2021_2022学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.2全称量词命题

第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语 1.2.2 全称量词命题与存在量
词命题的否定
学习任务
核心素养
1．能正确写出一个命题的否定，并判断其真 1．通过对命题的否定的
假． 认识，提升数学抽象的素
2．理解含有一个量词的命题的否定的意义， 养．
会对含有一个量词的命题进行否定．(重点) 2．通过对含有一个量词
(3)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题．
类型 4 全称量词命题与存在量词命题中的求参问题
1．关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)恒成立的条件是什么？ [提示] 判别式 Δ＝b2－4ac＜0. 2．关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根的条件是什么？ [提示] 判别式 Δ＝b2－4ac≥0.
如何对一个命题进行否定？
[提示] 否定一个命题是对这个命题结论的否定，要灵活应用常 见关键词对应的否定词．另外，命题和它的否定真假性相反，可运用 此结构检查所写命题的否定是否正确．
[跟进训练] 1．写出下列命题的否定形式，并判断其真假． (1)p：面积相等的三角形都是全等三角形； (2)p：若 m2＋n2＝0，则实数 m，n 全为零； (3)p：实数 a，b，c 满足 abc＝0，则 a，b，c 中至少有一个为 0.
3．下列命题的否定为假命题的是( ) A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 B．∀x∈R，x3＜1 C．所有能被 3 整除的整数都是奇数 D．任意一个梯形的对角线都不互相平分
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D [对于选项 A，因为 x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以∃x∈R， x2＋2x＋2≤0 是假命题，故其否定为真命题；
类型 1 命题的否定 【例 1】 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：y＝sin x 是周期函数； (2)p：实数的绝对值都大于 0； (3)p：菱形的对角线垂直平分； (4)p：若 xy＝0，则 x＝0 或 y＝0.
[解] (1)¬p ：y＝sin x 不是周期函数．假命题． (2)¬p：实数的绝对值不都大于零．真命题． (3)¬p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题． (4)¬p：若 xy＝0，则 x≠0 且 y≠0.假命题．
知识点二 全称量词命题与存在量词命题的否定
1．存在量词命题的否定
存在量词命题 p
¬p
结论
∃x∈M，p(x) ∀__x_∈__M__，__¬_p_(_x_) 存称量词命题的否定
全称量词命题 q
¬q
结论
∀x∈M，q(x)
_∃__x_∈__M_，__¬_q_(_x_) 全称量词命题的否定是存在量 词命题
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2．设命题 p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p 为( ) A．∃x∈R，x2＋1＞0 B．∃x∈R，x2＋1≤0 C．∃x∈R，x2＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0 B [命题 p：∀x∈R，x2＋1＞0，是一个全称量词命题， ∴¬p：∃x∈R，x2＋1≤0.故选 B．]
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[解] (1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0. (2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形． (3)¬p：每一个素数都不含三个正因数．
与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否 定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称 量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定.
当堂达标·夯基础
1．已知 a＜b，则下列结论中正确的是( )
A．∀c＜0，a＞b＋c
B．∀c＜0，a＜b＋c
C．∃c＞0，a＞b＋c
D．∃c＞0，a＜b＋c
D [A 项，若 a＝1，b＝2，c＝－1，满足 a＜b，但 a＞b＋c 不成立； B 项，若 a＝9.5，b＝10，c＝－1，a＜b＋c 不成立； C 项，因为 a＜b，c＞0，所以 a＜b＋c 恒成立，故 C 错误； D 项，∃c＞0，a＜b＋c 成立，故选 D．]
[解] 法一：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0，是真命题，即 m＞－ x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R 恒成立，设函数 y＝－(x－1)2＋1，由二 次函数的性质知，
当 x＝1 时，y 最大值＝1，∴m＞y 最大值＝1， 即实数 m 的取值范围是(1，＋∞)．
法二：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0，是真命题， 设函数 y＝x2－2x＋m，由二次函数的图像和性质知， 只需方程 x2－2x＋m＝0 的根的判别式 Δ＜0，即 4－4m＜0，得 m＞1， 即实数 m 的取值范围是(1，＋∞)．
用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
[提示] 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定 是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是 平行四边形”．
命题的否定与集合运算的关系 (1)已知全集为 U，设命题 p 对应的集合为 P，则命题的否定¬p 对应的集合为∁UP＝{x|x∈U，且 x∉P}，这样可以从集合的角度进一 步认识命题的否定． (2)已知全集为 U，若“p 是真命题”对应“a∈P”，则“p 是假 命题”对应“a∈∁UP”；若“¬p 是真命题”对应“a∈∁UP”，则“¬p 是假命题”对应“a∈P”．
[跟进训练] 3．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直； (2)存在一个三角形，它的内角和大于 180°； (3)存在偶函数为单调函数．
[解] (1)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不 互相垂直，是假命题．
(2)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于 180°，是真命题．
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2．含有量词的命题中求参数问题如何解答？ [提示] (1)转化法：已知命题 p 为假命题求参数的值或取值范围 时，通常等价转化为¬p 是真命题后，再求参数的值或取值范围． (2)分离参数法：存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中 常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的 参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)．
2．有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将 否定简单的写成“是”或“不是”．
[跟进训练] 2．写出下列全称量词命题的否定． (1)p：所有能被 3 整除的整数都是奇数； (2)p：对任意 x∈Z，x2 的个位数字不等于 3； (3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数； (4)p：可以被 5 整除的整数，末位是 0.
[解] (1)¬p：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数． (2)¬p：∃x∈Z，x2 的个位数字等于 3. (3)¬p：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数． (4)¬p：存在被 5 整除的整数，末位不是 0.
类型 3 存在量词命题的否定 【例 3】 写出下列存在量词命题的否定． (1)p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； (2)p：有的三角形是等边三角形； (3)p：有一个素数含三个正因数．
1．(1)圆周率 π 是无理数的否定是__________，它是 ________命题(填“真”或“假”)．
(2)∅是集合 A 的子集的否定是________________，它是________ 命题(填“真”或“假”)．
[答案] (1)圆周率 π 不是无理数 假 (2)∅不是集合 A 的子集 假
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5．命题“∃x∈R，|2－x|＋|x＋3|＞4”的否定是________． [答案] ∀x∈R，|2－x|＋|x＋3|≤4
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回顾本节知识，自我完成下列问题：
1．对含有一个量词的命题的否定要注意哪些问题？
[提示] (1)确定命题类型：命题是全称量词命题还是存在量词命题． (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当 的全称量词． (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不 是”“没有”“不存在”“不成立”等． (4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定．
对于选项 B，因为当 x≥1 时，x3≥1，所以∀x∈R，x3＜1 是假 命题，故其否定为真命题；
对于选项 C，因为 6 能被 3 整除，但 6 是偶数，所以这是假命题， 其否定为真命题；
对于选项 D，任意一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题， 因此其否定是假命题．故选 D．]
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4．若命题 p：∃x∈R，使得 x2－x－2＝0，则¬p 为________． [答案] ∀x∈R，使得 x2－x－2≠0
【例 4】 已知命题 p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题， 求实数 m 的取值范围．
[思路点拨] 命题 p 的否定¬p 一定为真命题，可以通过分离参数 法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出 m 的取值范围；也 可以利用二次函数的图像和性质转化为 Δ 与 0 的关系，解不等式求 解．
3.命题“存在 x∈R,2x≤0”的否定是________． 对任意的 x∈R,2x＞0 [存在量词命题的否定是全称量词命题．]
4.已知命题 p：∀x＞2，x－2＞0，则¬p 是________． ∃x＞2，x－2≤0 [全称量词命题的否定为存在量词命题．]
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3 类型4
[解] (1)¬p：面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题． (2)¬p：若 m2＋n2＝0，则实数 m，n 不全为零．假命题． (3)¬p：实数 a，b，c 满足 abc＝0，则 a，b，c 中都不为 0.假命 题．
类型 2 全称量词命题的否定 【例 2】 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：任意 n∈Z，则 n∈Q； (2)p：等圆的面积相等，周长相等； (3)p：偶数的平方是正数．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题¬p 的否定是 p.
()
(2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．
()
(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否
定．
()
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)命题 p 与¬p 互为否定． (2)存在量词命题 p 与其否定¬p 一真一假． (3)尽管存在量词命题的否定是全称量词命题，只是对“p(x)”进 行否定，而将“存在量词”调整为“全称量词”，不能将其理解为 “同时否定”．
[解] (1)¬p：存在 n∈Z，使 n∉Q，这是假命题． (2)¬p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题． (3)¬p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题．
1．写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称 量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到 命题的否定．
若命题“∃x∈R，使得 x2－2x＋m＝0”为真命题，则 m 的取值 范围是________．
(－∞，1] [∃x∈R，使得 x2－2x＋m＝0，即关于 x 的方程 x2 －2x＋m＝0 有实根，∴Δ＝4－4m≥0，解得 m≤1．]
含有量词的命题求参数问题的思路 (1)此类题目常以二次方程或二次不等式等为载体，一般在题目 中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可用判别式法求参数范 围，也可以利用分离参数法求得参数的范围． (2)求参数的范围时，从真命题的角度比较好列关系式，所以如 果已知条件是一个存在量词命题，且是假命题，可以写出该命题的否 定，利用命题的否定是真命题求得参数的范围．
3．掌握全称量词命题的否定是存在量词命 的命题的否定的理解，提
题，存在量词命题的否定是全称量词命题．(重 升逻辑推理的素养.
点、难点)
情境导学·探新知
一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被 烧死，说假话，将被五马分尸．”
问题 请问探险家该如何保命？
知识点一 命题的否定 1．定义：一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命题， 记作“ ¬p ”，读作“非 p”或“p 的否定”． 2．命题 p 与其否定¬p 的真假关系 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个 假命题； 反之亦然．