 ex
ln(1 ex ) C
ln
x a
x2 a2 a
C1
x2 a2
(C C1 ln a)
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当x a 时, 令 x u , 则u a ,于是
d u ln u u2 a2
u2 a2 C1
ln x x2 a2 C1
ln
a2 x x2 a2
C1
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例7. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
f (u)d u
易求
u
( x)
若所求积分 f (u)d u 难求， f [(x)](x)dx 易求,
则得第二类换元积分法 .
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定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1(x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t), 令
ax
∴ 原式 a cost a cost d t a2 cos 2 t d t
a2 t sin 2t C
t
a2 x2
24 sin 2t 2sin t cost 2 x
a2 x2
aa
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
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cos
4
x)
dx
3 2
dx
cos
2x
d(2x)
1 8
cos
4x d(4x)
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例13. 求
解:
sin2 x cos2 3x
[
1 2
(sin
4
x
sin
2
x)]2
1 4
sin
2
4
x
1 4
2
sin
4
x
sin
2
x
1 4
sin
2
2x
1 8
(1
cos 8x)
sin 2
2x
cos 2x
(5) f (x , x2 a2 ) dx , 令 x a sect 或 x a ch t
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(6) f (a x ) dx , 令 t ax
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒数代换 2. 常用基本积分公式的补充 (P205)
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例11. 求
1
dx 3x
2
.
解: 令 u 3 x 2 ,则
原式
3u 2 1 u
du
3
(u2 1) 1du 1u
3
(u
1
1 1u
)
du
3
1 2
u
2
u
ln
1
u
C
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例12. 求
解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取
根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,
令 x t6, 则有
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
时
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例2. 求
解:
1 a2
dx 1 (ax)2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1
a
du 1 u
2
1 arctan a
uC
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
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第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
dF[(x)] f [(x)](x)dx
F[(x)] C F (u) C u(x)
f (u)du u (x)
第一类换元法 第二类换元法
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原式
6t
t3
5 dt
t2
6
(t 2 t 1 1 )dt 1t
6
1 3
t
3
1 2
t
2
t
ln 1 t
C
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例16. 求 a2 x2 dx (a 0) .
解:
令
x
asin t ,
t
(
2
,
2
)
,
则
a2 x2 a2 a2 sin2 t a cos t
dx a cost d t
例17. 求
解:
令
x
a
tan
t
,
t
(
2
,
2
)
,
则
x2 a2 a2 tan2 t a2 a sect
dx a sec2 t d t
∴ 原式
a a
sec2 sec t
t
d
t
sec
t
d
t
ln sect tan t C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2 x t a
(C C1 ln a)
1 8
(1
cos
4x)
∴原式 =
1 4
dx
1 64
cos 8x d(8x)
1 2
sin2 2x d(sin 2x)
1 32
cos 4x d(4x)
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例15. 求
解: 原式
f f
(x) ( x)
1
f
(x) f (x) f 2(x)
dx
f (x) f (x)
F(x) [ 1(x)]
(t) f [ (t)] (t)
则
F(x) d d t f [ (t)] (t) 1 f (x)
d t dx
(t)
f (x) dx F(x) C [ 1(x)] C
[ft[](Ct)]t (t) d1t(tx) 1(x)
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(1) f (x , n ax b ) dx , 令 t n ax b 第
四
(2)
f
(x
,n
a xb c xd
) dx
,
令
t
n
a xb c xd
节 讲
(3) f (x , a2 x2 ) dx , 令 x a sin t 或 x a cos t
(4) f (x , a2 x2 ) dx , 令 x a tan t 或 x a sh t
a2 x4
x2
dx
.
解:
令
x
1 t
,则
原式
a2
1 t2
1
t4
t 21d t
(a2t
2
1
1) 2
t
dt
原式
1 2a2
(a2t2
1
1) 2
d(a2t 2
1)
(a
2
t2 3a
2
1)
3 2
C
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
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小结:
1. 第二类换元法常见类型:
2
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例12 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
cos
2x
cos
2
2x)
1 4
(1
2
cos
2x
1cos 2
4
x
)
1 4
(
3 2
2 cos
2x
1 2
cos
4x)
cos 4 x dx
1 4
(
3 2
2
cos
2
x
1 2
万 能
凑
1 xn
dxn
幂 法
dsin x
dcos x
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(6) f (tan x)sec2 xdx
(7) f (ex )exdx
(8)
f (ln x)1dx x
=
dln x 1 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
2a
2a xa
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常用的几种配元形式:
1
(1) f (ax b)dx a
(2) f (xn )xn1 dx 1 n
(3)
f
(x n
)1 x
dx
1 n
(4) f (sin x)cos xdx
(5) f (cos x)sin xdx
d(ax b)
dxn