甘肃省平凉市静宁县第一中学2020-2022届高三上学期第一次月考数学(理)试题

甘肃省平凉市静宁县第一中学2020-2022届高三上学期第一
次月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合()22
{,|2,,}A x y x y x y R =+=∈，{(,)|0,,}B x y x y x y R =+=∈，则A B 的子
集的个数是（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．命题“存在0x ∈R ，0
13x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤0”的否定是（ ） A ．不存在0x ∈R ， 0
103⎛⎫> ⎪⎝⎭x B ．存在0x ∈R ， 0
13x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥0 C ．对任意的x ∈R ， 13x ⎛⎫
⎪⎝⎭
≤0
D ．对任意的x ∈R ， 103x
⎛⎫> ⎪⎝⎭
3．已知函数2,
()3,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩
，则((1))f f -等于（ ）
A ．4
B ．2-
C
D ．2
4．若函数(2)x f 的定义域是[]1,3，则函数(21)f x +的定义域是（ ） A ．[]0,1
B ．[]3,7
C ．17,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．[]5,17
5．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，周期为2，且当01x ≤≤时，2()f x x x =-，则 2019
(
)2
f 等于（ ） A ．14
-
B ．14
C ．12
-
D ．12
6．函数()y f x =在定义域(-3
2，3)内的图象如图所示．记()y f x =的导函数为()y f x '=，
则不等式()0f x '≤的解集为（ ）
A ．[-1
3
，1][2，3)
B ．[-1，12
]
[43，83
] C ．[-32，1
2][1，2)
D ．(-32，-13][1
2，43
]
[4
3
，3) 7．若函数()log (1)(01)a f x x a a =+>≠，的定义域和值域都是[0，1]，则a 等于（ ） A ．1
2
B
C
D ．2
8
．设9log =a
3log =b 20.6-=c ，则有（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．a b c >>
D ．c b a >>
9．某食品的保险时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系+=kx b y e （e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间为192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，若该食品的保鲜时间是12小时，则该食品所处的温度为（ ） A ．24℃ B ．33℃
C ．44℃
D ．55℃
10．函数()2ln x
f x x x
=
+的图像可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
11．已知函数(3)5,1,()2,1a x x f x a
x x -+≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩满足对任意12,x x ，都有()1212()()()0--<f x f x x x 成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．(0，3)
B ．(]0,3
C ．(0，2]
D ．(0，2)
12．已知函数()y f x =的定义域为R ，且函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)对称，对于任意的x ，总有(2)(2)f x f x -=+成立，当(0,2)x ∈时，2()21f x x x =-+，函数2()g x mx x =+（x ∈R ），对任意x ∈R ，存在t ∈R ，使得()()>f x g t 成立，则满足条件
的实数m 构成的集合为（ ） A ．1{|}4≤m m
B ．1
{|}4<m m
C ．1
{|0}4
<≤m m
D ．1
{|}4
>m m
二、填空题
13．命题“若,x y 都是实数，则220≥+x y ”的否命题是__________
14．⎰_______________.
15．已知0a >且1a ≠，若函数2
()log ()a f x ax x =-在[]3,4上是减函数，则a 的取值范围
是__________
16．已知函数()2
3f x x x =+，x ∈R ．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，
则实数a 的取值范围为__________．
三、解答题
17．已知关于x 的不等式()(1)0-+≥a x x 的解集为A ，不等式|1|1x -<的解集为B . （1）若3a =，求A ；
（2）若A B A ⋃=，求正数a 的取值范围.
18．已知幂函数2
3()--=m m f x x (*m N ∈，2m ≥)在区间(0,)+∞上单调递减. （1）求()f x 的解析式；
（2）当31
[]2
,x ∈时，2()≤+a x f x 恒成立，求a 的取值范围.
19．给定两个命题，:P 对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；:Q 关于x 的方程20x x a -+=有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．
20．设二次函数()()2
0f x ax bx c a =++≠在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是M 、
m ，集合(){|}A x f x x ==．
()1若{}1,2A =，且()02f =，求M 和m 的值；
()2若{}1A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值．
21．已知函数2
()ln 2(0)=
+->f x a x a x
. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；
（2）记()()()g x f x x b b R =+-∈．当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围．
22．已知函数()()()222
ln x f x e x mx m g x ax x ax x =++=++，.
（1）若函数()f x 在1x =-处取极小值，求实数m 的值；
（2）设0m =，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()f x ≥()g x 恒成立，求实数a 的值.
参考答案
1．A 【分析】
先求得A B ，再求其子集即可. 【详解】
由2220x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=-⎩，
所以()(){}1,1,1,1A B ⋂=--，
所以A B 的子集有(){}(){}()(){},1,1,1,1,1,1,1,1∅----，共4个， 故选：A 2．D 【分析】
利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】
命题“存在0x ∈R ，0
13x ⎛⎫
⎪⎝⎭
≤0”是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即对任意的x ∈R ， 103x
⎛⎫
> ⎪⎝⎭，
故选：D 3．D 【分析】
根据分段函数的定义域，先求得(1)f -，再求((1))f f -即可. 【详解】
因为函数2,()3,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨
-<⎪⎩
， 所以()(1)314f -=--=，
所以()((1))42f f f -=， 故选：D 4．C
【分析】
利用抽象函数的定义域求法求解. 【详解】
因为函数(2)x f 的定义域是[]1,3， 所以13x ≤≤，
则228x ≤≤，即2218x ≤+≤，
解得1722
x ≤≤，
所以函数(21)f x +的定义域是17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
故选：C 5．B 【分析】
利用函数的奇偶性和周期性求解. 【详解】
因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，周期为2，且当01x ≤≤时，2()f x x x =-， 所以 20191111
(
)(10102)22224
f f f f ⎛⎫
⎛⎫=⨯-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 故选：B 6．A 【分析】
根据给定图象求出函数()y f x =的单调递减区间即可得解. 【详解】
观察函数()y f x =的图象知，()y f x =在1
[,1]3
-和[2,3)上都是单调递减的，
所以不等式()0f x '≤的解集为1
[,1][2,3)3
-⋃.
故选：A 7．D 【分析】
分1a >，01a <<，利用函数()log (1)a f x x =+在[0，1]上的单调性求解. 【详解】
当1a >时，函数()log (1)a f x x =+在[0，1]上是增函数， 所以()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，即00log 21a =⎧⎨=⎩，
解得2a =；
当01a <<时，函数()log (1)a f x x =+在[0，1]上是减函数， 所以()()0110f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，即01log 20a =⎧⎨=⎩，无解，
综上：2a =， 故选：D 8．A 【分析】
利用对数和指数函数的单调性判断. 【详解】
1
49331log log 34
a ====，
3
3log log b == 因为64325
>
，
所以33
log log >，即a b >， 又2
25
0.619
c -==
>， 所以c a b >>， 故选：A 9．C 【分析】
先根据题意求得函数解析式，再由函数值为12求解. 【详解】
由题意得：2219248b k b
e e +⎧=⎨=⎩，解得ln192
1ln 211b k =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，
所以1ln 4ln192
11x y e ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
=， 则1ln 2ln1921112x e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，即1ln 2ln192ln1211x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
， 解得x =44℃, 故选：C 10．C 【分析】
本题可根据函数()2ln x
f x x x
=+的单调性以及求解()0f x =得出结果. 【详解】 函数()2ln x
f x x x
=
+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 当0x >时，()12ln f x x =+，是增函数， 令()0f x =，解得12
1x e
e
， 当0x <时，()()12ln f x x =-+-，是减函数， 令()0f x =，解得12
x
e
e ，
结合四个选项中的图像易知，只有C 项满足， 故选：C. 11．C 【分析】
根据对任意12,x x ，都有()1212()()()0--<f x f x x x 成立，得到函数在R 上是减函数求解. 【详解】
因为对任意12,x x ，都有()1212()()()0--<f x f x x x 成立，
所以函数(3)5,1,()2,1a x x f x a
x x -+≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩
在R 上是减函数， 所以30
352a a a a -<⎧⎪
>⎨⎪-+≥⎩ ，解得02a <≤， 所以实数a 的取值范围是 (0，2]. 故选：C
12．B 【分析】
由(1)=-y f x 的特性结合函数图象平移变换可得()f x 是奇函数，由(2)(2)f x f x -=+可得函数()f x 的周期，
由此探讨出()f x 的值域，再将所求问题转化为不等式21mx x +<-在R 上有解即可. 【详解】
由函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)对称知函数()y f x =的图象关于原点对称，即函数()y f x =是奇函数，
由任意的x ，总有(2)(2)f x f x -=+成立，即(4)()f x f x +=恒成立，于是得函数()y f x =的周期是4，
又当(0,2)x ∈时，2()21f x x x =-+，则当(0,2)x ∈时，0()1f x ≤<，而()f x 是奇函数，当(2,0)x ∈-时，1()0f x -<≤，
又(2)(2)f f -=，f (-2)=-f (2)，从而得(2)(2)(0)0-===f f f ，即[2,2)x ∈-时，1()1f x -<<， 而函数()y f x =的周期是4，于是得函数()y f x =在R 上的值域是(1,1)-，
因对任意x ∈R ，存在t ∈R ，使得()()>f x g t 成立，从而得不等式()1g x <-，即21mx x +<-在R 上有解，
当0m ≤时，取2x =-，4221m -≤-<-成立，即得0m ≤， 当0m >时，210mx x ++<在R 上有解，必有140m ∆=->，解得1
4m <，则有104
m <<， 综上得14
m <
， 所以满足条件的实数m 构成的集合为1
{|}4
<m m .
故选：B
13．若,x y 不都是实数，则220+<x y 【分析】
利用否命题的定义求解. 【详解】
因为否命题是既否定原命题的条件，也否定原命题的结论，
所以命题“若,x y 都是实数，则220≥+x y ”的否命题是“若,x y 不都是实数，则22
0+<x y ”，
故答案为：若,x y 不都是实数，则220+<x y 14．
4
π 【分析】
利用定积分的几何意义求解. 【详解】
因为⎰()0,0为圆心，以为半径的圆的面积的1
4
，
所以2144
r ππ==⎰，
故答案为：4
π 15．1
(,1)3
【分析】
令()2g x ax x =-，根据函数2
()log ()a f x ax x =-在[]3,4上是减函数，利用复合函数的单调性，
分1a >，01a <<讨论求解. 【详解】
令()2
g x ax x =-，
当1a >时，因为函数2
()log ()a f x ax x =-在[]3,4上是减函数，
所以函数()2
g x ax x =-在[]3,4上是减函数，且()0g x >成立，
则()14241640a g a ⎧≥⎪⎨⎪=->⎩
，无解， 当01a <<时，因为函数2
()log ()a f x ax x =-在[]3,4上是减函数，
所以函数()2
g x ax x =-在[]3,4上是增函数，且()0g x >成立，
则()1
3
23930
a g a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得113a <<，
综上：实数a 的取值范围是1(,1)3
故答案为：1(,1)3
16．()()0,19,⋃+∞．
【详解】
试题分析：（方法一）在同一坐标系中画()23f x x x =+和()1g x a x =-的图象（如图），问
题转化为
()f x 与()g x 图象恰有四个交点．当()1y a x =-与23y x x =+（或()1y a x =--与23y x x =--）
相切时，()f x 与()g x 图象恰有三个交点．把()1y a x =-代入23y x x =+，得()231x x a x +=-，
即()230x a x a +-+=，由0∆=，得()2
340a a --=，解得1a =或9a =．又当0a =时，()f x 与()g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．
（方法二）显然1x ≠，∴231
x x a x +=-．令1t x =-，则45a t t =++ ∵(][)4,44,t t +∈-∞-⋃+∞，∴(][)45,19,t t
++∈-∞⋃+∞．结合图象可得01a <<或9a >． 考点：方程的根与函数的零点．
17．（1）13{|}A x x =-≤≤；（2）[2,)+∞.
【分析】
（1）由3a =，利用一元二次不等式的解法求解；
（2）根据A B A ⋃=，由B A ⊆求解.
【详解】
（1）3a =，由(3)(1)0-+≥x x ，得(3)(1)0x x -+≤，
解得13x -≤≤，
所以13{|}A x x =-≤≤.
（2）{||1|1}{|02}=-<=<<B x x x x .
因为0a >，所以{|1}=-≤≤A x x a .
由A B A ⋃=，得B A ⊆.
所以2a ≥，即a 的取值范围为[2,)+∞.
18．（1）1()f x x -=；（2）(-∞.
【分析】
(1)利用幂函数的定义及性质结合已知条件列式计算即得；
(2)构造函数()2()g x x f x =+，再求出函数()g x 在指定区间上的最小值即可得解.
【详解】
（1）因幂函数2
3()--=m m f x x 在区间(0,)+∞上单调递减，所以230--<m m ，解得
<<m 又*m N ∈，2m ≥，则2m =，此时，231--=-m m ，即1()f x x -=，
所以()f x 的解析式是1()f x x -=；
（2）由(1)得22()x f x x x
+=+，于是得不等式2a x x ≤+在31[]2,x ∈上恒成立，
令21(),[,3]
2
=+∈g x x x x ，由2x x +≥当且仅当2x x =，即x )，即
min ()g x =
所以实数a 的取值范围是(-∞.
19．()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【分析】
先根据,P Q 命题均为真命题时，求出对应a 的取值范围，再根据P 与Q 一真一假讨论即可得答案.
【详解】
解：对于P 命题，若0a =，显然满足，若0a ≠，则240a a ∆=-<且0a >，即04a <<所以当P 命题为真命题时，实数a 的取值范围为[)0,4； 对于Q 命题，根据题意得140a ∆=-≥，解得14
a ≤， 所以当Q 命题为真命题时，实数a 的取值范围为1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦.
由于P 与Q 中有且仅有一个为真命题，
所以当P 真Q 假时，实数a 的取值范围为1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 当P 假Q 真时，实数a 的取值范围为(),0-∞.
综上，实数a 的取值范围是()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查根据命题真假求参数的求值范围，涉及一元二次不等式恒成立等，考查分类讨论思想和运算能力，是中档题.
20． （Ⅰ）10M =，1m =；（Ⅱ）
314
. 【详解】
（1）由(0)22f c ==可知，……………………………1分 又{}2A 1
212(1)0.ax b x c =+-+=，，故，是方程的两实根 1-b 1+2=a {,c 2=a
∴…………………3分 1,2a b ==-解得…………4分 []22()22(1)1,2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-
min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即……………………………5分
max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即……………………………6分
（2）2(1)02,ax b x c x +-+==由题意知，方程有两相等实根 x=1
∴，即 ……………………………8分
∴f （x ）=ax 2+（1-2a ）x+a, x ∈[-2,2] 其对称轴方程为x=
又a≥1，故1-……………………………9分
∴M=f （-2）="9a- 2 " …………………………10分
m= ……………………………11分
g （a ）=M+m=9a--1 ……………………………14分
[)min 63()1,1().4g a a g a +∞∴==又在区间上为单调递增的，当时，= ………16分
21．（1）单调增区间是(2,)+∞，单调减区间是(0,2)；（2）2(1, 1]e e
+-. 【分析】
（1）先利用导数的几何意义求得a ，从而得到函数，再利用导数法求单调区间；
（2）由（1）得到()g x ，再利用导数研究函数的单调性，再根据函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点区间.
【详解】
（1）直线2y x =+的斜率为1．函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
22()a f x x x
'=-+， 所以22(1)111a f '=-
+=-， 所以1a =．
所以2()ln 2f x x x
=+-，22()x f x x -'=． 由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<．
所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞，单调减区间是(0,2)．
（2）依题得2()ln 2g x x x b x
=++--， 则222()x x g x x
+-'=． 由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<．
所以函数()g x 在区间(0,1
?)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数． 又因为函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，
所以1()0()0(1)0g e g e g -⎧≥⎪≥⎨⎪<⎩
，
解得211b e e
<≤+-． 所以b 的取值范围是2(1, 1]e e
+-． 【点睛】
方法点睛：函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一
22．（1）1m =；（2）1a =.
【分析】
（1）先求解出()f x '，然后根据()10f '-=求解出m 的值，然后再分析m 取不同值时是否能满足在1x =-处取极小值，由此确定出m 的值；
（2）由题意可得不等式(ln )1x xe a x x ≥++恒成立，然后构造函数()1(ln )x h x xe a x x =--+，利用导数分析()h x 的单调性并确定出最小值，根据()min 0h x ≥求解出a 的取值范围.
【详解】
（1）22()(2)x f x e x m x m m '⎡⎤=++++⎣⎦，
由题意得(1)0f '-=，即1m =±，
当1m =时，()(1)(2)x f x e x x '=++，
此时()f x 在()2,1--上递减，在(1,)-+∞上递增，所以符合要求；
当1m =-时，()(1)x f x e x x '=+，
此时()f x 在(,1)-∞-上递增，在(1,)-+∞上递减，所以不符合要求.
综上，1m =
（2）方法1：直接研究差函数的最小值，需借助隐零点
由()()f x g x ≥得不等式(ln )1x xe a x x ≥++恒成立，
令()1(ln ),(0)x h x xe a x x x =--+>，求导得()(1)x a h x x e x ⎛⎫'=+- ⎪⎝
⎭， 当0a ≤，()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增， 因为11211111111102e h e a e a e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-<-+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以不符合题意； 当0a >时，令(),(0)x x xe a x φ=->，则()x φ在()0,∞+上递增，
又(0)0,()0a a a ae a φφ=-<=->，且()x φ在()0,∞+上连续，
所以存在唯一0(0,)x a ∈，使得()0000x x x e a φ=-=，
当()00,x x ∈时，()0h x '<，故()h x 递减；
当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，故()h x 递增.
且000x e x a -=，00ln ln x x a +=，
所以()()0min 0000()1ln ln 1x h x h x x e a x x a a a ==--+=--，
所以ln 10--≥a a a ，即1ln 10a a +
-≤， 令1()ln 1a a a ϕ=+-，则21()a a a
ϕ-'=，所以()a ϕ在()0,1上递减，在(1,)+∞上递增， 又(1)0ϕ=，所以1a =
方法2：指数化､换元处理
由()()f x g x ≥得1(ln )0x xe a x x --+≥，指数化得不等式ln 1(ln )0x x e a x x +--+≥恒成立， 令ln x x t +=，则t R ∀∈，不等式10t e at --≥恒成立，
令()1,()t h t e at t R =--∈，则()t h x e a '=-，
当0a ≤时，1(1)10h a e
-=+-<，所以不符合题意； 当0a >时，()h t 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，
所以min ()(ln )ln 1h t h a a a a ==--
所以ln 10--≥a a a ，即1ln 10a a +
-≤， 令1()ln 1a a a ϕ=+-，则21()a a a
ϕ-'=，所以()a ϕ在()0,1上递减，在(1,)+∞上递增， 又(1)0ϕ=，所以1a =.
【点睛】
思路点睛：导数问题中运用“隐零点”思想的一般求解步骤：
（1）先分析导函数()f x '的单调性，采用零点的存在性定理确定出()f x '的零点0x ；
（2）分析()f x '在定义域上的取值正负，从而确定出()f x 的单调性，由此确定出()f x 的最值()0f x ；
（3）由（2）中计算出的最值()0f x 可通过()00f x '=继续化简，由此求得更简单的最值形式.。