【北师大版】高中数学必修2精品讲学案：2

第1课时 圆的标准方程
[核心必知]
1．圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程
(1)圆心为(a ，b )，半径是r ，圆的标准方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (2)当圆心在原点时，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．中点坐标
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)的中点坐标为⎝⎛
⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.
[问题思考]
1．若圆的标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ≠0)，那么圆心坐标是什么？半径呢？ 提示：圆心坐标为(－a ，－b )，半径为|t |. 2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？
提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和半径．
讲一讲
1．写出下列各圆的标准方程． (1)圆心在原点，半径为8；
(2)圆心在(2,3)，半径为2；
(3)圆心在(2，－1)且过原点．
[尝试解答]设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，
∴圆的方程为x2＋y2＝64.
(2)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.
(3)∵圆心在(2，－1)且过原点，
∴a＝2，b＝－1，r＝(2－0)2＋(－1－0)2＝ 5.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.
直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．
练一练
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；
(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．
解：(1)由两点间距离公式，得r＝(6－2)2＋(3＋2)2＝41，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.
(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．
又|AB|＝(－4－6)2＋(－5＋1)2＝229，∴半径r＝29.
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，
半径r＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
讲一讲
2．已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？
[尝试解答] 由已知得圆心坐标为C (1,4)， 圆的半径r ＝12|P 1P 2|＝1
2(3＋1)2＋(6－2)2＝2 2.
∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －4)2＝8. ∵(2－1)2＋(2－4)2＝5＜8，
(5－1)2＋(0－4)2＝32＞8，(3－1)2＋(2－4)2＝8， ∴点M 在圆内，点N 在圆外，点Q 在圆上．
判定点M (x 0，y 0)与圆C ：(C |与r 的关系：
若点M 在圆C 上，则有(在圆C 外，则有(在圆C 内，则有(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. 练一练
2．已知点A (1,2)在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围． 解：∵点A 在圆内部，∴(1－a )2＋(2＋a )2＜2a 2， ∴2a ＋5＜0，∴a ＜－52，∴a 的取值范围是⎩⎨⎧
⎭⎬⎫aa ＜－52.
讲一讲
3．求圆心在直线l ：2x －y －3＝0上，且过点A (5,2)和点B (3，－2)的圆的方程． [尝试解答] 法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则 ⎩⎪⎨⎪
⎧
2a －b －3＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，
b ＝1，
r ＝10.
∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上， 线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－1
2(x －4)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －y －3＝0，y ＝－1
2(x －4)，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝1. 即圆心C 的坐标为(2,1)．
∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10.
∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.
用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： (1)设出圆的标准方程．
(2)根据条件得关于a ，b ，r 的方程组，并解方程组得a ，b ，r 的值． (3)代入标准方程，得出结果． 练一练
3．求圆心在直线5x －3y ＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程． 解：设所求圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. ∵圆与两坐标轴相切，
∴圆心满足a －b ＝0或a ＋b ＝0， 又圆心在直线5x －3y ＝8上，∴5a －3b ＝8.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0，5a －3b ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，5a －3b ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝4，或⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b ＝－1.
∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)． ∴可得半径r ＝|a |＝4或r ＝|a |＝1.
∴所求圆方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.
已知实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，求x 2＋y 2的最大值和最小值． [巧思] x 2＋y 2可以看成圆(x －2)2＋y 2＝3上的点到原点的距离的平方．
[妙解] 方程(x －2)2＋y 2＝3表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，x 2＋y 2表示圆上的点到原点距离的平方，由平面几何知识知在原点与圆心连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，半径为3， 故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋4 3. (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.
1．圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝25 B ．x 2＋y 2＝5
C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25
D ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25
解析：选C 半径r ＝32＋42＝5，∴圆的方程是(x －3)2＋(y －4)2＝25. 2．点A (1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＜－1或a ＞1 D ．a ＝±1
解析：选A 点A (1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4，解得－1＜a ＜1.
3．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( )
A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13
B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13
C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52
D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52
解析：选A 设直径两端点为A (x,0)，B (0，y )， 则圆心(2，－3)为直径中点， ∴⎩⎨⎧
2＝x ＋02
，－3＝0＋y
2
，即⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝4，y ＝－6.∴A (4,0)，B (0，－6)． ∴r ＝12|AB |＝1
2
×42＋62＝13.
∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.
4．圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2(r ＞0)的圆心C 到直线4x ＋3y －12＝0的距离为________． 解析：由圆C 的方程知圆心C 的坐标为C (2，－1)，再由点到直线的距离公式得：d ＝|4×2＋3×(－1)－12|42＋32
＝7
5. 答案：7
5
5．圆心在y 轴上，半径为5，且过坐标原点的圆的标准方程为________． 解析：由题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝25. 则将(0,0)坐标代入，得b 2＝25，∴b ＝±5.
∴所求圆的方程为x 2＋(y ＋5)2＝25或x 2＋(y －5)2＝25.
答案：x 2＋(y ＋5)2＝25或x 2＋(y －5)2＝25
6．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．
(1)求AD 边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD 外接圆的方程．
解：(1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0， 且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3. 又因为点T (－1,1)在直线AD 上，
所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0.
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)．
因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心． 又|AM |＝
(2－0)2＋(0＋2)2＝2 2.
从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.
一、选择题
1．已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4，则P (3,2)( ) A ．是圆心 B ．在圆C 外 C ．在圆C 内 D ．在圆C 上
解析：选C 由圆C 的方程知圆心C (2,3)，半径r ＝2，故排除A. 又∵|PC |＝(3－2)2＋(2－3)2＝2＜2＝r ， ∴P 在圆C 内部．
2．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝1关于直线x ＋y ＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝1 B ．(x －4)2＋(y ＋3)2＝1 C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1
D ．(x －3)2＋(y －4)2＝1
解析：选B 对称后，圆的半径不变，只需将圆心关于x ＋y ＝0的对称点作为圆心即可． ∴已知圆的圆心(3，－4)关于x ＋y ＝0的对称点(4，－3)为所求圆的圆心， ∴所求圆的方程为(∈R )表示的所有圆中，面积最小的圆的圆心和半径分别是( ) A ．(－1,2)，3 B ．(1，－2)，3 C ．(－1,2),
m 2＋9 D ．(1，－2),
m 2＋9
解析：选B 当m ＝0时，圆的半径最小且为3，这时圆的面积最小，圆心为(1，－2)． 4．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆
解析：选D 由y ＝9－x 2，知y ≥0，两边平方移项，得x 2＋y 2＝9.
∴原方程等价于⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝9，y ≥0，
表示圆心在原点，半径为3的圆的上半部分． 5．设M 是圆(到3x ＋4y －2＝0的最小距离是( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．2
解析：选D 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离 d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝|15＋12－2|
5＝5， ∴所求的最小距离是5－3＝2. 二、填空题
6．圆心在x 轴上，且过点A (5,2)和B (3，－2)的圆的标准方程为____________． 解析：法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 则⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝4，
b ＝0，
r ＝5，
∴所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝5. 法二：∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的中垂线上． AB 中垂线的方程为y ＝－1
2(x －4)，
令y ＝0，得x ＝4.即圆心坐标C (4,0)， ∴r ＝|CA |＝
(5－4)2＋(2－0)2＝5，
∴所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝5. 答案：(x －4)2＋y 2＝5
7．已知圆C 1的方程(x ＋3)2＋(y －2)2＝5，圆C 2与圆C 1是同心圆且过点A (5,0)，则圆C 2的标准方程为__________．
解析：由圆C 1的方程知圆心C 1(－3,2)，因为C 2与C 1是同心圆，所以C 2的圆心也为(－3,2)．可设C 2的方程为
(x ＋3)2＋(y －2)2＝r 2.又由C 2过点A (5,0)， 所以(5＋3)2＋(0－2)2＝r 2，r 2＝68. 故圆C 2的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝68. 答案：(x ＋3)2＋(y －2)2＝68
8．设点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为________．
解析：理解(x －1)2＋(y －1)2的几何意义，即为动点P (x ，y )到定点(1,1)的距离． 因为点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上的任意一点， 因此(x －1)2＋(y －1)2表示点(1,1)与该圆上点的距离．
易知点(1,1)在圆x 2＋(y ＋4)2＝4外，结合图易得(x －1)2＋(y －1)2的最大值为(1－0)2＋(1＋4)2＋2＝26＋2. 答案：26＋2 三、解答题
9．已知直线l 与圆C 相交于点P (1，0)和点Q (0,1)． (1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程．
解：(1)PQ 的方程为⎝⎛⎭⎫12，12，k PQ ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y ＝x . (2)由条件设圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝1.
由圆过P ，Q 点得：⎩
⎪⎨⎪⎧
(1－a )2＋b 2＝1，a 2＋(b －1)2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝1，
所以圆C 方程为：x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1. 10．已知圆C 的圆心坐标为C (x 0，x 0)，且过定点P (4,2)．
(1)求圆C 的方程；
(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小，并求出此时圆C 的标准方程． 解：(1)由题意，得圆C 的方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r ≠0)． ∵圆C 过定点P (4,2)，∴(4－x 0)2＋(2－x 0)2＝r 2(r ≠0)． ∴r 2＝2x 20－12x 0＋20.
∴圆C 的方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20.
(2)∵(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20＝2(x 0－3)2＋2，
∴当x 0＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小． 此时圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2.
第2课时 圆的一般方程
[核心必知]
1．圆的一般方程的定义
当D 2＋E 2－4F ＞0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程． 2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形
(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆． (2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E
2. (3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形．
[问题思考]
1．方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？ 提示：此方程不表示圆的一般方程． ∵D 2＋E 2－4F ＝22＋(－2)2－4×3＝－4＜0. ∴此方程不表示任何图形．
2．方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时需要具备什么条件？ 提示：需同时具备三个条件：①A ＝C ≠0；②B ＝0； ③D 2＋E 2－4AF >0.
讲一讲
1．判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程． (1)x 2＋y 2＋2x ＋1＝0； (2)x 2＋y 2＋2ay －1＝0； (3)x 2＋y 2＋20x ＋121＝0； (4)x 2＋y 2＋2ax ＝0.
[尝试解答] (1)原方程可化为(x ＋1)2＋y 2＝0，它表示点(－1,0)，不表示圆．
(2)原方程可化为x 2＋(y ＋a )2＝a 2＋1，它表示圆心在(0，－a )，半径为a 2＋1的圆，标准方程为x 2＋(y ＋a )2＝(a 2＋1)2.
(3)原方程可化为：(x ＋10)2＋y 2＝－21＜0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆． (4)原方程可化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2.
①当a ＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆；
②当a ≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a |的圆，标准方程为(x ＋a )2＋y 2＝a 2.
对形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．
练一练
1．求下列圆的圆心和半径． (1)x 2＋y 2－x ＋y ＝0；
(2)x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋a 2＝0.(a ≠0)
解：(1)原方程可化为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12， ∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫12，－12，半径为22
.
(2)原方程可化为(x ＋a )2＋(y －a )2＝a 2. ∴圆心坐标为(－a ，a )，半径为|a |.
讲一讲
2．已知△ABC 三个顶点的坐标为A (1,3)，B (－1，－1)，C (－3，5)，求这个三角形外接圆的方程．
[尝试解答] 法一：设所求圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， ∵此圆过A 、B 、C 三点， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
12＋32＋D ＋3E ＋F ＝0，(－1)2＋(－1)2－D －E ＋F ＝0，(－3)2＋52－3D ＋5E ＋F ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝4，
E ＝－4，
F ＝－2，
∴圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
(1－a )2＋(3－b )2＝r 2， ①(－1－a )2＋(－1－b )2＝r 2， ②(－3－a )2＋(5－b )2＝r 2. ③
②－①、③－①得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋2
b －2＝0，2a －b ＋6＝0，解得a ＝－2，b ＝2.∴r 2＝10.
∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10.
法三：AB 的中垂线方程为y －1＝－1
2(x －0)，
BC 的中垂线方程为y －2＝1
3(x ＋2)，
联立解得圆心坐标为(－2,2)．
设圆半径为r ，则r 2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10， ∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10. 法四：由于k AB ＝
－1－3－1－1＝2，k AC ＝5－3－3－1
＝－1
2，
∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，
∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形，
∴外接圆圆心为BC 的中点，即(－2,2)，半径r ＝1
2|BC |＝10，
∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10.
待定系数法是求圆的一般方程的常用方法，先设出圆的一般方程，再根据条件列出方程组求出未知数D ，E ，F ，当已知条件与圆心和半径都无关时，一般采用设圆的一般方程的方法．
练一练
2．求过点A (2，－2)，B (5,3)，C (3，－1)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
4＋4＋2D －2E ＋F ＝0，25＋9＋5D ＋3E ＋F ＝0，
9＋1＋3D －E ＋F ＝0，
解之得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝8，
E ＝－10，
F ＝－44，
所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋8x －10y －44＝0.
已知定点A (a,2)在圆x 2＋y 2－2ax －3y ＋a 2＋a ＝0的外部，求a 的取值范围． [错解] ∵点A 在圆外，
∴a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a ＞0，∴a ＞2.
[错因] 本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般式方程的定义．二元二次方程x 2
＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时，需D 2＋E 2－4F ＞0，所以，本题除了点在圆外的条件以外，还应注意方程表示圆这一隐含条件．
[正解] ∵点A 在圆外，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a ＞0，(－2a )2＋(－3)2－4(a 2＋a )＞0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞2，a ＜94，
即2＜a ＜9
4
，∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，94.
1．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．22π D ．4π
解析：选C 圆的方程配方后可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2， ∴圆的半径r ＝2，∴周长＝2πr ＝22π. 2．方程＝0表示圆，则m 的范围是 ( ) A ．0＜m ＜1 B ．m ＞1 C ．m ＜0 D ．m ＜1 解析：选D 方程＝0表示圆， 须42＋(－2)2－4×5m ＞0，即m ＜1.
3．如果过A (2,1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，则l 的方程为( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x －2y ＝0
解析：选A 由题意知直线l 过圆心(1,2)，由两点式可得l 的方程为y －12－1＝x －2
1－2，即x
＋y －3＝0.
4．以点A (2,0)为圆心，且经过点B (－1,1)的圆的一般方程是______________． 解析：由题知r ＝|AB |＝(－1－2)2＋(1－0)2＝10，
∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10，化成一般方程为：x 2＋y 2－4x －6＝0. 答案：x 2＋y 2－4x －6＝0
5．圆x 2＋y 2－2x －4y －11＝0关于点P (－2,1)对称的圆的方程是________． 解析：由x 2＋y 2－2x －4y －11＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝16. 圆心(1,2)关于P (－2,1)的对称点为(－5,0) 所求圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝16. 答案：(x ＋5)2＋y 2＝16
6．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，求圆C 的一般方程．
解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线2x －y －7＝0上，
∴2×⎝⎛⎭⎫－D 2－⎝⎛⎭⎫－E 2－7＝0，即D －E
2＋7＝0，① 又∵A (0，－4)，B (0，－2)在圆上，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
(－4)2－4E ＋F ＝0， ②
(－2)2－2E ＋F ＝0， ③ 由①、②、③解得D ＝－4，E ＝6，F ＝8， ∴圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0.
一、选择题
1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为2
2
，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32
C ．2或0
D ．－2或0
解析：选C 由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．再由点到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝2
2，
解得a ＝2或a ＝0.
2．已知圆C 的半径长为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )
A ．x 2＋y 2－2x －3＝0
B ．x 2＋y 2＋4x ＝0
C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0
D ．x 2＋y 2－4x ＝0
解析：选D 设圆心为(a,0)，且a ＞0，则(a,0)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为2，即|3×a ＋4×0＋4|32＋42＝2∴3a ＋4＝±10∴a ＝2或a ＝－14
3(舍去)，则圆的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0.
3．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( ) A ．2 B ．1＋2 C ．2＋
2
2
D ．1＋22 解析：选B 圆的方程变为(x －1)2＋(y －1)2＝1， ∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d ＝|1－1－2|12＋－1
2
＝2，
∴所求的最大值为1＋ 2.
4．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线等于( ) A ．8 B ．－4 C ．6 D ．无法确定
解析：选C 因为圆上两点A ，B 关于直线x －y ＋3＝0对称，所以直线x －y ＋3＝0过
圆心⎝⎛⎭⎫－m 2，0，从而－m
2
＋3＝0，即m ＝6. 5．圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当圆面积最大时，圆心坐标为( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,0) D ．(0，－1)
解析：选D 方程变形为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3
4
k 2， ∴r 2＝1－3
4k 2，当k ＝0时，r 有最大值．∴圆心坐标为(0，－1)．
二、填空题
6．过点(－3，－2)的直线l 经过圆x 2＋y 2－2y ＝0的圆心，则直线l 的倾斜角大小为________．
解析：由x 2＋y 2－2y ＝0，得x 2＋(y －1)2＝1，∴圆心为(0,1)， ∴k ＝1－(－2)0－(－3)＝33＝ 3.∴直线的倾斜角为60°.
答案：60°
7．若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为________．
解析：依题意A (－4,0)，B (0,3)，∴AB 中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，3
2， 半径r ＝|AC |＝
(－2＋4)2＋⎝⎛⎭⎫322＝5
2，
∴圆的方程为(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫5
22， 即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0. 答案：x 2＋y 2＋4x －3y ＝0
8．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________．
解析：∵点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0内部，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
(a ＋1)2＋(a －1)2－2a (a －1)－4＜0，
(－2a )2－4×(－4)＞0，即2a ＜2，a ＜1. 答案：(－∞，1) 三、解答题
9．若点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)，D (a,1)共圆，求a 的值．
解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入，整理得方程组
⎩⎪⎨⎪
⎧
D －
E ＋
F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，
解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2. ∴圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0. 又∵点D 在圆上，
∴a 2＋1－7a －3＋2＝0.∴a ＝0或a ＝7.
10．求经过A (4,2)、B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，
∴圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D . 令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，
∴圆在y 轴的截距之和为y 1＋y 2＝－E . 由题设x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2. ∴D ＋E ＝－2.①
又A (4,2)，B (－1,3)在圆上，∴16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.③
由①②③解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.
第3课时 直线与圆的位置关系
[核心必知]
直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2位置关系及判断
消元得到一元二次方程的判别式Δ
[问题思考]
1．直线Ax ＋By ＋C ＝0
与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2相交时，方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
Ax ＋By ＋C ＝0，
(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
的解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1，y ＝y 1和⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 2，y ＝y 2
的几何意义是什么？x 1＋x 22，y 1＋y 2
2呢？
提示：该方程组的解恰好是直线与圆的交点P 、Q 的坐标，即有P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，而⎝⎛
⎭⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22恰为弦PQ 的中点坐标．
2．是否任意直线与圆的位置关系的判定都可以用几何法与代数法这两种方法？ 提示：是．几何法与代数法是从不同的方面进行判断的，几何法侧重于“形”，代数法侧重于“数”．
讲一讲
1．判断下列直线与圆的位置关系，若有公共点求出公共点的坐标． (1)直线：x ＋y ＝0，圆：x 2＋y 2＋2x ＋4y －4＝0； (2)直线：y ＝x ＋5，圆：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0； (3)直线x ＋y ＝3，圆：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0.
[尝试解答] (1)圆的方程x 2＋y 2＋2x ＋4y －4＝0可化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心(－1，－2)，半径3.
圆心到直线的距离d ＝|－1－2|1＋1＝32
2<3，
∴直线与圆有两个公共点．
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝0，
x 2＋y 2＋2x ＋4y －4＝0，消去y 得x 2－x －2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝2，
∴y 1＝1，y 2＝－2，∴交点A (－1,1)，B (2，－2)．
(2)圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，圆心(－1,2)，半径2， 圆心到直线的距离d ＝
|－1－2＋5|12＋(－1)2
＝2，
∴直线与圆相切，有一个公共点，
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋5，x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0， 消去y 得x 2＋4x ＋4＝0， ∴x ＝－2，y ＝3，∴切点(－2,3)． (3)圆的方程化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心(2，－1)，半径长为1，
圆心到直线的距离d ＝|2－1－3|
12＋12＝2>1，
∴直线与圆相离．
解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用代数法．
练一练
1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝2，直线y ＝x ＋b ，当b 为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
解：如图，圆心O (0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ＝|b |
2，圆的半径r ＝ 2.
∴当d ＝r ，|b |＝2，即b ＝2或b ＝－2时，圆与直线相切． ∵b 为直线的截距，数形结合可知， 当－2＜b ＜2时，直线与圆相交， 当b ＞2或b ＜－2时，直线与圆相离.
讲一讲
2．求直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长． [尝试解答] 法一：由直线l 与圆C 的方程，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，消去y 得x 2－3x ＋2＝0. 设两交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由根与系数的关系有x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝2， |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝(x 1－x 2)2＋[－3x 1＋6－(－3x 2＋6)]2 ＝(1＋3)2(x 1－x 2)2＝10[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝10×(32－4×2)＝10. ∴弦AB 的长为10.
法二：圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0可化为x 2＋(y －1)2＝5. 其圆心坐标为C (0,1)，半径r ＝5，
点C (0,1)到直线l 的距离为d ＝|3×0＋1－6|32＋12＝102，
所以半弦长|AB |
2＝r 2－d 2＝
(5)2－(
102)2＝102
. 所以弦长|AB |＝10.
1．代数法
(1)将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利用两点间距离公式求弦长．
(2)设直线的斜率为k ，直线与圆联立，消去y 后所得方程两根为x 1，x 2，则弦长d ＝|x 2
－x 1|1＋k 2.
2．几何法
设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则有⎝⎛⎭⎫l 22
＋d 2＝r 2，故l ＝2r 2－d 2
，即半弦长、弦心距、半径构成直线三角形，数形结合利用勾股定理得到．
练一练
2．已知关于为何值时，方程C 表示圆； (2)若圆C 与直线l ：，N 两点，且|MN |＝
4
5
，求m 的值． 解：(1)方程C 可化为(.显然5－m ＞0，即m ＜5时，方程C 表示圆．
(2)圆的方程化为(圆心C (1,2)，半径r ＝5－m . 则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离 d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15.
∵|MN |＝
4
5
， ∴12|MN |＝25
. 根据圆的性质有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12|MN |2， ∴5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫252，得m ＝4.
讲一讲
3．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0，求经过点(4，－1)的圆的切线方程． [尝试解答] 设切线l 的斜率为k ，则其方程为y ＋1＝k (x －4)， 即kx －y －4k －1＝0.圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9. 圆心为(－1,2)，半径为3. ∵l 是圆的切线， ∴
|－5k －3|
k 2＋1
＝3， ∴8k 2＋15k ＝0.
∴k ＝0或k ＝－15
8，代入kx －y －4k －1＝0并整理，得切线方程为y ＝－1或15x ＋8y －
52＝0.
经过圆内一点的圆的切线不存在；经过圆上一点的圆的切线有一条；经过圆外一点的圆的切线有两条，若只求出一条，则说明另一条切线的斜率不存在，切线为x ＝x 0的形式．
练一练
3．若直线l 过点P (2,3)，且与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1相切，求直线l 的方程． 解：①若直线l 的斜率存在，设l ：y －3＝k (x －2)． 因为直线l 与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1相切， 所以
|5－k |
k 2＋1
＝1，所以k ＝12
5.
所以直线l 的方程为y －3＝
12
5
(x －2)，即12x －5y －9＝0. ②若直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝2也符合要求． 所以直线l 的方程为12x －5y －9＝0或x ＝2.
方程
4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等实根，求k 的取值范围．
[巧思] 将方程解的个数问题转化为y ＝4－x 2和y ＝k (x －2)＋3图像的交点个数问题． [妙解] 在同一坐标系中，分别作出曲线y ＝4－x 2和y ＝k (x －2)＋3. 如图所示，曲线y ＝4－x 2表示圆心在原点，半径为2的上半圆，
y ＝k (x －2)＋3表示经过定点P (2,3)，斜率为k 的动直线， 易得k P A ＝34，切线PM 的斜率为k PM ＝512
.
当动直线介于直线PM 与P A 之间时，与半圆有两个交点， 即所给方程
4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等实根．
所以实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫
512，34.
1．(安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－3，－1]
B ．[－1,3]
C ．[－3,1]
D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即
|a －0＋1|12＋－1
2
≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.
2．直线2x －y －1＝0被圆(x －1)2＋y 2＝2所截得的弦长为( ) A.
305 B.35
5
C.2305
D.655
解析：选D 圆心为(1,0)，半径为2， 圆心到直线的距离d ＝|2－0－1|5＝15，
弦长l ＝2r 2－d 2＝2
2－15＝655
. 3．(天津高考)已知过点P (2,2) 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切， 且与直线ax －y ＋1＝0垂直， 则a ＝( )
A ．－1
2 B ．1
C ．2 D.1
2
解析：选C 由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－0
2－1
＝a ，解得a ＝2.
4．圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________．
解析：由题意可知，原点到直线x ＋y －2＝0的距离为圆的半径，即r ＝|0＋0－2|
2＝2，
所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.
答案：x 2＋y 2＝2
5．(湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB ＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.
解析：
如图，过点O作OD⊥AB于点D，
则|OD|＝
5
32＋(－4)2
＝1.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OBD＝30°，
∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.
答案：2
6．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P(2，－1)，过P点作圆C的切线P A、PB，A、B为切点，求：
(1)P A、PB所在的直线方程；
(2)切线长|P A|.
解：(1)设切线的斜率为k，因为切线过点P(2，－1)，所以切线的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
又圆心C(1,2)，半径r＝2，由点到直线的距离公式，得
2＝|k－2－2k－1|
k2＋(－1)2
.解得k＝7或k＝－1.故所求切线P A，PB的方程分别是x＋y－1＝0
和7x－y－15＝0.
(2)如图，连接AC，PC，则AC⊥AP.
在Rt△APC中，|AC|＝2，
|PC|＝(2－1)2＋(－1－2)2＝10，
所以|P A|＝|PC|2－|AC|2＝10－2＝2 2.
一、选择题
1．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上都有可能 解析：选B 由于直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则1
a 2＋b
2＜1，即a 2＋b 2＞1，从而可知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1的外部．
2．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或4
解析：选D 圆心C (a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|
2，由题意得d 2＋(2)2＝22，解
得d ＝ 2.
所以|a －2|2
＝2，解得a ＝0或a ＝4.
3．(重庆高考)对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直线过圆心
解析：选C 易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)． 4．(广东高考)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋2＝0
解析：选A 因为所求直线l (设斜率为k )垂直于直线y ＝x ＋1，所以k ·1＝－1，所以k ＝－1，设直线l 的方程为y ＝－x ＋b (b ＞0)，即x ＋y －b ＝0，所以圆心到直线的距离为
|－b |2＝1，所以b ＝ 2.
5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．10 6
B ．206
C ．30 6
D ．406
解析：选B 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意，最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12×|AC |×|BD |＝1
2
×10×46＝20 6.
二、填空题
6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________．
解析：由题意得圆心为C (－1,0)．由点到直线的距离公式得圆心C 到直线x ＋y ＋3＝0的距离d ＝|－1＋0＋3|2
＝2，即圆半径r ＝ 2.∴圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.
答案：(x ＋1)2＋y 2＝2
7．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________．
解析：圆心到直线x －y －1＝0的距离为d ＝|a －1|
2.
因为圆截直线所得的弦长为22，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，即(a －1)2＝4，所以a ＝3
或a ＝－1(舍去)．
所以圆心为(3,0)，半径r 2＝(a －1)2＝4， 故圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4. 答案：(x －3)2＋y 2＝4
8．经过点P (2，－3)作圆(x ＋1)2＋y 2＝25的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为________．
解析：设圆心为C (－1,0)，由题意知：AB ⊥CP ， 而k CP ＝－3－0
2－(－1)
＝－1，从而k AB ＝1，
∴弦AB 所在的直线方程为y ＋3＝x －2，即x －y －5＝0. 答案：x －y －5＝0 三、解答题
9．自点P (－6,7)发出的光线l 射到x 轴上点A 处，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0相切于点Q .求光线l 所在直线的方程．
解：如图，作圆x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0关于x 轴的对称圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝0， 由几何光学原理知，
直线l 与圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝0相切，
又∵l 的斜率必存在，故可设直线l ：y －7＝k (x ＋6)，即kx －y ＋6k ＋7＝0.
由d ＝|4k ＋3＋6k ＋7|k 2＋1＝10|k ＋1|k 2＋1＝2，得k ＝－34或k ＝－43，
故光线l 所在直线的方程为3x ＋4y －10＝0或4x ＋3y ＋3＝0. 10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4和直线l ：kx －y －4k ＋3＝0. (1)求证：不论k 取何值，直线和圆总相交；
(2)求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长． 解：由题可知圆心为C (3,4)，半径为r ＝2. (1)证明：直线方程可化为k (x －4)＋(3－y )＝0， ∴直线过定点P (4,3)．∵(4－3)2＋(3－4)2＜4. ∴点P 在圆C 内部．
∴直线kx －y －4k ＋3＝0与圆C 总相交．
(2)∵直线经过定点P (4,3)，∴当PC 与直线垂直时，圆被直线截得的弦最短． 设直线与圆的交点为A ，B ，则由勾股定理得(1
2|AB |)2＝r 2－|CP |2＝4－2＝2.∴AB ＝2 2.
∵PC 与直线kx －y －4k ＋3＝0垂直，直线PC 的斜率为k PC ＝3－4
4－3
＝－1，∴直线kx －y －4k ＋3＝0的斜率为k ＝1.
∴当k ＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为2 2.
第4课时 圆与圆的位置关系
[核心必知]
1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有相离、外切、相交、内切、内含五种情况． 2．圆与圆位置关系的判定
已知两圆C 1：(x －x 1)2＋(y －y 1)2＝r 21， C 2：(x －x 2)2＋(y －y 2)2＝r 22， 圆心距为d .
两圆C 1，C 2的位置关系如下：
两圆相离d>r1＋r2
两圆外切d＝r1＋r2
两圆相交|r1－r2|<d<|r1＋r2|
两圆内切d＝|r1－r2|
两圆内含d<|r1－r2|
[问题思考]
1．当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定相离？只有一组解时，一定外切吗？
提示：不一定．当两圆组成的方程组无解时，两圆无公共点，两圆可能相离也可能内含；只有一组解时，两圆只有一个公共点，两圆相切，可能外切，也可能内切．2．圆A：x2＋y2－8x＋7＝0和圆B：x2＋y2＋8x＋7＝0的位置关系如何？
提示：外离．圆A，圆心(4,0)，半径3.圆B，圆心(－4,0)，半径3，圆心距大于两半径和．
3．在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下，两圆的公切线条数分别为多少条？
提示：
位置关系外离外切相交内切内含
公切线条数4条3条2条1条0条
讲一讲
1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．
试求a 为何值时两圆C 1、C 2 (1)相切；(2)相交；(3)相离．
[尝试解答] 对圆C 1、C 2的方程，经配方后可得： C 1：(x －a )2＋(y －1)2＝16，C 2：(x －2a )2＋(y －1)2＝1， ∴圆心C 1(a,1)，r 1＝4，C 2(2a,1)，r 2＝1， ∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .
(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切， 当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交． (3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离． 当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．
判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐；二是几何法，看两圆圆心距d ，若d ＝r 1＋r 2，两圆外切，d ＝|r 1－r 2|时，两圆内切，d ＞r 1＋r 2时，两圆外离，d ＜|r 1－r 2|时，两圆内含，|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2时，两圆相交．
练一练
1．判断下列两圆的位置关系，若相交，请求出公共弦长． x 2＋y 2＋6x －7＝0和x 2＋y 2＋6y －27＝0.
解：将圆的一般方程化为标准方程，得(x ＋3)2＋y 2＝16，x 2＋(y ＋3)2＝36. 故两圆的半径分别为r 1＝4和r 2＝6，两圆的圆心距 d ＝(0＋3)2＋(－3－0)2＝3 2.
显然，2＜32＜10，即|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，所以两圆相交．
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＋6x －7＝0， ①x 2＋y 2＋6y －27＝0， ②
①－②，得3x －3y ＋10＝0. ③ 方程③表示公共弦所在直线的方程．
因为③式是公共弦所在直线的方程，所以第一个圆的圆心(－3,0)到直线的距离为d ′＝|－9＋10|9＋9
＝132＝2
6. 又半径r 1＝4，所以弦长为216－236＝574
3
.
讲一讲
2．已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
[尝试解答] (1)将两圆方程配方化为标准方程， C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10. 则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52； 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10. 又|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10. r 1－r 2＝52－10.
∴r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴两圆相交．
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0. (3)法一：两方程联立，得方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， ② 两式相减得x ＝2y －4. ③ 把③代入②得y 2－2y ＝0， ∴y 1＝0，y 2＝2.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－4，y 1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝0，y 2
＝2，所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)． ∴两圆的公共弦长为(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5.
法二：两方程联立，得方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，
两式相减得x －2y ＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程． 由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， 其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝5 2.
圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|
1＋(－2)2
＝35，
设公共弦长为2l ，由勾股定理r 2＝d 2＋l 2，得50＝45＋l 2，解得l ＝5，所以公共弦长2l ＝2 5.
求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：
注意：当两圆相切时，公共弦所在直线即为两圆的公切线． 练一练
2．已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋2y －40＝0相交，圆C 过原点，半径为10，圆心在已知两圆圆心连线的垂直平分线上，求圆C 的方程．
解：设圆C 1与圆C 2交于A ，B 两点，由两圆的方程相减，得x ＋3y －10＝0，此方程即为公共弦AB 所在的直线方程．
由已知，圆C 的圆心C 在两圆圆心连线的垂直平分线上，即在直线AB 上，设C (a ，b )，则a ＋3b －10＝0①，又由|CO |＝10，得a 2＋b 2＝10②，
①②联立，解得a ＝1，b ＝3.
所以，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.
3．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
解：联立两圆方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0.
相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.
再由⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ＋3y －2＝0，
x 2＋y 2－12x －2y －13＝0.
联立得两交点坐标A (－1,2)、B (5，－6)． ∵所求圆以AB 为直径，
∴圆心是线段AB 的中点M (2，－2)， 圆的半径为r ＝1
2
|AB |＝5.
于是所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.
讲一讲
3．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．
[尝试解答] 法一：解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＋6x －4＝0，
x 2＋y 2＋6y －28＝0，
得两圆的交点A (－1,3)、B (－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a ，b )，因圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2， 解得a ＝12，故圆心为(12，－7
2)，
半径为
(12＋1)2＋(－7
2
－3)2＝89
2
. 故圆的方程为(x －12)2＋(y ＋72)2＝89
2，
即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.
法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上， 故可设所求圆的方程为
x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为(－
31＋λ，－3λ1＋λ
)，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.
1．针对这个类型的题目，常用的方法有两种：其一是利用圆系方程，其二是利用圆的几何性质求圆心和半径，这两种方法运算量小且简便适用．
2．若两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则过这两圆交点的圆的方程可表示为C 3：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0.(不含圆C 2)
练一练
4．已知直线l ：4x ＋3y －2＝0和圆C ：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0相交于A 、B 两点，求过A 、B 两点的圆中面积最小的圆的方程．
解：法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋3y －2＝0，
x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2，或⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝5，y ＝－6，∴A (－1,2)、B (5，－6)．
要使过A ，B 的圆的面积最小，则需以AB 为直径， ∴圆心是AB 的中点M (2，－2)，
半径r ＝1
2|AB |＝(－1－5)2＋(2＋6)22＝5，
∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.
法二：设所求圆的方程为：x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(4x ＋3y －2)＝0， 即x 2＋y 2＋(4λ－12)x ＋(3λ－2)y －13－2λ＝0， ∴圆心坐标为(12－4λ2，2－3λ
2
)．
∴当圆心(12－4λ2，2－3λ
2)在l 上时面积最小，
∴4×12－4λ2＋3×2－3λ
2－2＝0，解得λ＝2，
∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.
求半径为4，与圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程． [错解] 由题意知，所求圆与直线y ＝0相切且半径为4，设其圆心C 的坐标为(a,4)，且其方程为(x －a )2＋(y －4)2＝42，
又圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝32， 其圆心为A (2,1)，半径为3. 由两圆相切，得|CA |＝3＋4， 所以(a －2)2＋(4－1)2＝72， 解得a ＝2±210，
所以所求圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16. [错因] 上述错解只考虑了圆心在直线y ＝0上方的情形，而漏掉了圆心在直线y ＝0下方的情形，另外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的．
[正解] 由题意，设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心为C ，又圆C 与直线y ＝0相切且半径为4，故圆心C 的坐标为(a,4)或(a ，－4)．又因为圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的圆心A 的坐标为(2,1)，半径为3.若两圆相切，
则|CA |＝4＋3＝7或|CA |＝4－3＝1. 当取C (a,4)时，(a －2)2＋(4－1)2＝72或 (a －2)2＋(4－1)2＝12(无解)， 故a ＝2±210， 此时所求圆的方程为
(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或 (x －2＋210)2＋(y －4)2＝16；
当取C (a ，－4)时，
(a －2)2＋(－4－1)2＝72或(a －2)2＋(－4－1)2＝12(无解)， 所以a ＝2±26，
此时所求圆的方程为(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.
1．(山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离
解析：选B 两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．
2．两圆(x －a )2＋(y －b )2＝c 2和(x －b )2＋(y －a )2＝c 2相切，则( ) A ．(a －b )2＝c 2 B ．(a －b )2＝2c 2 C ．(a ＋b )2＝c 2 D ．(a ＋b )2＝2c 2
解析：选B 由两圆方程可知，两圆一定外切． 于是((a －b )2＋(b －a )2)2＝(2c )2.∴(a －b )2＝2c 2.
3．一圆过圆x 2＋y 2－2x ＝0与直线x ＋2y －3＝0的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( )
A ．x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0
B ．x 2＋y 2＋4y －6＝0
C ．x 2＋y 2－2x ＝0
D ．x 2＋y 2＋4x －6＝0
解析：选B 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋λ(x ＋2y －3)＝0， 即x 2＋y 2＋(λ－2)x ＋2λy －3λ＝0 依题意得－λ－2
2＝0，∴λ＝2.
故圆的方程为x 2＋y 2＋4y －6＝0.
4．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________.。