北京市东城区2015届高三5月综合练习(二)数学(文)试题 含解析

第Ⅰ卷（共60分)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1。

已知全集U =R ，集合{}012A =，，,{}234B =，，，如图阴影部分所表示的集合为（ )
（A){}2 （B ）{}01， （C ）{}34
， （D ）
{}0,1,2,3,4
【答案】B 【解析】
试题分析：根据题意及图像可知图中阴影部分为(){}0,1A
C A B ⋂=，所以
答案为B 。

考点：1。

集合的运算；2。

属数形结合. 2。

若复数2
()i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为（ )
（A ）1- （B ）0 （C)1 （D ）2
【答案】C 【解析】
试题分析：若复数2()i m m m -+为纯虚数，则必有200
m m m ⎧-=⎨≠⎩解得：1m =,所
以答案为C 。

考点:1.纯虚数的定义;2.解方程. 3.已知圆的方程为2
22610x
y x y +--+=,那么圆心坐标为（ ）
(A ）(1,3)-- （B ）(1,3)- (C ）(1,3) （D ）(1,3)- 【答案】C 【解析】
试题分析：将圆的方程化为一般方程为：()()
2
2
138x y -+-=,根据圆的标
准方程知圆心坐标为()1,3，所以答案为：C 。

考点：1.配凑法；2。

圆的标准方程.
4。

设点),(y x P ,则“1x =且2y =-"是“点P 在直线30l x y --=：上”的（ ） (A ）充分而不必要条件 （B)必要而不充分条件（C ）充分必要条
件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
考点：1.充要
条件的判断；2。

点和直线的位置关系。

5.设0.8
log
0.9a =, 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ）
（A)a b c << （B)a c b << （C)b a c << (D)c a b << 【答案】C 【解析】
试题分析：根据对数函数的性质和指数函数的性质知：
0.90.8 1.10log 0.91;log 0.90;1 1.1 1.1<<<<<,所以b a c <<，答案为
C 。

考点：1。

对数性质；2。

指数性质；3。

比较大小.
6。

若一个底面是正三角形的三棱柱的正(主）视图如图所示，则其侧面积等于（ ）
（A)3 （B)4 （C ）5 （D ）6
【答案】D 【解析】
试题分析：根据题意及正视图可知，原几何体是底面变长为2的正三角形，高为1,则其侧面积为:()12226⨯++=，所以答案为D 。

考点：1。

三视图;2.图形的侧面积。

7.若实数x ,y 满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩
，，，则2||z x y =+的最大值为(
）
(A)13 （B ）11 （C)3 （D)1 【答案】B 【解析】
试题分析：画出可行域，当6,1x y ==-时,z 取得最大值max
11z =;当时，z 取
得最小值min
1z
=-.答案为：B.
考点:1。

线性规划；2。

最优解问题.
8.已知正方体11
1
1
ABCD A B C D -的棱长为1,E ，F 分别是边1
AA ，1
CC 的中点,点M
是1
BB 上的动点,过点E ，M ,F 的平面与棱1
DD 交于点N ，设BM x =，平
正（主）视图
行四边形EMFN 的面积为S ，设2
y S =,则y 关于x 的函数()y f x =的解析式
为（ ） （A)2
3
()222
f x x
x =-+
，[0,1]x ∈ （B)
3
1,[0,),22
()11,[,1].22
x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩
(C ）
2
2312,[0,],22
()312(1),(,1].
22
x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--+∈⎪⎩
（D ）2
3
()222
f x x
x =-++
，[0,1]x ∈ 【答案】A 【解析】
试题分析:根据题意，因为平面1
1
A AB
B 平面1
1
D DCC ,直线EM ⊂平面1
1
A AB
B ，
所以ME 平面1
1
D DCC ,且EM ⊂平面EMF ，平面EMF ⋂平面1
1
D DCC
FN =，所以
EM NF ，所以,四边形EMFN 为平行四边形,
同时
EM MF FN NE ====EMFN 为菱形,其面积是：
122s =⨯=[]22322,0,12s x x x =-+∈，答案为
A.
考点：1.线面平行的性质定理;2.菱形的面积公式。

第Ⅱ卷（共90分)
二、填空题（每题4分，满分16分,将答案填在答题纸上） 9。

已知抛物线2
2y
x =上一点P (,2)m ,则m = ，点P 到抛物线的
焦点F 的距离为 。

【答案】2 52
【解析】
试题分析：根据题意点P (,2)m 在抛物线2
2y
x =上,即：42m =解得：2m =;
根据抛物线的定义知：点()2,2P 到抛物线焦点1,02
F ⎛⎫
⎪⎝⎭
的距离为点()
2,2P 到抛物线准线1:2
l y =-的距离1522
2
+=.
考点：1.抛物线的标准方程；2。

抛物线的定义。

10.在△ABC 中，已知2,3a b ==， 那么sin sin()
A
A C =+ .
【答案】3
2
【解析】
试题分析：在ABC ，知三角形内角和为π，可知()()sin sin sin A C B B π+=-=，根据正弦定理知：
()sin sin 2
sin sin 3
A A a A C
B b ===+,所以答案为：
32。

考点：1。

诱导公式；2.正弦定理。

11.函数22(0)y x x x
=+<的最大值为 。

【答案】4- 【解析】
试题分析：函数22(0)y x x x
=+<为对勾函数,根据题图像可知：
2
2(0)y x x x
=+<在区间(),1-∞-时单调递增，在()1,0-时,单调递减,所以当1x =-时，
2
2(0)y x x x
=+<的最大值为224--=-,答案为：4-。

考点：1.函数的单调性；2。

函数的最大值。

12.若非零向量a ,b 满足+a b =-a b =2a
，则向量b 与+a b 的夹角
为 . 【答案】6
π
【解析】
试题分析:根据题意设+a b =-a b =2m =a ，解得:22
22
30,,44
m a b a b m ===,则b 与
+a b 的夹角余弦值为：
()
22
303m b a b b a b b a b
m +++===
+b 与+a b 的夹角为6
π。

考点:1.向量数量积；2。

向量夹角.
13。

设函数()cos f x x =，(0,2)x ∈π的两个的零点为1
x ，2
x ，且方程m x f =)(有
两个不同的实根3
x ，4
x ．
若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m = ． 【答案】2
3
- 【解析】
试题分析：根据题意知:123,2
2
x x π
π=
=
且3
42x
x π+=,所以若四个数按3124
,,,x x x x 从小到大排列，显然4
32x
x π-=，显然不符合定义域，所以只能按：
1342,,,x x x x 即：
3
43,,,
2
2
x x π
π顺序可知3131323223
x
x x π
πππ
⎛⎫-=-
=-= ⎪⎝⎭，所以323x ππ=+
，
则cos sin 2
33
m πππ
⎛⎫=+=-= ⎪
⎝⎭
,答案为：2
3
-。

考点:1.余弦函数图像；2。

等差数列。

14.如图,△ABC 是边长为1的正三角形，以A 为圆心，AC 为半径,沿逆时
针方向画圆弧，交BA 延长线于1
A ，记弧1
CA 的长为1
l ；以B 为圆心，
1BA 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB 延长线于2A ，记弧12A A 的
长为2
l ；以C 为圆心,2
CA 为半径，沿逆时针方向画圆弧,交AC 延长
线于3
A ，记弧2
3
A A 的长为3
l ,则1
2
3+l l
l += .
如此继续以A 为圆心，3
AA 为半径,沿逆时
针方
向画圆弧，交1
AA 延长线于4
A ,记弧3
4
A A 的长为
4
l ，
，当弧长8n
l
=π时，n = 。

【答案】4π 12
【解析】
试题分析：根据题意所作圆弧的圆心角均为23
π,半径分别为1,2,3，所
以()1
23212343
l
l l π
π++=
⨯++=; 同时283
n
l
n π
π=
⨯=，解得12n =。

所以答案为：4π 12
考点：1。

弧长公式;2。

推理。

三、解答题 （本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
15。

甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场:从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球(这些球除颜色外
完全相同）,如果摸到的是2个红球,即为中奖．
试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由.
【答案】顾客在乙商场中奖的可能性大．
摸到的2个
球都是红球有1
2
(,)b b ，1
3
(,)b b ,2
3(,)b
b ，共3种。

所以，
()P B =31155=
. …………………………11分
因为()()P A P B <，
所以，顾客在乙商场中奖的可能性大． …………………………13分
考点：1。

几何概型；2。

古典概型.
16。

已知函数)π3
22cos()3
π2cos()(+++=x x x f ,()cos 2g x x =。

(Ⅰ）若)2π,4π(∈α，且35
3
)(-=αf ,求()g α的值；
（Ⅱ）若x ]3
π,6π[-∈，求)()(x g x f +的最大值.
【答案】（Ⅰ）54
)(-
=αg ；(Ⅱ）2.
【解析】
试题分析:根据题意将原函数利用和角公式展开化简得到
()
2f x x =（Ⅰ）将α代入()f x 的解析式中得到
3532sin 3-
=-α进而求
得
53
2sin =
α,根据角α所在象限及同角三角函数基本关系进而得到()
g α的值；(Ⅱ)首先将函数()()
f x
g x +)
3π
2cos(2+=x 化简为一角一函数形式，进而求得其最值。

试题解析：（Ⅰ）由)
π32
2cos()3π2cos()(+++=x x x f
得()
f x x x x x 2sin 23
2cos 212sin 232cos 21---=
x 2sin 3-=. …………………………4分
因为
353)(-
=αf ，即3532sin 3-=-α，所以53
2sin =α. 又因为)
2
π
,4π(∈α,所以)
π,2π
(2∈α。

故
542cos -
=α,即54
)(-=αg 。

…………………………7分
（Ⅱ）)()(x g x f +x x 2cos 2sin 3+-=)
3π
2cos(2+=x 。

因为x ]3π,6π[-∈，所以]
π,0[3π
2∈+x .
所以当
03π2=+
x ，即
6π-=x 时,)()(x g x f +有最大值,最大值为2。

……13分
考点：1.和角公式；2。

三角函数的最值.
17.如图,在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AD 上一点，四边形BCDE 为矩形，60PAD ∠=
，PB =，
22PA ED AE ===。

(Ⅰ）若()PF PC λλ=∈R ，且PA ∥平面BEF ，求λ的
值;
（Ⅱ)求证：CB ⊥平面PEB .
【答案】（Ⅰ）1
3λ=
;（Ⅱ)证明见解析。

【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据题意作出辅助线，连接AC 交BE 于点M ,连接FM ，利用PA 平面BEF ,FM
AP 。

因为EM
CD ,利用等比线段成比例，得到
12PF AM FC MC ==，所以1
3λ=；（Ⅱ）要证明线面垂直，需要证明PE CB ⊥，又BE CB ⊥,所以CB ⊥平面PEB .
试题解析：(Ⅰ）连接AC 交BE 于点M ,连接FM 。

因为PA 平面BEF ，平面PAC 平面BEF FM =， 所以FM AP 。

因为EM
CD ，所以
1
2AM AE MC ED ==。

因为FM
AP ，所以1
2PF AM FC MC ==。

所以
1
3λ=。

………………6分
（Ⅱ）因为2,1,60,AP AE PAD ==∠= 所以
PE =
PE AD ⊥。

又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊥平面ABCD ，所以PE CB ⊥。

又BE CB ⊥，且PE
BE E =,
所以CB ⊥平面PEB 。

…………………………13分 考点:1。

线面平面;2。

线面垂直。

18.已知等比数列{}n
a 的前4项和4
5S
=，且1223
4,,2
a a a 成等差数列．
（Ⅰ)求{}n
a 的通项公式;
（Ⅱ)设{}n
b 是首项为2，公差为1
a -的等差数列,其前n 项和为n
T ，求满
足1
0n T
->的最大正整数n ．
【答案】（Ⅰ）1
1
23n n a -=⨯；(Ⅱ)最大正整数为13.
【解析】
试题分析：（Ⅰ)根据题意得到等比数列{}n
a 的首相和公比的方程
112a a q =和414(12)
5
12a S -==-，联立求得等比数列{}n a 中的113a =，2q =的通项公
式求得结论；（Ⅱ)根据(Ⅰ）得到的
113a =
,进而求得172+(1)()33n n
b n -=-=
-，
显然数列{}n
b 是等差数列，求得其前n 项和(13)T 6
n
n n
-=
，解不等式10n T ->,进而求得满足1
0n T
->的最大正整数为13.
试题解析:（Ⅰ)设{}n
a 的公比为q ，因为
1223
4,
,2a a a 成等差数列,
所以1
2
243a a
a +=。

整理得1
22a
a =，即112a a q =,解得2q =。

又414(12)
5
12a S -==-,解得113a =. 所以1
1
23n n a -=⨯。

………………………5分
（Ⅱ)由(Ⅰ）得1
a
-1
=3-
，
所以
172+(1)()33n n
b n -=-=
-。

n T 72+
(13)3=
26n
n n n --⨯=.
(1)
0分
所以由10n T ->，得[13(1)](1)
6n n --->，整理得(1)(14)0n n --<,
解得114n <<. 故满足1
0n T
->的最大正整数为
13。

…………………………13分
考点:1。

等比数列的同项公式；2.等差数列的前n 项和公式；3.解不等式.
19。

已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上的左、右顶点分别为A ，B ，1F 为左
焦点，且1
2AF
=，又椭圆C
过点．
(Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2
2
+16x y
=上（点,A B 除外）,设直线PB ，
QB 的斜率分别为1k ,2k ,若123
4
k k =
，证明：A ,P ，Q 三点共线．
【答案】（Ⅰ）22
11612x y +=;（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)根据题意得到2a c -=
，b =2
22a b c =+，
继而求得椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设点1
1
(,)P x y ,2
2
(,)Q x y ,直线,PA PB 的斜率乘积，及点P 在椭圆上,进而得
到13
4PA k
k ⋅=-
，再利用1234
k k =，得到21PA k k ⋅=-,同理21QA k k ⋅=-,所以PA QA k k =，所以A ，P ，Q 三点共线.
试题解析:（Ⅰ)由已知可得2a c -=
，b =2
2212b
a c =-=;
解得4a =。

故所求椭圆C 的方程为22
1
1612x y +=．
(5)
分
（Ⅱ）由(Ⅰ）知(4,0)A -,(4,0)B .设1
1
(,)P x y ，2
2
(,)Q x y ,
所以
2
11112
1114416PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--。

因为1
1
(,)P x y 在椭圆C 上，
所以22
111
1612x y +=,即
22113124y x =-。

所以
2
1
12131234164
PA x k k x -⋅==-
-.
又因为1234k k =
,
所以21PA
k
k ⋅=-。

(1）
由已知点22(,)Q x y 在圆
22
16x y +=上，AB 为圆的直径, 所以QA QB ⊥。

所以21
QA
k
k ⋅=-. （2）
由（1）(2）可得PA
QA
k
k =．
因为直线PA ,QA 有共同点A ，
所以A ，P ，Q 三点共线． …………………………14分
考点：1.椭圆的标准方程；2。

斜率公式;3。

三点共线问题。

20.已知函数3
2
5()2
f x x
x ax b =+
++ ，3
2
7()ln 2
g x x
x x b =+
++，(a ,b 为常数)． (Ⅰ）若()g x 在1x =处的切线过点(0,5)-，求b 的值；
(Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()f x '，若关于x 的方程()()f x x xf x '-=有唯一
解，求实数b 的取值范围;
(Ⅲ）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值,且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围．
【答案】(Ⅰ)3
2b =
;(Ⅱ）71(,)(,)
548-∞--+∞；（Ⅲ）),4(+∞.
【解析】
试题分析:（Ⅰ）利用导数的几何意义，对函数()g x 求导，进而求得
()111g '=得到所求直线的斜率，进而求得切线方程;（Ⅱ）对原函数求
导，代入()()f x x xf x '-=中,得到
32522x x x b +
+=有唯一解,令325
()22h x x x x =++，
对其求导进而得到其单调性，进而求得b 的取值范围;(Ⅲ）根据题意
求得
2
()ln ,F x ax x x =--，对其求导，得到221
'()0
x ax F x x
-+=-=在),0(+∞上有根，
则有2
=80a
∆-≥,所以对分类讨论，进而由韦达定理得到
12()()F x F x +2211
1ln 5ln 2422
a a =-+->-，进而求得a 的取值范围。

试题解析：(Ⅰ)设()g x 在1x =处的切线方程为5y kx =-,
因为
21
()37,(1)11g x x x g x ''=++
=，
所以11k =，故切线方程为115y x =-。

当1x =时，6y =，将(1,6) 代入32
7()ln 2g x x x x b =+
++，
得3
2b =
．
…………………………3分 (Ⅱ）
()2'35f x x x a
=++,
由题意得方程32
325352x x ax b x x ax x +
++=+++有唯一解，
即方程32
522x x x b +
+=有唯一解．
令
32
5()22h x x x x =+
+，则2'()651(21)(31)h x x x x x =++=++，
所以()h x 在区间11(,),(,)23-∞--+∞上是增函数，在区间11
(,)
23--上是减
函数。

又1117
(),()28354h h -=--=-
，
故实数b 的取值范围是
71
(,)(,)548-∞-
-+∞．
…………………………8分
(Ⅲ)
2
()ln ,F x ax x x =--
所以221
'()x ax F x x -+=-。

因为()F x 存在极值,所以221
'()0
x ax F x x
-+=-=在),0(+∞上有根，
即方程0122
=+-ax x
在),0(+∞上有根，则有2=80a ∆-≥.
显然当=0∆时，()F x 无极值，不合题意；。