2019第十二章第二节二重积分的应用.ppt
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《二重积分计算》课件
探索二重积分在几何问题中的应用，如面积和体积计算。
二、计算方法
1
1. 积分区域为矩形或直角梯形
学习如何计算矩形或直角梯形形状的积
2. 积分区域为一般图形
2
分区域。
掌握将一般图形的积分区域化为标准形
式来计算二重积分。
3
3. 二重积分的性质
了解二重积分的线性性质、区域可加性 质、乘性质和区域可减性质。
七、问题解答
回答大家在学习过程中遇到的问题，确保所有疑惑都得到解答。
八、结束语
恭喜您完成了本次《二重积分计算》的课程！希望本课件对您的学习有所帮 助，继续努力，探索更多数学的奥秘！
作业练习
通过练习题检验你对二重积分 计算的理解和掌握程度。
五、实践案例
工程实践中的二重积分
了解工程实践中如何应用二重积 分解决实际问题。
统计学中的二重积分
探索统计学中如何利用二重积分 分析数据和概率分布。
建筑设计中的二重积分
了解建筑设计中如何应用二重积 分计算面积和体积。
六、扩展阅读
进一步探索二重积分的相关知识和应用领域，拓宽你的数学视野。
三、应用
质心和重心
探索如何利用二重积分计算物体的质心和重心坐标。
面积和弧长
了解如何通过二重积分计算图形的面积和曲线的弧长。
积分坐标变换
学习如何应用坐 技巧
总结二重积分的计算方法，掌 握其中的技巧和要点。
小结
回顾课程的重点内容，帮助你 巩固所学知识。
《二重积分计算》PPT课 件
欢迎大家来到《二重积分计算》的课件！本课程将带您深入了解二重积分的 基本概念、几何意义和计算方法。让我们一起开始探索吧！
一、概述
什么是二重积分
二、计算方法
1
1. 积分区域为矩形或直角梯形
学习如何计算矩形或直角梯形形状的积
2. 积分区域为一般图形
2
分区域。
掌握将一般图形的积分区域化为标准形
式来计算二重积分。
3
3. 二重积分的性质
了解二重积分的线性性质、区域可加性 质、乘性质和区域可减性质。
七、问题解答
回答大家在学习过程中遇到的问题，确保所有疑惑都得到解答。
八、结束语
恭喜您完成了本次《二重积分计算》的课程！希望本课件对您的学习有所帮 助，继续努力，探索更多数学的奥秘！
作业练习
通过练习题检验你对二重积分 计算的理解和掌握程度。
五、实践案例
工程实践中的二重积分
了解工程实践中如何应用二重积 分解决实际问题。
统计学中的二重积分
探索统计学中如何利用二重积分 分析数据和概率分布。
建筑设计中的二重积分
了解建筑设计中如何应用二重积 分计算面积和体积。
六、扩展阅读
进一步探索二重积分的相关知识和应用领域，拓宽你的数学视野。
三、应用
质心和重心
探索如何利用二重积分计算物体的质心和重心坐标。
面积和弧长
了解如何通过二重积分计算图形的面积和曲线的弧长。
积分坐标变换
学习如何应用坐 技巧
总结二重积分的计算方法，掌 握其中的技巧和要点。
小结
回顾课程的重点内容，帮助你 巩固所学知识。
《二重积分计算》PPT课 件
欢迎大家来到《二重积分计算》的课件！本课程将带您深入了解二重积分的 基本概念、几何意义和计算方法。让我们一起开始探索吧！
一、概述
什么是二重积分
二重积分计算法ppt详解.
8 R(R2 x2)dx16 R3 .
0
3
【例6】求由曲面 z x2 2 y2及 z 6 2x2 y2
所围成的立体的体积。
二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极
坐标变量 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑
利用极坐标来计算二重积分.
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1( y) x 1( y), cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
a
g ( x)dx][
d
h( y)dy]
a
c
b
c
D
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
如果D是X型区域 j1(x)yj2(x), axb, 则
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
提示
根截此据面时平是二行以重截区积面间分面[jD积1f(x(为x0,),y已)dj知2(x在的0)几立]为何体底上体、表积以示的以曲求曲线法面z. fz(xf(0x,
《数学二重积分》课件
《数学二重积分》PPT课 件
数学二重积分的概念与应用
引言
本课件旨在介绍数学二重积分的定义、计算方法、应用和性质，以及换元法和计算技巧。 通过深入浅出的讲解和实例演示，帮助你掌握此重要数学概念。
数学二重积分的定义
二重积分是对二元函数在一个平面区域上的积分运算。 了解二重积分的概念和计算方法，为后续的应用和性质提计算
通过二重积分可以计算平面区域的面积，是几何学中重要的应用。
质量的计算
二重积分可以用于计算平面图形的质量分布，例如薄片的密度。
负荷的计算
在物理学和工程学中，利用二重积分可以计算平面上的负荷分布。
数学二重积分的性质
1 二重积分的线性性质
二重积分具有线性运算的性质，便于对复杂问题进行简化和分析。
2 二重积分的积分区域可加性
当将积分区域分割为多个子区域时，二重积分可以按子区域进行分别计算后相加。
数学二重积分的换元法
1 二重积分的变量替换
通过适当的变量替换，可以将复杂的二重积分转化为更简单的形式。
2 二重积分的雅可比行列式
雅可比行列式是换元法中的重要工具，用于计算变量替换后的积分。
数学二重积分的计算技巧
1 对称性的利
利用数学二重积分的对称性，可简化计算并提高效率。
数学二重积分的概念与应用
引言
本课件旨在介绍数学二重积分的定义、计算方法、应用和性质，以及换元法和计算技巧。 通过深入浅出的讲解和实例演示，帮助你掌握此重要数学概念。
数学二重积分的定义
二重积分是对二元函数在一个平面区域上的积分运算。 了解二重积分的概念和计算方法，为后续的应用和性质提计算
通过二重积分可以计算平面区域的面积，是几何学中重要的应用。
质量的计算
二重积分可以用于计算平面图形的质量分布，例如薄片的密度。
负荷的计算
在物理学和工程学中，利用二重积分可以计算平面上的负荷分布。
数学二重积分的性质
1 二重积分的线性性质
二重积分具有线性运算的性质，便于对复杂问题进行简化和分析。
2 二重积分的积分区域可加性
当将积分区域分割为多个子区域时，二重积分可以按子区域进行分别计算后相加。
数学二重积分的换元法
1 二重积分的变量替换
通过适当的变量替换，可以将复杂的二重积分转化为更简单的形式。
2 二重积分的雅可比行列式
雅可比行列式是换元法中的重要工具，用于计算变量替换后的积分。
数学二重积分的计算技巧
1 对称性的利
利用数学二重积分的对称性，可简化计算并提高效率。
高等数学第二节二重积分的计算优秀PPT
f
(x,
y) dx
d
y
X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
常记d为 (y) X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
2
dy f(x,y)dx. c Y型区域的特点：穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
D 高等数学第二节二重积分的计算
X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 . X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
c y d
1( y) x 2( y)
例 1. 计算 xydxdy 其D 中 是由 y 直 1,x 线 2
0 R 2x2dy
D
R
80R(R2x2)dx
16 3
R3
x
R y
x2y2R2
25x
例4. 交换积分 : I次 03dx序 5x23 f(x, y)dy
0x3
解.
D5x2 9
y
25x 3
画图
0 y5
D
3y2 25
x
9y 5
9
y
25x or x 3y2 3 A(3,5) 25
D
f
(x,
y)d
x
d
y
b
a d
x 2 ( x) 1( x)
f
x,
yd y
(2)
( 1 ) 式 x ,后 先 y 积 对 ,对 ( 2 ) 式 分 y ,后 先 x 积 对 . 对
由 (1)化(为 2)或(由 2)化(为 1)称为交换积 . 分次
第十二章第二节二重积分的应用共17页
y
•
d
o
x
27.04.2020
第3页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
例1. 设平面薄片D是由 x+ y =2，y =x 和 x 轴所围成的区域，
它的密度
(x,y)x2，求y该2 薄片的质量.
解: 先解方程组
x y,
x
y
2,
x 1
y
1
得两曲线的交点为(1,1)， D可用不等式表示为
y x 2 y,
0 y 1.
y
2
x y
1
D
x y2
O
12
x
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第4页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
m(x, y)dxdy D
1
dy
2y(x2y2)dx
0
y
2y
1 0
1 3
x3
y2x
y
dy
y
2
x y
1
D
x y2
O
12
x
011 3(2y)32y27 3y3dy
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第14页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
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15
第十二章多元函数积分学
谢谢
薄片绕 y 轴转动
D
y
dIyx2dm x2(x,y)d,
y
•
Iy x2(x,y)d, D
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第12页
d
ox
x
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
例 5 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别 为
2019年-9-2 二重积分的计算法-PPT精选文档
解 e y 2 d 无 法 用 y 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2 y3dy e 1 y2 y2dy2 1(1 2).
0
3
0
6
6e
8
例10. 关于分块函数在D上的积分. 求| yx|d
a
a2 y2
故本题无法用直角 坐标计算.
14
二、利用极坐标计算二重积分 y
1
1 x
要分部积分，不易计算
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idy yexydx dy yexydx
11 2y
11
易见尽管须分片积分，但
由于被积函数的特点，积 分相对而言也较方便。
D
7
例 9 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
D1
D2
9
11
1x
0dx x (yx)d y0d0 x (xy)dy y
1(1y2x)y1d x 1(xy 1y2)xdx 1
02
x
0
20
y=x
D1
D
D2
1(1x1x2)d x11x2dx 1
02 2
02
3
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
y2x y 2xx2
问 ： 从 积 分 域 的 形 状 看 ， 此 域 上 的 积 分 应 选 什 么 样 的 积 分 顺 序 ？
6
例8 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2 y3dy e 1 y2 y2dy2 1(1 2).
0
3
0
6
6e
8
例10. 关于分块函数在D上的积分. 求| yx|d
a
a2 y2
故本题无法用直角 坐标计算.
14
二、利用极坐标计算二重积分 y
1
1 x
要分部积分，不易计算
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idy yexydx dy yexydx
11 2y
11
易见尽管须分片积分，但
由于被积函数的特点，积 分相对而言也较方便。
D
7
例 9 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
D1
D2
9
11
1x
0dx x (yx)d y0d0 x (xy)dy y
1(1y2x)y1d x 1(xy 1y2)xdx 1
02
x
0
20
y=x
D1
D
D2
1(1x1x2)d x11x2dx 1
02 2
02
3
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
y2x y 2xx2
问 ： 从 积 分 域 的 形 状 看 ， 此 域 上 的 积 分 应 选 什 么 样 的 积 分 顺 序 ？
6
例8 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y
《二重积分的计算》课件
《二重积分的计算》PPT 课件
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之 一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定 义。
为什么需要学习二重积 分？
探究二重积分在数学和物理领 域的应用。
二重积分和单重积分有 什么不同？
比较二者之间的异同，并解释 二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本 质特征。
性质
总结二重积分的性质，包 括可加性、线性性和积分 换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积 分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的 方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分 式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可 以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个 计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分 式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算 出空间曲面的体积。
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之 一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定 义。
为什么需要学习二重积 分？
探究二重积分在数学和物理领 域的应用。
二重积分和单重积分有 什么不同？
比较二者之间的异同，并解释 二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本 质特征。
性质
总结二重积分的性质，包 括可加性、线性性和积分 换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积 分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的 方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分 式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可 以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个 计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分 式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算 出空间曲面的体积。
二重积分计算法PPT
6
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
j j 对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为 A ( x 0 ) 1 2 ( ( x x 0 0 ) ) f ( x 0 , y ) d . y
曲顶柱体体积为
ac
c
b
D
若 f(x ,y ) g (x )h (y )
g ( x ) h ( y ) d x d y = b d x d g ( x ) h ( y ) d y = [a g ( x ) d x ] [d h ( y ) d y ]acb来自cD11
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
x0
直线 xx0(ax0b)与D的边界至多有两个交点
3
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1(y)x1(y),
cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 yy0(cx0d)与D的边界至多有两个交点 4
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
5
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
即 f ( x , y ) d f ( c , s o ) d d i . s n
DD
❖在极坐标系下二重积分的计算
如果积分区域可表示为 D j1(q)j2(q), aqb, 则
D f( cq, o sq s ) i d n d q a bd q j j 1 2 ( q ( q ) )f( cq, o sq s ) i d n .
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
j j 对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为 A ( x 0 ) 1 2 ( ( x x 0 0 ) ) f ( x 0 , y ) d . y
曲顶柱体体积为
ac
c
b
D
若 f(x ,y ) g (x )h (y )
g ( x ) h ( y ) d x d y = b d x d g ( x ) h ( y ) d y = [a g ( x ) d x ] [d h ( y ) d y ]acb来自cD11
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
x0
直线 xx0(ax0b)与D的边界至多有两个交点
3
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1(y)x1(y),
cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 yy0(cx0d)与D的边界至多有两个交点 4
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
5
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
即 f ( x , y ) d f ( c , s o ) d d i . s n
DD
❖在极坐标系下二重积分的计算
如果积分区域可表示为 D j1(q)j2(q), aqb, 则
D f( cq, o sq s ) i d n d q a bd q j j 1 2 ( q ( q ) )f( cq, o sq s ) i d n .
二重积分几何的应用课件
VS
详细描述
二重积分在计算平面图形面积时，可以将 平面分成很多小的矩形或三角形，然后对 每个小区域进行积分，最后将这些积分结 果相加，得到整个图形的面积。这种方法 可以用于计算各种复杂图形的面积，如多 边形、曲线和曲面的面积。
计算立体的体积
总结词
二重积分可以用于计算立体的体积，通过将 立体分成许多小的长方体或四面体，然后对 每个小体积进行积分，最后求和得到总体积。
详细描述
二重积分在计算立体体积时，可以将立体分 成很多小的长方体或四面体，然后对每个小 体积进行积分，最后将这些积分结果相加， 得到整个立体的体积。这种方法可以用于计 算各种立体的体积，如圆柱体、圆锥体和球 体的体积。
计算平面曲线的长度
总结词
二重积分可以用于计算平面曲线的长度，通 过将曲线分成许多小的线段，然后对每个小 线段进行积分，最后求和得到总长度。
计算地球质量分布
通过对地球表面各点的重力加速度进行测量，结合地球半径和地球质量等参数，通过二 重积分可以反推出地球内部的质量分布情况。
计算物体的质心和转动惯量
计算质心
物体的质心是物体质量的几何中心。通过将物体的质量 分布进行二重积分，可以得到物体的质心位置。
计算转动惯量
转动惯量是描述物体转动惯性大小的物理量。通过将物 体的质量分布进行二重积分，可以得到物体的转动惯量。
计算效用函数的期望效用
总结词
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，通过二重积分可以计算不同投资组合的期望效用。
详细描述
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，它反映了投资者对风险的态度和承受能力。二重积分 可以用来计算不同投资组合的期望效用，即投资者在选择不同的投资组合时，预期能够获得的效用水平。通过二 重积分，可以将不同投资组合的概率分布和效用函数结合起来，得到期望效用的数值。
高等数学二重积分的计算ppt课件
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
例1. 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
例2. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
一、利用直角坐标计算二重积分
且在D上连续时,
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
则
若D为Y –型区域
则
当被积函数
均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
由于
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(1)
(2)
例6. 计算
其中
解: 在极坐标系下
原式
的原函数不是初等函数 ,
故本题无法用直角
由于
故
坐标计算.
注:
利用例Байду номын сангаас可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例6的结果, 得
①
故①式成立 .
例7. 求球体
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
显然,
对应有
二、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
在
内取点
及射线 =常数, 分划区域D 为
即
设
第讲 二重积分的应用PPT课件
一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为
V D f (x, y)dxdy
例1 计算由曲面 z 1 4 x2 y2 及 xoy 面所围的立体 体积。
第1页/共16页
例1 计算由曲面 z 1 4 x2 y2 及 xoy 面所围的立体
体积。
z
z
1
解 设立体在
第一卦限上 的体积为 V1。
x
(x, y) y d
为 S 上过 M ( x, y, f ( x, y))
的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于 z 轴的小 柱面，截曲面 s 为 ds；截切平面 为 dA， 则有dA ds.
第6页/共16页
d 为 dA 在 xoy 面上的投影, d dA cos ,
cos
1
,
1
1000 150 3
12100000 4033 (元). 3000
第15页/共16页
感谢您的观看！
第16页/共16页
第14页/共16页
1 a
D
f
(x,
y)d
1
200
dx
100[5000 (x 200)2
( y 100)2 ]dy
50 20 150 80
1
1000
200 150
([5000
y
(
x
200)2
y
(
y
100)3 3
]100 80
)dx
1 200[ 292000 20(x 200)2 ]dx
一周内商品甲的销售量在150～200之间，商品乙的 销售量在80～ 100之间.试求销售这两种产品一周的 平均利润.
解: x,y的变换范围 D={(x,y)|150≤ x≤200,80≤y ≤100}
• 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为
V D f (x, y)dxdy
例1 计算由曲面 z 1 4 x2 y2 及 xoy 面所围的立体 体积。
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例1 计算由曲面 z 1 4 x2 y2 及 xoy 面所围的立体
体积。
z
z
1
解 设立体在
第一卦限上 的体积为 V1。
x
(x, y) y d
为 S 上过 M ( x, y, f ( x, y))
的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于 z 轴的小 柱面，截曲面 s 为 ds；截切平面 为 dA， 则有dA ds.
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d 为 dA 在 xoy 面上的投影, d dA cos ,
cos
1
,
1
1000 150 3
12100000 4033 (元). 3000
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感谢您的观看！
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1 a
D
f
(x,
y)d
1
200
dx
100[5000 (x 200)2
( y 100)2 ]dy
50 20 150 80
1
1000
200 150
([5000
y
(
x
200)2
y
(
y
100)3 3
]100 80
)dx
1 200[ 292000 20(x 200)2 ]dx
一周内商品甲的销售量在150～200之间，商品乙的 销售量在80～ 100之间.试求销售这两种产品一周的 平均利润.
解: x,y的变换范围 D={(x,y)|150≤ x≤200,80≤y ≤100}
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高等数学
第十二章 多元函数积分学
第一节、二重积分 第二节、二重积分的应用 第三节、三重积分 第四节、曲线积分 第五节、格林公式 第六节、曲面积分
2019/3/25
贵州航天职业技术学院
第 1页
§12.2 二重积分的应用
一、立体体积 二、平面薄片的面积和质量 三、平面薄片的重心
三、平面薄片的转动惯量
小结
5 ( a , 6 a) . 所求形心坐标为
2019/3/25
第12页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用 四、平面薄片的转动惯量 设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点 ( x , y )处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y )在 D 上连 续，求平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量。
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
1 例2. 设平面薄片D为: 2sin r 4sin , 密度 ( x , y ) , y
求该平面薄片质量. 解: 区域D为
2sin r 4sin . 1 m ( x , y )dxdy dxdy. y D D π 4sin 1 d rdr 0 2sin r sin
0 π,
y
r 4sin r 2sin
D
O
x
2019/3/25
π
0
π 1 r d 2d 2π. 0 sin 2sin
第 7页
4sin
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
例3 . 设平面薄片1 x 2 y 2 4, x 0, y 0, 面密度 ( x, y ) x 2 y 2
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点 ( x , y )处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y ) 在 D 上连 续，求平面薄片的重心
y
m ( x , y )d
D
y
d
o
dM x xdm x ( x, y)d
x
x
dM y ydm y ( x, y)d
D
y
d
o
x
2019/3/25
第 4页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
例1. 设平面薄片D是由 x+ y =2，y =x 和 x 轴所围成的区域， 它的密度 . ( x, y ) x 2，求该薄片的质量 y2
解: 先解方程组
x y, x y 2,
解
先求区域 D 的面积 A，
y( x )
D
0 t 2 ， 0 x 2a
O
a
2 a
A
2 a
0
y( x )dx a(1 cos t Байду номын сангаасd[a( t sin t )]
0
2
a 2 (1 cos t ) 2 dt 3a 2 .
0
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第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
M x m x x ( x , y )d
D
M y m y y ( x , y )d
D
x ( x, y )d x , ( x, y )d
D D
y ( x, y )d y . ( x , y )d
§12.2 二重积分的应用
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ， 在点 ( x , y )处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y ) 在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？
dM ( x, y )d
M ( x , y )d
D
y
2
2
x y
D
dy
0
1
1
2 y y
( x y )dx
2
2 y
1
x y 2
1
1 3 2 x y x dy 0 3 y
1
O
2
x
7 3 1 3 2 (2 y ) 2 y y dy 0 3 3
3 . 4
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求该薄片的质量m. 解:
m ( x , y )d
D
y
r2 D
( x 2 y 2 )dxdy
D
O
4 2 d r 3dr
0 1
2
r 1
x
15 π. 8
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第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用 三、平面薄片的重心 ( x , y )
2019/3/25
贵州航天职业技术学院 周学来
第 2页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用 一、立体体积:
V f ( x , y )d
二、平面薄片面积和质量:
1．求平面薄片的面积
z
D
d
y
y
D
dy
D
d
D
O
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第 3页
x
o
dx
x
第十二章多元函数积分学
D D
当薄片是均匀的，重心称为形心.
1 x xd , AD
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1 y yd . AD
第10页
其中 A d
D
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用 x a ( t sin t ) 例 4 设平面薄板由 ，(0 t 2) 与 x 轴 y a (1 cos t ) 围成，它的面密度 1，求形心坐标．
2
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
由于区域关于直线 x a对称 ，
所以形心在x a 上，
即
x a ,
y( x ) 1 1 2 a y ydxdy dx ydy 0 AD A 0
1 2 a 5 a 2 2 3 [ y( x )] dx a. [1 cos t ] dt 2 0 6 a 6 6 0
x 1 y 1
y
2
1 D
x y
x y 2
1
得两曲线的交点为(1,1)， D可用不等式表示为
O
2
x
y x 2 y, 0 y 1.
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第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
m ( x , y )dxdy
第十二章 多元函数积分学
第一节、二重积分 第二节、二重积分的应用 第三节、三重积分 第四节、曲线积分 第五节、格林公式 第六节、曲面积分
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§12.2 二重积分的应用
一、立体体积 二、平面薄片的面积和质量 三、平面薄片的重心
三、平面薄片的转动惯量
小结
5 ( a , 6 a) . 所求形心坐标为
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第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用 四、平面薄片的转动惯量 设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点 ( x , y )处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y )在 D 上连 续，求平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量。
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
1 例2. 设平面薄片D为: 2sin r 4sin , 密度 ( x , y ) , y
求该平面薄片质量. 解: 区域D为
2sin r 4sin . 1 m ( x , y )dxdy dxdy. y D D π 4sin 1 d rdr 0 2sin r sin
0 π,
y
r 4sin r 2sin
D
O
x
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π
0
π 1 r d 2d 2π. 0 sin 2sin
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4sin
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
例3 . 设平面薄片1 x 2 y 2 4, x 0, y 0, 面密度 ( x, y ) x 2 y 2
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点 ( x , y )处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y ) 在 D 上连 续，求平面薄片的重心
y
m ( x , y )d
D
y
d
o
dM x xdm x ( x, y)d
x
x
dM y ydm y ( x, y)d
D
y
d
o
x
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第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
例1. 设平面薄片D是由 x+ y =2，y =x 和 x 轴所围成的区域， 它的密度 . ( x, y ) x 2，求该薄片的质量 y2
解: 先解方程组
x y, x y 2,
解
先求区域 D 的面积 A，
y( x )
D
0 t 2 ， 0 x 2a
O
a
2 a
A
2 a
0
y( x )dx a(1 cos t Байду номын сангаасd[a( t sin t )]
0
2
a 2 (1 cos t ) 2 dt 3a 2 .
0
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第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
M x m x x ( x , y )d
D
M y m y y ( x , y )d
D
x ( x, y )d x , ( x, y )d
D D
y ( x, y )d y . ( x , y )d
§12.2 二重积分的应用
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ， 在点 ( x , y )处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y ) 在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？
dM ( x, y )d
M ( x , y )d
D
y
2
2
x y
D
dy
0
1
1
2 y y
( x y )dx
2
2 y
1
x y 2
1
1 3 2 x y x dy 0 3 y
1
O
2
x
7 3 1 3 2 (2 y ) 2 y y dy 0 3 3
3 . 4
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求该薄片的质量m. 解:
m ( x , y )d
D
y
r2 D
( x 2 y 2 )dxdy
D
O
4 2 d r 3dr
0 1
2
r 1
x
15 π. 8
2019/3/25 第 8页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用 三、平面薄片的重心 ( x , y )
2019/3/25
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第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用 一、立体体积:
V f ( x , y )d
二、平面薄片面积和质量:
1．求平面薄片的面积
z
D
d
y
y
D
dy
D
d
D
O
2019/3/25
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x
o
dx
x
第十二章多元函数积分学
D D
当薄片是均匀的，重心称为形心.
1 x xd , AD
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1 y yd . AD
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其中 A d
D
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用 x a ( t sin t ) 例 4 设平面薄板由 ，(0 t 2) 与 x 轴 y a (1 cos t ) 围成，它的面密度 1，求形心坐标．
2
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
由于区域关于直线 x a对称 ，
所以形心在x a 上，
即
x a ,
y( x ) 1 1 2 a y ydxdy dx ydy 0 AD A 0
1 2 a 5 a 2 2 3 [ y( x )] dx a. [1 cos t ] dt 2 0 6 a 6 6 0
x 1 y 1
y
2
1 D
x y
x y 2
1
得两曲线的交点为(1,1)， D可用不等式表示为
O
2
x
y x 2 y, 0 y 1.
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第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
m ( x , y )dxdy