04-第四章 离散傅立叶变换
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离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
第四章 离散傅立叶变换(DFT)
x ( n )W N
kn
n0
X ( k ) DSK [ x ( n )] N 点
x ( n )W N
k=0, 1, …, N-1
n0
式中的周期序列 ~ N 是有限长序列x(n)的周期延拓 x 序列，其定义为
~ (n ) xN
m
x ( n mN )
(4.2.3)
X(N-k)=X*(k) k
0 ,1, 2 , N 2 1
共需要N2/2次复数乘法，比直接按定义计算少一半。 对一般的复序列，DFT也有共轭对称性。
4.3.5 循环卷积定理 1) 两个有限长序列的循环卷积
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点
循环卷积定义为
1 e
8k
1 e
j
k
2
k
j
2
k
e
j
(e
k j
e e
j
2
k
)
k
16
16
k
j
16
e
j
(e
k
)
7 16
sin( sin(
2
k)
e
k=0, 1, 2, …, 15
k)
16
x(n)的幅频特性函数曲线、 8点DFT、 16点DFT和 32点DFT的模分别如图4.2.1(a)、 (b)、 (c)和(d)所示。
通常又定义周期序列的主值序列为
x N ( n ) ~N ( n ) R N ( n ) x
比较以上四种变换的计算式可得到：
《快速傅里叶变换(FFT) 第四章》
方法： 分解N为较小值：把序列分解为几个较短的 序列，分别计算其DFT值； 利用旋转因子WNk的周期性、对称性、可 约性进行合并、归类处理，以减少DFT的运 算次数。 k ( kn WN m WNN m WN ( nlN ) WNk lN ) n WN 周期性： N m m N m N m m m m 对称性：Wm WNm [W WN N WNN [WNNN m ]] WN WN 2 WN WN 可约性：W mN N W knmW kn / m W kn m kmn ,m 2 2
x ( r ) W x ( r )W x ( r ) W x ( r )W e (r W x r) xxr) W( r ) W (WW (r )W W e W (2 ) x x x(2 r 1)
W e
2 j 2 kr 2 kr N N /2
N 2
2 这样将N点DFT分解为两个N/2点的DFT
N X (k ) X 1 (k ) W X 2k(k ) k 0,1, 1 N X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 2 k X (kN X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 2 1 ) N2 k X (k N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 1 N ) k X (k 2 N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 ) 2 k 2 X (k ) X (k ) W X (k ) k 0,1, 2 1
4.1 离散傅里叶变换的高效计算思路 DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。但直接 计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比， 当N较大时，计算量太大，直接用DFT算法进行谱分 析和信号的实时处理是不切实际的。
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
解：变量n用k替代
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换人类的日常生活中充满了各种各样的信号，比如声音、图像、电压等。
为了更好地理解和处理这些信号，我们需要使用一种数学工具来对其进行分析和处理。
傅里叶变换便是一种常用的工具，能够将信号从时域转换到频域，使我们能够更好地理解信号的频率成分。
在离散序列中，我们同样可以使用傅里叶变换来对信号进行处理。
离散序列是指在一定的时间间隔内，对信号进行采样得到的序列。
傅里叶变换的目的是将这个序列从时域转换到频域，以便我们可以更好地分析信号的频率成分。
离散序列的傅里叶变换是指对离散序列进行傅里叶变换的过程。
在离散序列中，我们可以使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）来进行变换。
离散傅里叶变换是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具，它能够将一个N点的离散序列变换为一个N点的频域序列。
离散傅里叶变换的计算过程可以通过离散傅里叶变换公式来表示，但为了遵守本文的要求，我们不会在文章中插入任何数学公式。
简单来说，离散傅里叶变换将离散序列分解为一系列正弦和余弦函数的和，每个正弦和余弦函数都对应着一个频率成分。
通过计算这些正弦和余弦函数的振幅和相位，我们可以得到信号在不同频率下的幅度和相位信息。
离散傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用。
例如，在音频处理中，我们可以使用离散傅里叶变换来对音频信号进行频谱分析，以便分析音频信号的频率成分。
在图像处理中，我们可以使用离散傅里叶变换来对图像进行频域滤波，以便去除图像中的噪声或增强图像的某些频率成分。
除了离散傅里叶变换，还有一种更高效的算法，称为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）。
快速傅里叶变换是一种基于分治法的算法，能够在O(NlogN)的时间复杂度下计算离散傅里叶变换。
这使得离散傅里叶变换在实际应用中更加高效和可行。
尽管离散傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，但它也有一些限制。
首先，离散傅里叶变换要求信号是周期性的，即信号在采样窗口内是重复的。
第4章 离散傅利叶变换(DFT)
（4.21）
离散傅里叶级数的性质
x x 证明 DFS [ ~ (n + m)] = ∑ ~ (n + m)W Nnk
N −1 n =0
令 n′ = n + m
=
m + N −1 n′ = m
x ∑ ~(n′)W
− mk N m + N −1 n′ = m
( n′ − m ) k N
=W
∑
% x(n′)WNn′k
j kl ~ N ∑ X ( k )e =
2π
= ∑ ~ ( n)∑ e x
n =0 k =0
N −1
N −1
j
2π (l −n ) k N
离散傅里叶级数的导出
由正交定理
∑e
k =0
N −1
j
2π (l −n ) k N
⎧N =⎨ ⎩0
l=n l≠n
（4.13）
则有
j kl ⎡ N −1 ~ ⎤ ~ N x ∑ X (k )e = N ⎢∑ x (n)⎥ = N~(l ) k =0 ⎣ n =0 ⎦ n =l N −1
l =0 N −1
（4.26）
4.3 离散傅里叶变换 （DFT）
4.3.1 离散傅里叶变换（DFT）的导出
可以设想把一个长度为 N 的有限长序列 x(n) ，以 N 为周期进行 ~ x x 周期延拓，形成周期序列 ~ ( n) ，然后求 ~ ( n)的离散傅里叶级数X (k )， ~ 再取出X (k )的一个周期 X (k ) ，这样就相当计算了有限序列的离散频谱。 x x(n)与 ~ ( n)的关系可以用以下关系式表示
~ (m ) x2 • 3 •2
0
(b )
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换傅里叶变换是信号处理中常用的一种工具，用于将时域中的信号转换为频域中的信号。
其中，连续信号的傅里叶变换已经广泛应用于科学和工程中，但对于离散信号的傅里叶变换，其应用价值也日益凸显。
离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换的一种形式，适用于离散信号。
它是从连续傅里叶变换离散化而来的，将连续信号的傅里叶积分转换为离散信号的傅里叶级数展开。
其核心思想是将一个离散信号分解成一系列离散正弦和余弦信号的线性组合，以此来描述该离散信号的频域特性。
离散序列的傅里叶变换具体操作如下：1. 给定一个长度为N的离散序列x(n)。
2. 计算出该序列的离散时间傅里叶变换X(k)，其中k为频域中的离散频率。
3. 公式表示为：X(k)= ∑(N-1)n=0x(n)e^(-jk2πnk/N)其中，e代表自然对数的底数（即自然常数e）、j为虚数单位、k为离散的频率序列。
4. 对于每一个k（0≤k≤N-1），都可以得到一个相应的离散频谱值X(k)，其代表了该离散信号在频域中的属性。
5. 最后，可以将离散频谱绘制在频谱图上，以展示该信号的频谱特性。
离散傅里叶变换中存在一种名为快速傅里叶变换（FFT）的算法，可快速计算消耗计算量大的离散傅里叶变换。
FFT在信号处理领域中广泛应用，其速度远超普通的DFT算法，已成为信号处理中不可或缺的工具之一。
通过离散傅里叶变换，我们可以更加准确、详尽地分析和描述离散信号在频域中的特征。
同时，其在音频、光学、雷达等领域中都有广泛的应用，因此掌握离散傅里叶变换的原理和操作方法，对于信号处理工程师和科研工作者来说都是非常有益的。
总之，离散傅里叶变换作为一个重要的信号处理工具，对于科技发展和社会进步都具有重要的意义。
我们应该加强对其的研究，进一步挖掘其应用潜力，并将其运用于实际生产生活中。
第四章-傅里叶变换
~ x(t)X(kΩ 0)ejΩ k0t, Ω 02π/T k
X(kΩ0)T 1T~ x(t)ejkΩ0tdt
其中 T 为~x(t) 的周期，<T>表示长度为 T 的任意区间。此即连续 傅里叶级数（Continuous Fourier Series, CFS）。从上述公式可 以看出，连续时间周期信号 ~x(t) 可以表示为与其重复频率 Ω0 成 谐波关系的一系列复正弦信号 ejΩ0t 的线性组合，每个 ejΩ0t 的复 数幅度就是傅里叶级数的系数 X(kΩ0)。
第四章 傅里叶变换
1. 连续和离散傅里叶级数 2. 连续和离散傅里叶变换 3. 傅里叶级数与傅里叶变换的比较 4. 有限长序列的离散傅里叶变换
傅里叶，1768－1830
1. 连续和离散傅里叶级数
任何连续时间周期信号 ~x(t) ，只要它满足狄里赫利（Dirichlet） 条件（后面介绍），都可以展开为复正弦形式的傅里叶级数：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有 周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
连续傅里叶级数的收敛条件：
条件1
~ x(t)X(kΩ 0)ejΩ k0t, Ω 02π/T
k
X(kΩ0)T 1T~ x(t)ejkΩ0tdt
在任何一个周期内必须模可积，即
~x(t)dt T
X (k Ω 0 ) T 1 T ~ x (t)e jΩ k 0 td T t 1 T ~ x (t)d t
X(kΩ0)T 1T~ x(t)ejkΩ0tdt
其中 T 为~x(t) 的周期，<T>表示长度为 T 的任意区间。此即连续 傅里叶级数（Continuous Fourier Series, CFS）。从上述公式可 以看出，连续时间周期信号 ~x(t) 可以表示为与其重复频率 Ω0 成 谐波关系的一系列复正弦信号 ejΩ0t 的线性组合，每个 ejΩ0t 的复 数幅度就是傅里叶级数的系数 X(kΩ0)。
第四章 傅里叶变换
1. 连续和离散傅里叶级数 2. 连续和离散傅里叶变换 3. 傅里叶级数与傅里叶变换的比较 4. 有限长序列的离散傅里叶变换
傅里叶，1768－1830
1. 连续和离散傅里叶级数
任何连续时间周期信号 ~x(t) ，只要它满足狄里赫利（Dirichlet） 条件（后面介绍），都可以展开为复正弦形式的傅里叶级数：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有 周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
连续傅里叶级数的收敛条件：
条件1
~ x(t)X(kΩ 0)ejΩ k0t, Ω 02π/T
k
X(kΩ0)T 1T~ x(t)ejkΩ0tdt
在任何一个周期内必须模可积，即
~x(t)dt T
X (k Ω 0 ) T 1 T ~ x (t)e jΩ k 0 td T t 1 T ~ x (t)d t
第四章 离散傅里叶变换及其快速算法
离散 连续
周期延拓 非周期
4.1 离散傅里叶变换的定义
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , n 0 N 1 N 1 n 0 2 kn N
= x ( n )e
j
k=0, 1, , N-1
X ( k )WN kn k 0 N 1
1 x(n) IDFT [ X (k )] N 1 N
4 N
x D1X N
W N ( N 1 ) 2 ( N 1 ) WN W N ( N 1 )( N 1 ) 1
1
D
1 N
W N 2 ( N 1 )
1 DN N
dftmtx(N) 函数产生N×N的DFT矩阵DN conj(dftmtx(N))/N 函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1
二、 圆周移位性质
1. 序列的圆周移位 x(n)的圆周移位定义为
y(n)=x((n+m))N RN(n) 其过程为: 1)、将x(n)以N为周期进行周期延拓得x((n))N 2)、将x((n))N左移m位，得x((n+m))N 3)、取其主值序列x((n+m))N RN(n) 循环移位过程如图所示
WNN 1
2 WN ( N 1)
WNN 1 2 WN ( N 1) ( WN N 1) ( N 1)
DFT
IDFT矩阵形式为
1 1 1 W 1 N 1 D 1 1 W N 2 N N 1 W N ( N 1 ) 1 W N 2 W
0 n N `1 0 k N `1
DFT 则： x1 (n) x2 (n) X1 ( K ) X 2 ( K )
第四章-傅里叶变换
nN
离散傅里叶级数涉及到的都是有限项求和，因此只要 ~x(n) 是有 界的，即对所有的 n，都有 |~ x(n)|，则 DFS 的收敛不存在任 何问题。或者说，只要在一个周期内 ~x(n) 的能量是有限的，即
则 DFS 一定收敛。
|~x(n)|2
nN
1. 连续和离散傅里叶级数
周期信号用截短了的傅里叶级数近似：
如果把周期信号 ~x(t)和 ~x(n) 分别展成它们的 CFS 和 DFS，并把
无限项的 CFS 和有限项的 DFS 在某一处截断，分别得到：
~xM(t)
M
X(kΩ0)ejkΩ0t
kM
~ x M (n )2 M 1 1 k M M X ~ (k0 )ej k 0 n , (2 M 1 ) N
nN
这两个公式表明，任意周期序列 ~x(n)都可以表示为与其重复频率 ω0 成谐波关系的一系列复正弦序列 ejω0n 的线性组合，每个 ejω0n 的复数幅度就是离散傅里叶级数的系数 X(kω0)。 CFS 与 DFS 的区别： CFS 是一个无穷级数，而周期为 N 的周 期序列的 DFS 却是一个有限级数，它只有 N 项，即：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有 周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
x(t) akejkt
k
x(n) akejkn
离散傅里叶级数涉及到的都是有限项求和，因此只要 ~x(n) 是有 界的，即对所有的 n，都有 |~ x(n)|，则 DFS 的收敛不存在任 何问题。或者说，只要在一个周期内 ~x(n) 的能量是有限的，即
则 DFS 一定收敛。
|~x(n)|2
nN
1. 连续和离散傅里叶级数
周期信号用截短了的傅里叶级数近似：
如果把周期信号 ~x(t)和 ~x(n) 分别展成它们的 CFS 和 DFS，并把
无限项的 CFS 和有限项的 DFS 在某一处截断，分别得到：
~xM(t)
M
X(kΩ0)ejkΩ0t
kM
~ x M (n )2 M 1 1 k M M X ~ (k0 )ej k 0 n , (2 M 1 ) N
nN
这两个公式表明，任意周期序列 ~x(n)都可以表示为与其重复频率 ω0 成谐波关系的一系列复正弦序列 ejω0n 的线性组合，每个 ejω0n 的复数幅度就是离散傅里叶级数的系数 X(kω0)。 CFS 与 DFS 的区别： CFS 是一个无穷级数，而周期为 N 的周 期序列的 DFS 却是一个有限级数，它只有 N 项，即：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有 周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
x(t) akejkt
k
x(n) akejkn
第4章 离散傅里叶变换.
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第4章 离散傅里4叶.变2换 离散傅立叶级数
将周期序列展开为傅里叶级数称为离散傅里叶级数； （DFS——Discrete Fourier Series）；
即用正弦和余弦序列或复指数序列的线 性组合来表示；
设 x%(n) 是一个周期为N 的周期序列 x%(n) x%(n rN) ；
（r 为任意整数）；
其基频频率为
ω 0
2π/
N
：
k 次谐波频率为ωk kω0 2πk / N ：
则构成 x%(n) 直流分量（常数序列）、基波分 量和各次谐波分量可表示为复指数序列：
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第4章 离散傅里4叶.变2换 离散傅立叶级数
则构成 x%(n) 直流分量（常数序列）、基波分 量和各次谐波分量可表示为复指数序列：
第4章 离散傅里叶变换
4.1 时域-频域的周期-离散对应关系 4.2 离散傅立叶级数 4.3 离散傅立叶变换及性质 4.4 用 DFT 计算线性卷积和
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第4章 离散傅里叶变换
4.1 时域-频域的周期-离散对应关系 4.1.1 连续时间非周期信号的傅里叶变换 4.1.2 连续时间周期信号的傅里叶级数 4.1.3 非周期序列的傅里叶变换 4.1.4 周期序列的离散傅里叶级数
41.3 非周期序列的傅里叶变换
设非周期序列（离散时间信号）
x(n) 的傅里叶变换为 X (ejω) ：
有：
X
(e
jω
)
x(n) e jωn
n
x(n)
1
2π
π π
X
(e
jω
)
e
jωn
dω
时域离散的非周期 信号对应的频谱为 周期的连续频
第4章 离散傅里4叶.变2换 离散傅立叶级数
将周期序列展开为傅里叶级数称为离散傅里叶级数； （DFS——Discrete Fourier Series）；
即用正弦和余弦序列或复指数序列的线 性组合来表示；
设 x%(n) 是一个周期为N 的周期序列 x%(n) x%(n rN) ；
（r 为任意整数）；
其基频频率为
ω 0
2π/
N
：
k 次谐波频率为ωk kω0 2πk / N ：
则构成 x%(n) 直流分量（常数序列）、基波分 量和各次谐波分量可表示为复指数序列：
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第4章 离散傅里4叶.变2换 离散傅立叶级数
则构成 x%(n) 直流分量（常数序列）、基波分 量和各次谐波分量可表示为复指数序列：
第4章 离散傅里叶变换
4.1 时域-频域的周期-离散对应关系 4.2 离散傅立叶级数 4.3 离散傅立叶变换及性质 4.4 用 DFT 计算线性卷积和
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第4章 离散傅里叶变换
4.1 时域-频域的周期-离散对应关系 4.1.1 连续时间非周期信号的傅里叶变换 4.1.2 连续时间周期信号的傅里叶级数 4.1.3 非周期序列的傅里叶变换 4.1.4 周期序列的离散傅里叶级数
41.3 非周期序列的傅里叶变换
设非周期序列（离散时间信号）
x(n) 的傅里叶变换为 X (ejω) ：
有：
X
(e
jω
)
x(n) e jωn
n
x(n)
1
2π
π π
X
(e
jω
)
e
jωn
dω
时域离散的非周期 信号对应的频谱为 周期的连续频
第四章 离散傅立叶变换.
第四章 离散傅立叶变换（DFT）
第一节 傅立叶变换的形式 第二节 周期序列的离散傅立叶级数DFS及其基本
性质 第三节 离散傅立叶变换（DFT） 第四节 离散傅立叶变换的性质 第五节 频域抽样理论 第六节 DFT的应用 第七节 离散傅立叶变换的Matlab仿真 小结
第一节 傅立叶变换的几种形式
（为了表示方便，通常用符号来书写这个变换，称为旋转因子。）
2
将（2-5）式左右同乘
jnm
e
N
并对k在一个周期中求和，同理可证~x(n) 1N1
X~
(k
)e
jkn
2 N
N k0
1 N
N1 X~(k)WN kn
k 0
(4-2-6)
在（2-5）和（2-6）中 ~x (n) 和 X~ (k ) 都是周期
~y (n) WNnl ~x (n)
(4-2-12)
三、频域移位特性
WNnl ~x (n) 的傅里叶系数为 X~ (k l) 。
证明：
设
~y (n) WNnl ~x (n)
则
Y~(k)
N
1
WNnl
~x (n)WNnk
N 1 ~x (n)WNn(kl)
X~ (k
l) (4-2-13)
n0
第二节 周期序列的离散傅立叶级数DFS及其基本性质
一、 周期序列的离散傅立叶级数 二、离散傅立叶级数的基本性质
一、周期序列的离散傅立叶级数
若信号周期为T，在每个周期内以间隔 对其采样，T NTs ，得到离散周期序列：
~x(n) ~x(t) N1 x(nTs ) (t nTs ) 0 t T n0
一、 引言 二、 傅立叶变换的几种形式
第一节 傅立叶变换的形式 第二节 周期序列的离散傅立叶级数DFS及其基本
性质 第三节 离散傅立叶变换（DFT） 第四节 离散傅立叶变换的性质 第五节 频域抽样理论 第六节 DFT的应用 第七节 离散傅立叶变换的Matlab仿真 小结
第一节 傅立叶变换的几种形式
（为了表示方便，通常用符号来书写这个变换，称为旋转因子。）
2
将（2-5）式左右同乘
jnm
e
N
并对k在一个周期中求和，同理可证~x(n) 1N1
X~
(k
)e
jkn
2 N
N k0
1 N
N1 X~(k)WN kn
k 0
(4-2-6)
在（2-5）和（2-6）中 ~x (n) 和 X~ (k ) 都是周期
~y (n) WNnl ~x (n)
(4-2-12)
三、频域移位特性
WNnl ~x (n) 的傅里叶系数为 X~ (k l) 。
证明：
设
~y (n) WNnl ~x (n)
则
Y~(k)
N
1
WNnl
~x (n)WNnk
N 1 ~x (n)WNn(kl)
X~ (k
l) (4-2-13)
n0
第二节 周期序列的离散傅立叶级数DFS及其基本性质
一、 周期序列的离散傅立叶级数 二、离散傅立叶级数的基本性质
一、周期序列的离散傅立叶级数
若信号周期为T，在每个周期内以间隔 对其采样，T NTs ，得到离散周期序列：
~x(n) ~x(t) N1 x(nTs ) (t nTs ) 0 t T n0
一、 引言 二、 傅立叶变换的几种形式
数字信号处理课件第4章离散傅里叶变换1DFT的定义和物理意义
1、在忽略舍入误差时，IDFT能准确 地恢复DFT窗内的原采样信号；
2、IDFT的采样值与原采样信号窗外 的部分无关；
3、IDFT可以唯一确定原序列。
【随堂练习】 1.求下列序列的N点DFT （1） x(n) (n) （2） x(n) (n n0 ) 0 n0 N （3） x(n) an 0 n N （4） x(n) u(n) u(n n0 ) 0 n0 N
回到第3章的周期序列的DTFT：
~x (n) 的离散傅里叶级数
X~(k)
N 1 ~x (n)WNkn
N 1
x((n)) N WNkn
N 1
x(n)WNkn
n0
n0
n0
~x(n)
1 N
N 1 X~ (k )WNkn
k 0
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
N点DFT：X
(k)
N 1
j2 kn
解： N1 X (k) x(n)WNkn n0
121 1 [e
j n 6
e
j n 6
j2 kn
]e 12
n0 2
1
121
[e
j 2 (k 1)n 12
j 2 (k 1)n
e 12 ]
2 n0
121 j2 (k1)n 121 j2 (k1)n
1[ e e ] 12
12
2 n0
n0
k)
sin( k)
8
X
(e
j
)
e
j 3 2
sin(2) sin(1 )
2
3、求x(n)的16点DFT，N=16
X (k) X (e j ) 2 k 16
X
2、IDFT的采样值与原采样信号窗外 的部分无关；
3、IDFT可以唯一确定原序列。
【随堂练习】 1.求下列序列的N点DFT （1） x(n) (n) （2） x(n) (n n0 ) 0 n0 N （3） x(n) an 0 n N （4） x(n) u(n) u(n n0 ) 0 n0 N
回到第3章的周期序列的DTFT：
~x (n) 的离散傅里叶级数
X~(k)
N 1 ~x (n)WNkn
N 1
x((n)) N WNkn
N 1
x(n)WNkn
n0
n0
n0
~x(n)
1 N
N 1 X~ (k )WNkn
k 0
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
N点DFT：X
(k)
N 1
j2 kn
解： N1 X (k) x(n)WNkn n0
121 1 [e
j n 6
e
j n 6
j2 kn
]e 12
n0 2
1
121
[e
j 2 (k 1)n 12
j 2 (k 1)n
e 12 ]
2 n0
121 j2 (k1)n 121 j2 (k1)n
1[ e e ] 12
12
2 n0
n0
k)
sin( k)
8
X
(e
j
)
e
j 3 2
sin(2) sin(1 )
2
3、求x(n)的16点DFT，N=16
X (k) X (e j ) 2 k 16
X
第4章离散傅里叶变换
1 N
X 2 (k)
X 1 (k )
1 N
N 1
X 2 (l) X1 ((k
l 0
l)) N
RN (k)
2019/10/15
21
3.2.4复共轭序列的DFT
设 x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N
X(k)=DFT[x(n)]
则
DFT[x*(n)] = X*(N-k)，0≤k≤N-1
2019/10/15
15
3.2.3循环卷积定理
有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2， N=max[N1，N2]。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为
X1(k)=DFT[x1(n)]，X2(k)=DFT[x2(n)]
如果
X(k)= X1(k) ·X2(k)
则 N 1 x(n) IDFT[ X (k)] x1 (m)x2 ((n m)) N RN (n) 3-39
X(k)= -X(N-k)
3-55
2019/10/15
25
3.3 频率域采样
设任意序列x(n)存在Z变换 X (z) x(n)z n n
且X(z)的收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。
在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到
N 1N 1m 来自 x1 (m)WNkm x2 ((n'))N WNkn'
m0
n'm
2019/10/15
17
因为上式中
x2
((
n'
))
N
W
k N
n'以N为周期，所以对其在
第4章离散傅里叶变换
DFT之前，先概述四种不同形式的傅里叶变换对。
2020/2/12
信息学科立体化教材
X
4.1 傅里叶变换的几种形式
3
1.连续时间、连续频率——傅里叶变换
一个非周期实连续时间信号xa(t)的傅里叶变换，即频谱 Xa(jΩ)是一个连续的非周期函数。在“信号与系统”课 程的内容中，已知这一变换对为
Xa(j) xa(t)ejtdt
(4-12)
n0
n0
~ x(n)ID[FX ~(Sk)]N 1N k01X ~(k)ej2N nkN 1N k01X ~(k)WN nk (4-13)
式中，n和k都是离散变量。如果将n当作时间变量，k当作频率
变量，则DFS［·］表示时域到频域的离散傅里叶级数正变换，
IDFS［·］表示由频域道时域的离散傅里叶级数反变换。
2020/2/12
信息学科立体化教材
X
4.2.2 离散傅里叶级数(DFS)的性质
23
由于可以用采样Ｚ变换来解释DFS，因此它的许多性质与Ｚ 变换性质非常相似。但是，由于 ~x(n) 和 X~(k)两者都具有周期性， 这就使它与Z变换性质还有一些重要差别。此外，DFS在时域和 频域之间具有严格的对偶关系，这是序列的Z变换表示所不具有 的。
15
例4-2 已知周期序列 X~(k)如图4-2所示，其周期N=10, 试求 解它的傅里叶级数系数 X~(k) 。
… －10
012345 6 7 8 910
~x(n) …
n
2020/2/12
图4-2 例4-2的周期序列~x(n)（周期N=10）
信息学科立体化教材
X
4.2.1 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
xa(t)
2020/2/12
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X
4.1 傅里叶变换的几种形式
3
1.连续时间、连续频率——傅里叶变换
一个非周期实连续时间信号xa(t)的傅里叶变换，即频谱 Xa(jΩ)是一个连续的非周期函数。在“信号与系统”课 程的内容中，已知这一变换对为
Xa(j) xa(t)ejtdt
(4-12)
n0
n0
~ x(n)ID[FX ~(Sk)]N 1N k01X ~(k)ej2N nkN 1N k01X ~(k)WN nk (4-13)
式中，n和k都是离散变量。如果将n当作时间变量，k当作频率
变量，则DFS［·］表示时域到频域的离散傅里叶级数正变换，
IDFS［·］表示由频域道时域的离散傅里叶级数反变换。
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X
4.2.2 离散傅里叶级数(DFS)的性质
23
由于可以用采样Ｚ变换来解释DFS，因此它的许多性质与Ｚ 变换性质非常相似。但是，由于 ~x(n) 和 X~(k)两者都具有周期性， 这就使它与Z变换性质还有一些重要差别。此外，DFS在时域和 频域之间具有严格的对偶关系，这是序列的Z变换表示所不具有 的。
15
例4-2 已知周期序列 X~(k)如图4-2所示，其周期N=10, 试求 解它的傅里叶级数系数 X~(k) 。
… －10
012345 6 7 8 910
~x(n) …
n
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图4-2 例4-2的周期序列~x(n)（周期N=10）
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X
4.2.1 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
xa(t)
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（2）x(n)的4点DFT
X1 (k ) x(n)W
n 0 3 kn 4
W
n 0
3
kn 4
4, 0,
k 0 k 1, 2,3
9
（3）x(n)的8点DFT
X 2 (k ) x(n)W8kn W8kn e
n 0 7 3
3 j 2 kn 8
e
第四章 离散傅里叶变换
本章目录
引言
离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶变换的基本性质
频域取样 离散傅里叶变换的应用 Matlab实现
2
4.1 引言
各种傅里叶变换: 频 谱是一个非周期的连续函数
周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱 是非周期性的离散频率函数 非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是 周期的连续函数 离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期 又是离散的频谱，即时域和频域都是离散 的、周期的
X (k ) x1 (m)
m 0
N 1
N 1
N 1 m n ' m
km N
k x2 ((n' )) N WN ( n ' m)
N 1 m n ' m kn x2 ((n' ))NWN '
x1 (m)W
m0
27
时域循环移位定理讨论
x1 (m)W
(4.16)
或
1 1 X (k ) X 2 (k ) X 1 (k ) N N
l 0
N 1
X 2 (l ) X1 ((k l ))N RN (k )
29
4.3.4 复共轭序列的DFT
复共轭序列的DFT
设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N， X (k ) DFTx(n) 则 且
解（1）x(n)的傅里叶变换
X (e )
j n
R (n)e
4
-j n
e
n 0
3
-j n
1 e-j4 1 e-j
e-j3 / 2 sin(2 ) sin( / 2)
e-j2 (e j2 e-j2 ) -j / 2 j / 2 -j / 2 e (e e )
N 1
令n+m=n'，则有
Y (k )
N 1 m n ' m
x((n' ))N W
N 1
k ( n ' m) N
W
km N
N 1 m n ' m
kn x((n' ))N WN '
W
km N
n '0
kn x(n ')WN ' WN km X (k )
0≤k≤N -1
离散傅里叶反变换(IDFT)定义
1 x(n) IDFT[ X (k )] N
X (k )WN kn k 0 N 1
0≤n ≤N -1
式中
WN e
j
2 N
8
例：离散傅里叶变换
例4.1 ：设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n) 的 傅里叶变换，以及4点、8点、16点DFT。
N 1
X 1 (k ) X 2 (k )
0≤k≤N-1
上面讨论的为时域循环卷积定理。
28
频域循环移位定理讨论
x(n)= x1(n) ∙ x2(n) 则
X (k ) DFT [ x(n)] 1 X 1 (k ) X 2 (k ) N
1 N 1 X1 (l ) X 2 ((k l )) N RN (k ) N l 0
3
各种形式的傅里叶变换示意图
4
傅里叶变换的一般规律
如果信号频域是离散的，则该信号在时域 就表现为周期性的时间函数。 相反，在时域上是离散的，则该信号在频 域必然表现为周期性的频率函数。 如果时域信号离散且是周期的，由于它时 域离散，其频谱必是周期的，又由于时域 是周期的，相应的频谱必是离散的， 离散周期序列一定具有既是周期又是离散 的频谱，即时域和频域都是离散周期的。
n 0
kn X (k ) DFT[ x(n)] x(n)WN x(n)e n 0 n 0 N 1 N 1 j 2 kn N
N 1
0≤k≤ N-1
X (e ) F [ x(n)] x(n)e jwn
jw n 0
N 1
12
三种变换的关系
比较三式可得
X (k ) X (e jw) w2k / N
0≤k≤ N-1
物理意义：X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间
[0，2π]上的N点等间隔取样。
15
4.2.3 DFT的隐含周期性
kn DFT变换对中， WN 具有周期性：
k ( WN WNk mN )
其中k，m，N均为整数
因此有
式(4.4)说明，X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区 间[0，2π]上的N点等间隔取样。
13
DFT和Z变换的关系
X (k ) X ( z ) z W k e j 2k / N
N
0≤k≤ N-1
N＝8时，单位圆上的8个等间隔取样点示意图。
14
DFT和序列的傅里叶变换的关系
21
4.3.2 循环移位性质
序列的循环移位
设x(n) 长度为N，则x(n)的 循环移位定义为
y(n) x((n m)) N RN (n)
22
时域循环移位定理
时域循环移位定理
设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位， 即
y(n) x((n m)) N RN (n)
24
频域循环移位定理
频域循环移位定理
如果X(k)=DFT[x(n)]，0≤k≤N-1，Y(k)=X((k+l))NRN(k)，则
nl y(n) IDFT[Y (k )] WN x(n)
证明方法与时域循环移位定理类似。
25
4.3.3 循环卷积定理
循环卷积定理
x1(n)和x2(n)的长度分别为N1和N2，N=max[N1, N2]。
则
Y (k ) DFT[ y(n)] WN km X (k )
其中， 0≤k≤ N－1，
X (k ) DFT[ x(n)]
23
时域循环移位定理证明
证明
kn Y (k ) DFT[ y(n)] x((n m))N RN (n)WN n 0 N 1
kn x((n m))N WN n 0
如果X(k)= X1(k) · 2(k)，则 X
x(n) IDFT[ X (k )] x1 (m) x2 ((n m)) N RN (n)
或
m 0
N 1
x(n) IDFT[ X (k )] x2 (m) x1 ((n m)) N RN (n)
m 0
N 1
26
循环卷积定理证明
~ ( n) x
m
x(n m N)
x(n) ~(n) RN (n) x
引入运算符((n))N，表示n对N求余数，即如果 n = MN + n1，0≤n1≤N-1，M为整数 则 ((n))N = n1
17
例: 序列的周期延拓
x 例如，N=8， ~(n) x((n))8
6
4.2 离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶变换的定义
DFT和z变换、序列的傅里叶变换的关系 DFT的隐含周期性
7
4.2.1 离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶正变换(DFT)定义
x(n)长度为N，作为周期序列的一个主值区间
kn X (k ) DFT[ x(n)] x(n)WN n 0 N 1
k
10
16
例4.1 的图形显示
从图4.2可见， 同一序列不同点 数的DFT是不相 同的。 比较可以发现， 对原序列尾部补 零后增加的谱线 只是有规律地插 在频谱的一个周 期内。
11
4.2.2 DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系
设序列x(n)的长度为N，其Z变换、DFT和傅里叶变换分别为
X ( z ) Z [ x(n)] x(n) z n
~ X (k ) X (k ) RN (k )
结论：有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，正好 ~ 是x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数 X (k ) 的主值序列。
19
4.3 离散傅里叶变换的基本性质
线性性质 循环移位性质 循环卷积定理 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性
得出一般的规律：一个域的离散就必然 造成另一个域的周期延拓。
5
离散傅里叶变换的导出
由于数字计算机只能计算有限长离散的 序列，因此有限长序列在数字信号处理 中就显得很重要。 Z变换和傅里叶变换无法直接利用计算 机进行数值计算。 针对有限长序列“时域有限”这一特点， 导出一种更有用的离散傅里叶变换DFT (Discrete Fourier Transform)。
X ( N ) X (0)
DFT[ x* (n)] X * ( N k )
0≤k≤N-1 (4.17)
30
4.4 频域取样
频域取样
指对序列的傅里叶变换或系统的频率特性进行取样。