优化方案高考数学(新课标全国卷Ⅰ·文科)二轮复习优化方案二轮第一部分专题一第1讲专题强化精练提能

[A 卷]
1．(2015·高考浙江卷改编)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2<x <4}，则P ∩Q ＝________．
解析：P ＝{x |x 2－2x ≥3}＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－1}，所以P ∩Q ＝{x |x ≥3或x ≤－1}∩{x |2＜x ＜4}＝{x |3≤x ＜4}，即P ∩Q ＝[3，4)． 答案：[3，4)
2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是____________． 答案：任意一个无理数，它的平方不是有理数
3．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________．
解析： 命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以应填“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”．
答案：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 4．(2015·无锡模拟)下列命题中真命题的序号是________．
①∃x ∈R ，x ＋1
x
＝2；②∃x ∈R ，sin x ＝－1；
③∀x ∈R ，x 2>0；④∀x ∈R ，2x >0
解析：对于①x ＝1成立，对于②x ＝3π
2成立，对于③x ＝0时显然不成立，对于④，根据
指数函数性质显然成立．
答案：①②④
5．已知集合A ＝{z ∈C |z ＝1－2a i ，a ∈R }，B ＝{z ∈C ||z |＝2}，则A ∩B ＝________．
解析：A ∩B 中的元素同时具有A ，B 的特征，问题等价于|1－2a i|＝2，a ∈R ，解得a ＝±32
.
故A ∩B ＝{1＋3i ，1－3i}．
答案：{1＋3i ，1－3i}
6．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，实数a 的取值范围是________．
解析：ax 2
－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎨
⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0.得－3≤a <0；
所以－3≤a ≤0. 答案：－3≤a ≤0 7．(2015·南京调研)设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．
解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}＝(－1，1)，∁R A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，则u ＝1－x 2∈(0，1]，
所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}＝(－∞，0]，∁R B ＝(0，＋∞)，
所以题图阴影部分表示的集合为(A ∩∁R B )∪(B ∩∁R A )＝(0，1)∪(－∞，－1]． 答案：(0，1)∪(－∞，－1]
8．已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |⎝⎛⎭⎫12x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩(∁R B )＝________．
解析：A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，所以A ∩(∁R B )＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}＝{x |0≤x <2或x >4}．
答案：{x |0≤x <2或x >4}
9．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π
6的值为________．
解析：由题意得sin θ－1≥0.又－1≤sin θ≤1，所以sin θ＝1.
所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．故cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1
2.
答案：12
10．(2015·宿迁模拟)l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2
不相交，则p 是q 的________条件．
解析：由l 1，l 2是异面直线，可得l 1，l 2不相交，所以p ⇒q ；由l 1，l 2不相交，可得l 1，l 2是异面直线或l 1∥l 2，所以q ⇒/p .所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．
答案：充分不必要
11．给出以下三个命题：
①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；
②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；
③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号)
解析： 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B .故填②. 答案： ② 12．(2015·南京模拟)下列说法正确的序号是________．
①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”； ②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；
④命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”
解析：命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确．由x ＝－1，能够得到x 2－5x －6＝0，反之，由x 2－5x －6＝0，得到x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，所以②不正确．命题“若x ＝y ，则sin x ＝
sin y ”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③正确．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0
＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，所以④不正确．
答案：③ 13．若命题“∀x ∈[－1，1]，1＋2x ＋a ·4x <0”是假命题，则实数a 的最小值为 __________．
解析：变形得a <－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋14x ＝－⎝⎛⎭⎫12x ＋122＋14，
令t ＝12x ，则a <－⎝⎛⎭⎫t ＋122＋14
，
因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤
12，2，
所以f (t )＝－⎝⎛⎭⎫t ＋122＋14
在⎣⎡⎦⎤12，2上是减函数，
所以[f (t )]min ＝f (2)＝－⎝⎛⎭⎫2＋122＋14
＝－6，
又因为该命题为假命题．
所以a ≥－6，
故实数a 的最小值为－6. 答案：－6
14．(2015·高考福建卷改编)“对任意x ∈(0，π
2
)，k sin x cos x ＜x ”是“k ＜1”的________
条件．
解析：令f (t )＝sin t －t ，则f ′(t )＝cos t －1≤0恒成立，所以f (t )＝sin t －t 在[0，π]上是减函数，f (t )≤f (0)＝0，所以sin t <t (0<t <π)．令t ＝2x ，则sin 2x ＜2x (0<x <π
2)，所以2sin x cos x <2x ，
所以sin x cos x <x .当k <1时，k sin x cos x <x ，故必要性成立；当x ＝π
3时，k sin 2x <2x 可化为
k <2×
π3
sin
2π
3
＝43π9，而43π9>43，取k ＝4
3，不等式成立，但此时k >1，故充分性不成立．
答案：必要而不充分
[B 卷]
1．命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为__________． 答案：若a ≤b ，则2a ≤2b －1
2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是__________________． 答案：存在一个能被2整除的数不是偶数
3．满足条件{1}⊆M ⊆{1，2，3}的集合M 的个数是________．
解析：满足条件{1}⊆M ⊆{1，2，3}的集合M 有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．
答案：4
4．若a 、b 为实数，则 “0<ab <1”是“b <1
a
”的________条件．
解析：0<ab <1，a 、b 都是负数时，不能推出b <1
a
；
同理b <1
a
也不能推出0<ab <1.
答案：既不充分也不必要 5．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是________． 解析：由M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}可知a 1∈M ，a 2∈M ，a 3∉M ，则M 有{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 4}两个． 答案：2
6．下列命题中，真命题是__________________．(填序号) ① ∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数； ② ∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数； ③ ∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数； ④ ∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数．
解析：当m ＝0时，函数f (x )＝x 2(x ∈R )是偶函数，①是对的．此外，∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都不是奇函数，因此排除②，④.若m ＝1，则函数f (x )＝x 2＋x (x ∈R )既不是奇函数也不是偶函数，因此排除③.
答案：①
7．期中考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为75%，则上述两门学科都优秀的百分率至少为________．
解析：根据韦恩图可知70%＋75%－1＝45%. 答案：45%
8．已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是真命题，实数a 的取值范围为______．
解析：因为命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增，所以0<a <1. 又命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，
所以a ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧a －2<0，
Δ＝4（a －2）2
＋16（a －2）<0， 即－2<a ≤2.
因为P ∨Q 是真命题，所以a 的取值范围是－2<a ≤2.
答案：－2<a ≤2
9．(2015·扬州模拟)已知a 、b ∈R ，集合A ＝{a ，a ＋b ，1}，B ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫b ，b a ，0，且A ⊆B ，
B ⊆A ，则a －b 的值为______．
解析：因为A ⊆B ，B ⊆A ，所以A ＝B .
因为a ≠0，所以a ＋b ＝0，即a ＝－b ，所以b
a
＝－1，
所以b ＝1，a ＝－1，所以a －b ＝－2. 答案：－2
10．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：
① 函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；
② 指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；
③ 若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④ 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题是________．(填序号)
解析：对于①，若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝±x 2，不合题意；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件． 答案：②③④
11．已知集合A ＝{y |y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x |x 2＋3x －a 2－3a >0}．若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为____________________________________．
解析：由题意有A ＝[－8，－4]，B ＝{x |(x －a )(x ＋a ＋3)>0}．
① 当a ＝－32时，B ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，x ≠－32， 所以A ⊆B 恒成立；
② 当a <－3
2时，B ＝{x |x <a 或x >－a －3}．
因为A ⊆B ，所以a >－4或－a －3<－8，
解得a >－4或a >5(舍去)，所以－4<a <－3
2
；
③ 当a >－3
2时，B ＝{x |x <－a －3或x >a }．
因为A ⊆B ，所以－a －3>－4或a <－8(舍去)，
解得－3
2
<a <1.
综上，当A ⊆B 时，实数a 的取值范围是(－4，1)． 答案：(－4，1) 12．（2015·常州模拟）A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．若A
＝{x |y ＝x 2－3x }，B ＝{y |y ＝3x }，则A ×B ＝________．
解析：A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，
B ＝(0，＋∞)．A ∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)．
所以A ×B ＝(－∞，3)． 答案：(－∞，3)
13．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：
①2 011∈[1]； ②－3∈[3]；
③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a 、b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中正确结论的序号是________． 答案：①③④
14．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
（x ，y ）|m 2≤（x －2）2＋y 2≤m 2，x 、y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m
＋1，x 、y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．
解析：若m ＜0，则符合题意的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，则|2－2m －1|2
≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋22，与m <0矛盾；
若m ＝0，则符合题意的条件应是点(2，0)在区域⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0
x ＋y ≤1内，显然矛盾．
若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，且大圆半径不小于1
2
，即
直径不小于1，集合B 表示一个带形区域，且两直线间距离为2
2，所以当直线x ＋y ＝2m 与
x ＋y ＝2m ＋1中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即可符合题意，即有|2－2m |
2
≤|m |或|2－2m －1|2
≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋ 2.
因为12＞2－2
2，所以综上所述，实数m 的取值范围是
1
2
≤m ≤2＋ 2. 答案：⎣⎡⎦⎤12，2＋2。