2013届南京市高三数学最后综合题

2013届南京市高三数学最后的综合题
一、填空题
1．设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ．点A (0，2)，线段AF 交抛物线于点B ，过点B 作l 垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝ ．
2．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2
－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近
线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则b 2＝ ．
则S n 取到最小正数时的n ＝ ．
6．已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )，若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是 ． 7．已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 的值域为[0，＋∞)，则
a ＋2b
a 3＋12b
的最大值为 ．
▲8．已知xy －z ＝0，且0＜y z ＜1
2，则xz 2－4yz x 2z 2＋16y 2的最大值为__________．
▲9．若关于x 的不等式ax 2＋x －2a ＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围
为 ．
▲10．在平面直角坐标系xOy 中，对任意的实数m ，集合A 中的点(x ，y )都不在直线2mx
＋(1－m 2)y －4m －2＝0上，则集合A 所对应的平面图形面积的最大值为 ．
▲11．已知数列{a n }满足a n
＋1
≤a n ＋2＋a n
2
，a 1＝1，a 403＝2011，则a 5的最大值为 ．
A 1
二、解答题
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．
（1）设向量x ＝(sin B ，sin C )，向量y ＝(cos B ，cos C )，向量z ＝(cos B ，– cos C )， 若z //(x ＋y )，求tan B ＋tan C 的值；
（2）已知a 2－c 2＝8b ，且sin A cos C ＋ 3cos A sin C ＝0，求b ．
2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A cos B ＝b
a ＝3．
（1）求C ；
（2）如图，设半径为R 的圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣
弧⌒AC 上，∠P AB ＝θ，求四边形APCB 面积S (θ)的解析式及最大值．
3．设△ABC 中，→AB ＝c ，→BC ＝a ，→
CA ＝b ，且a ⋅b ＝b ⋅c ＝－2，b 与c －b 的夹角为150︒． （1）求∣b ∣； （2）求△ABC 的面积．
4．如图①，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，将△ADE 沿着DE 折起到△A 1DE 的位置，如图②，连结A 1B ，A 1C ． （1）若F 为A 1B 的中点，求证：DF ∥平面A 1EC ； （2）求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD ．
A
C
B
D E
图①
E
D C
A 1
F
B
图②
A
C
B
E
D
G
P
A
B
C O
5．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：
（1）写出表中①②位置的数据；
（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．
6．在南海的渔政管理中，我海监船C在我作业渔船A的北20︒东方向上，渔政船310在A 的北40︒西方向上的B处，测得渔政船310距C为62海里．上级指示，海监船原地监测，渔政船310紧急前往A处，走了40海里后，到达D处，此时测得渔政船310距C为42海里，问我渔政船310还要航行多少海里才能到达A处？
7．某种角钢部件是由如图1所示的矩形状钢板ABCD 按下列要求制作而成． ①制作角钢部件的矩形钢板的长AB ＝15cm ，宽AD ＝10cm ；
②在矩形钢板的长边CD 上选一点E (异于C ，D )，将钢板沿着AE 折起，使得△ADE 、梯形ABCE 所在的平面互相垂直．
当ABCDE 为顶点的四棱锥的体积最大时，这个角钢部件“最标准”． 设∠DAE ＝θ，DE ＝x cm ，四棱锥D －ABCE 的体积为V cm 3，
（1）分别求:①V 关于θ的函数关系式V (θ)；②V 关于x 的函数关系式V (x )； （2）试确定点E 的位置，使得角钢部件“最标准”．
8．某电子器件厂兼营生产和销售某种电子器件，流水线启动后每天生产300个产品，可销售p ＝200个产品，未售出的产品存入库房，每个产品在库房内每过一夜将支出存储费用r ＝0．2元，该流水线在开机生产一段时间后停机销售，待所有库房产品售完后再开机生产，流水线启动的费用为c ＝1200元（与产品数量无关）．这样开机生产－－停机销售－－产品售完构成了一个产销周期．为管理方便，流水线的生产和停机的时间均以天为单位安排．
（1）若开机生产时间为m 天，停机销售时间为n 天，最后一天卖出a 个产品，写出m ，
n ，a 的关系，并写出a 的取值范围；
▲（2）若停机销售的最后一天卖出100个产品，请你设计一个产销周期，即开机生产多
少天，停机销售多少天，使得平均每个产品用于流水线启动和存储的费用最少？
C D
B
A
E
图1
C
E B
A
D
图2
9．已知椭圆x 2m 2＋m ＋y 2
m ＝1的右焦点F ，右准线为l ，且直线y ＝x 与l 相交于A 点．
（1）若⊙C 经过点O （O 为坐标原点），F 、A 三点，求⊙C 的方程； （2）当m 变化时，求证：⊙C 经过除原点O 外的另一个定点B ； （3）若AF →•AB →
＜5，求椭圆离心率e 的范围．
10．过点C （0，1）的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为3
2，椭圆与x 轴交于两点A （a ，
0）、B （－a ，0），过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．
（1）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； （2）当点P 异于点B 时，求证：OP →•OQ →
为定值．
11．某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC ,BD 是过抛物线焦点F 且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF ，通径长为4．记∠EF A = α,α为锐角． （1）用α表示AF 的长;
（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S
关于α的函数关系S (α)；
▲（3）为使“蝴蝶形图案”的面积最小，
应如何设计α的大小？
第10题图
第11题图
12．已知数列{a n }的各项都为正数，S n ＝
1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋…＋1
a n ＋a n ＋1
(n ∈N *)．
（1）若数列{a n }是首项为1，公差为3
2的等差数列，求S 67；
（2）若S n ＝n
a 1＋a n ＋1
，求证：数列{a n }是等差数列．
13．对于任意的n ∈N *（n 不超过数列的项数），若数列的前n 项之和等于该数列的前n 项之积，则称该数列为S 型数列．
（1）若数列{a n }是首项a 1＝2的S 型数列，求a 3的值；
▲（2）证明：任何项数不小于3的递增的正整数数列都不是S 型数列；
▲（3）若数列{1
a n
}是S 型数列，且0＜a 1＜1，试求a n +1与a n 的递推关系，并证明0＜a n
＜1 对n ∈N *恒成立．
14．已知数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }，{c n }满足b n ＝a n +2
a n
，c n ＝a n a 2n +1． （1）若数列{a n }为等比数列，求证：数列{c n }为等比数列；
▲（2）若数列{c n }为等比数列，且b n +1≥b n ，求证：数列{a n }为等比数列．
15．数列{a n }的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a 2＋a 4＝
a 1＋a 5，a 4＋a 7＝a 6＋a 3． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）求使得a m ·a m +1·a m +2＝a m ＋a m +1＋a m +2成立的所有正整数m 的值；
▲（3）在数列{a n }的奇数项中任取s 项，偶数项中任取t 项（s ，t ∈N *，s ＞1，t ＞1），
按照某一顺序排列后成等差数列，求s ＋t 的最大值．
16．已知函数f (x )＝x 2－ax ，g (x )＝ln x ．
（1）若对任意的正数x ，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈(0，12)，求证h (x 1)－h (x 2)＞3
4
－ln 2．
17．已知函数f (x )＝e λx +(1–λ)a –λe x ，其中a ，λ是常数，且0＜λ＜1． （1）求函数f (x )的极值；
▲（2）设λ1，λ2∈(0，1)，且λ1＋λ2＝1，证明：对任意的正数a 1，a 2，都有a 1λ1
a 2λ2
≤λ1a 1
＋λ2a 2．
18．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝
1x －1
． （1）设h (x )＝f (x )＋kg (x )，k 为常数，k ≠0．若曲线y ＝h (x )在点(2，h (2))处的切线平行于
x 轴，求k 的值； （2）求函数y ＝h (x )的单调增区间；
▲（3）对任意x ＞0且x ≠1，求证：f (x )g (x )＜1x ．
19．对于函数y ＝f (x )，若存在x ＝x 0，使f (x 0)＝x 0，则称实数x 0是函数y ＝f (x )的一个不动点． （1）设f (x )＝a ln(1＋x )(a ∈R )恰有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围； （2）g (x )＝1
2
x 2＋x ＋3，证明：函数y ＝g (g (x ))没有不动点；
▲（3）若定义在R 上的函数h (x )有且只有一个不动点x 0，且满足：h (h (x )－x 3－x )＝h (x )
－x 3－x ，求函数h (x )的解析式．
20．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件）
0 1 2 3 频数
1
5
9
5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不．进货．．
，将频率视为概率． （1）求当天商品不进货．．．的概率；（2）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．
21．在一档娱乐节目中，主办方提供了如图所示的圆形射击靶，嘉宾射击时，若击中区域A ，
则获得10分；若击中B 区域，则获得9分；若击中C 区域，则获得8分．设某嘉宾击中A 、B 、C 区域的概率依次为16，13，1
2
．
（1）节目中该嘉宾连续射击3次，求该嘉宾获得28分的概率；
（2）节目中该嘉宾只射击1次，为了提高娱乐性，节目组要求嘉宾需先随意指定一个目标区域射击，若击中指定的区 域，则除了取得击中区域对应的分数，还给予奖励加分；若击中指定的区域外的区域，取得击中区域对应的分数，再罚除一定的分数．规则如下：若事先指定区域为A ，则击中奖励3分，否则罚除1分．若事先指定区域为B ，则击中奖励2分，否则，若击中区域A ，则罚除3分；若击中区域C ，则罚除1分．若事先指定区域为C ，则击中奖励1分，否则罚除3分．假设嘉宾选择三个区域中的任意一个都是等可能的，记该嘉宾射击1次后的得分为ξ，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望．
A
B
C。