方程与不等式之无理方程知识点总复习有答案

方程与不等式之无理方程知识点总复习有答案
一、选择题
1．请将方程(x-3)x7
-=0的解写在后面的横线上：______
【答案】x=7
【解析】
【分析】
先根据已知方程得出x-3=0或x-7=0，求出x的值，再进行检验即可．
【详解】
解：(x-3)7
x-=0，
x-3=0或x-7=0，
x=3或x=7，
检验：当x=3时，7
x-无意义，所以x=3不是原方程的解；
x=7是原方程的解，
故答案为：x=7．
【点睛】
本题考查了解无理方程，能把无理方程变成有理方程是解此题的关键，注意解无理方程一定要进行检验．
2．如果关于x的方程的一个根为3，那么a= ．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据方程的解的意义，把x=3代入原方程，然后解关于a的方程，解答后，一定要验根.【详解】
+=的一个根为3，
∵关于x2x a x
+=，
∴x=3一定满足关于x2x a x
a
+=，
63
方程的两边同时平方，得
6+a=9，解得a=3；
检验：
将a=3代入原方程得，
?=，
左边2333
右边=3，
∴左边=右边，
∴a=3符合题意，
故填：3.
3．若关于x 的方程103=恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．
【答案】0a =或316
a ≥-
【解析】
【分析】
，∴y ≥0，则原方程可化为：211023ay y +
-=， 根据方程只有一个正根，即可解决问题．
【详解】
y ,∴y ≥0,则原方程可化为：211023
ay y +
-=， ∵方程恰有两个不同的实数解， ∴△=0或a =0或a >0(此时方程两根异号,y 只有一个正根,x 有两个不同的实数解) 当△=0时,14043
a +=， 解得：316
a =-， 故实数a 的取值范围是：0a =或316a ≥-
， 故答案为：0a =或316
a ≥-
【点睛】 考查无理方程，难度一般，关键是掌握用换元法求解无理方程.
4．方程_____．
【答案】x=2
【解析】
【分析】
无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到无理方程的解．
【详解】
两边平方得：（x+1）2=2x+5，即x 2=4，
开方得：x=2或x=-2，
经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=2．
故答案为x=2
5．2=的解是__________．
【答案】x=7
【解析】
【分析】
将方程两边平方后求解，注意检验．
【详解】
将方程两边平方得x-3=4，
移项得：x=7，
-=2，原方程成立，
代入原方程得73
x-＝2的解是x=7．
故方程3
故本题答案为：x=7．
【点睛】
在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程检验．
6．如果关于x的无理方程x21k0
+-+=没有实数根，那么k的取值范围是
___________________．
k>
【答案】1
【解析】
【分析】
x+=1+k没有实数根，可知1-k＜0，从而可以求得k的取值范根据关于x的无理方程2
围．
【详解】
x+=1-k没有实数根，
∵关于x的无理方程2
∴1-k＜0，
解得，k>1，
故答案为：k>1．
【点睛】
本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解答方法，无实数根应满足什么条件．7．方程=0的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
将原方程两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再由二次根式有意义的条件可确定x的最终结果．
【详解】
解：将原方程两边平方得（x−5）（x−4）＝0，
则x−5＝0或x−4＝0，
解得：x＝5或x＝4，
∵x−5≥0，
x−4≥0，
解得：x≥5，
∴x＝5，
故答案为：x＝5．
【点睛】
本题主要考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
8．方程21=1
x-的根是____．
【答案】x＝±2．
【解析】
【分析】
二次根式的值为非负数，被开方数也为非负数．
【详解】
211
Q
x-=
211
∴-=
x
22
∴=
x
∴=±经检验x＝±2是原方程的根，
x
2
∴x＝±2．
故答案为x＝±2．
【点睛】
此题考查了二次根式有意义的条件，要明确，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9．方程6
+=的根为．
x x
【答案】x=3
【解析】
两边平方得x+6=x2,解一元二次方程得x1=3,x2=-2(舍去)，所以方程的根为
10．2693
-+-的解是___________。

x x x
【答案】x≤3
【解析】
【分析】
由根式的性质可知方程左边必大于零，再根据无理方程左边等于右边，所以可得30x -≥求解即可.
【详解】
因为左边=3x -，右边=3-x,所以30x -≥，所以3x ≤.
【点睛】
本题考查了根式的性质及无理方程的化简求解.
11．0=的解是_____________.
【答案】x=2
【解析】
【分析】
根据题意可得x=2或x=1，然后根据二次根式的性质舍去x=1.
【详解】
0=，
∴x ﹣2=0或x ﹣1=0，
解得x=2或x=1，
当x=1时，x ﹣2=1﹣2=﹣1＜0，舍去，
则原方程的解为x=2.
故答案为：x=2.
【点睛】
本题主要考查解方程，二次根式的性质，解此题的关键在于求出的方程的解要使二次根式有意义.
12．2=的根是__________．
【答案】4．
【解析】
【分析】
把无理方程转化为整式方程即可解决问题．
【详解】
两边平方得到：2x ﹣4=4，解得：x =4，经检验：x =4是原方程的解．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须检验．
13．2x =+的增根是_________________．
【答案】4x =-
【解析】
【分析】
两边平方，把无理方程化为2227(2)x x x +=+，解得14x =-，21x =，然后进行检验确定原方程的解，从而得到原方程的增根．
【详解】
解：Q 2x =+，
2227(2)x x x ∴+=+，
整理得2340x x +-=，解得14x =-，21x =，
检验：当4x =-时，左边2==，右边422=-+=-，左边≠右边，则4x =-为原方程的增根；
当1x =时，左边3，右边123=+=，左边=右边，则1x =为原方程的根，
所以原方程的解为1x =．
故答案为：4x =-．
【点睛】
本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
14．x =-的解是_____．
【答案】x ＝﹣1．
【解析】
【分析】
把方程两边平方后求解，注意检验．
【详解】
把方程两边平方得x +2＝x 2，
整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，
解得：x ＝2或﹣1，
经检验，x ＝﹣1是原方程的解．
故本题答案为：x ＝﹣1．
【点睛】
本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
15．x =-的根是 ．
【答案】1x =-
【解析】
【分析】
将方程左右两边平方，将方程化为关于x 的一元二次方程，求出方程的解得到x 的值，将x 的值代入原方程检验，即可得到原方程的解．
【详解】
左右两边平方得：2x+3=x 2，即x 2-2x-3=0，
因式分解得：（x-3）（x+1）=0，
解得：x=3或x=-1，
将x=3代入方程检验，不合题意，
则原方程的解为x=-1．
故答案为x=-1
16．如果点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，那么a=_____________．
【答案】4±
【解析】
【分析】
根据两点之间的距离公式，列出无理方程，求解即可．
【详解】
解：因为点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，
4=，
即2
4(4)16a +-=， 2(4)12a -=，
4a -=±，
4a =±
故答案为：4±
【点睛】
本题考查两点之间的距离公式，解无理方程，解一元二次方程．能利用两点之间的距离公式列出无理方程是解决此题的关键．
17．若方程4m =无实数根，则m 的取值范围是_________． 【答案】m>4
【解析】
【分析】
4m =-，由非负数的算术平方根不是负数求得答案．
【详解】
解：因为：4m =
4m =-，
因为原方程无实根，所以：4m -＜0
解得：m ＞4．
故答案为：m ＞4．
【点睛】
本题考查无理方程的实数根的情况，掌握算数平方根不是非负数的性质是解题的关键．
18．关于x 1k =+无实数根，则k 的取值范围是___________．
【答案】k ＜-1
【解析】
【分析】
根据二次根式的非负性即可知，当10+<k 时，方程无实数根．
【详解】
解：若关于x 1k =+无实数根，则10+<k ，
∴k ＜-1,
故答案为：k ＜-1
【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是熟知二次根式的非负性得到当10+<k 时，方程无实数根．
19．3x m =
+有一个根是x=3，那么m=__________________． 【答案】2
【解析】
【分析】
3x m =
+有一个根是x=3,代入后即可求解关于m 的无理方程. 【详解】
3
x m =
+有一个根是x=3，
1m =+，
两边平方得：15-3m=1+2m+m²,
解得：m=-7或2，
当m=-7时，1+m=-6<0,不合题意，舍去，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是熟练掌握用平方法解无理方程.
20．＝3的解是_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
移项到右边，再两边同时平方
＝1，再两边进行平方，得x＝1，从而得解.
【详解】
3，
两边平方得，x+3＝9+x﹣，
移项合并得，＝6，
1，
两边平方得，x＝1，
经检验：x＝1是原方程的解，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了学生对开方与平方互为逆运算的理解，利用转化的思想把二次根式方程化为一元一次方程是解题的关键.。