高三数学精选数列多选题达标综合模拟测评检测

高三数学精选数列多选题达标综合模拟测评检测
一、数列多选题
1．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第(
)*
n n ∈N
次得到数列1，
123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++
++，数列{}n a 的前n 项为n S ，
则（ ） A ．12n k += B ．133n n a a +=- C ．()2
332
n a n n =
+
D ．()1
33234
n n S n +=
+- 【答案】ABD 【分析】
根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】
由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k = 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k = 第n 次得到数列1，123,
,,,k x x x x ，2 此时21n k =-
所以12n k +=，故A 项正确；
结合A 项中列出的数列可得： 12
3433339339273392781
a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩
123333(*)n n a n N ⇒=+++
+∈
用等比数列求和可得(
)33132
n n a -=+
则 (
)12
1
331
3
3332
2
n n n a
+++--=+
=+2
3
3
22
n +=+ 又 (
)331
333339
2n n a ⎡⎤
-⎢⎥-=+
-=⎢⎥⎣
⎦
22393332222
n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确；
由B 项分析可知(
)()
3313
3312
2
n n
n a -=+=+
即()
2
332
n a n n ≠
+，故C 项错误. 123n n S a a a a =++++
23
1
333322
22n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()
23133132
2
n
n --=
+ 2339424n n +=+-()
133234n n +=+-，故D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.
2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若831a =，10210S =，则（ ） A ．19919S a = B ．数列{}22n
a 是公比为8的等比数列
C ．若()1n
n
n
b a =-⋅，则数列{}n b 的前2020项和为4040
D ．若11n n n b a a +=
，则数列{}n b 的前2020项和为2020
24249
【答案】CD 【分析】
由等差数列性质可判断A ；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及22n a ，结合等比数列的定义可判断B ；写出n b ，由定义写出2020T 的表达式，进行分组求和即可判断C ；11144143n b n n ⎛⎫
=- ⎪-+⎝⎭
，裂项相消即可求和.
【详解】
由等差数列的性质可知，191019S a =，故A 错误；设{}n a 的公差为d ，则有
81101731
1045210
a a d S a d =+=⎧⎨
=+=⎩，解得13a =，4d =，故41n a n =-，28122n
a n -=， 则数列{}22
n
a 是公比为82的等比数列，故B 错误；若()
()()1141n
n
n
n b a n =-⋅=-⋅-，
则{}n b 的前2020项20203711158079410104040T =-+-+-⋅⋅⋅+=⨯=，故C 正确；
若()()1
111414344143n b n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，则{}n b 的前2020项和
2020111111120204377118079808324249T ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=
⎪⎝⎭，故D 正确． 故选:CD ． 【点睛】 方法点睛:
求数列的前n 项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列±等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列⨯等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.
3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ） A ．若2
1,n S n =-则{}n a 是等差数列
B ．若21,n
n S =-则{}n a 是等比数列
C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =
D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则2
21212n n n S S S -+⋅>
【答案】BC 【分析】
由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与2
2S 大小即可判断D. 【详解】
对于A 选项，若2
1n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A
错误；
对于B 选项，若21n
n S =-，则111
2,2
1,1n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足
12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；
对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()
199995099992
a a S a +=
=，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，(
)()2
2
2
2
22132111110S S S a q q
a q a q ⋅-=++-+=-<，故当
1n =时不等式不等式，故2
21212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.
故选：BC 【点睛】
本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，
13S S ⋅与2
2
S 大小情况.此外还需注意一下公式：11
,2
,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数
列，则()2121n n S n a -=-.
4．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是
012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为
n S ，则（ ）
A ．6016a =
B ．18128S =
C ．2
1
2
2k k k a -+=
D ．2
2
21k
k k
S k +=-- 【答案】AC 【分析】
对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()
12
k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C
由C 得到9
552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得
22
k k
S +，即前k 组数之和
18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由2
1
2
22k k k
S k ++=--结论计算即可. 【详解】
A.由题可将数列分组
第一组：02 第二组：012,2, 第三组：012
2,2,2, 则前k 组一共有12++…()
12
k k k ++=个数 第k 组第k 个数即1
2k -，故2
1
2
2k k k a -+=，C 对
又
()10101552+=，故9
552a = 又
()
11111662
+=， 60a 则为第11组第5个数
第11组有数：0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故4
60216a ==，A 对
对于D. 每一组的和为0
1
22++ (1)
212
2121
k k k --+==--
故前k 组之和为1
2
22++…()122122221
k k k k k k +-+-=
-=---
212
22k k k S k ++=--
故D 错. 对于B.
由D 可知，6
15252S =--
()551152
+=，()
661212+=
01261815222252764S S =+++=--+=
故B 错 故选：AC 【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ） A ．512a = B ．公差3d = C ．()261n S n n =+ D ．数列11n n a a +⎧
⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为
64n
n + 【答案】BCD 【分析】
根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、
C ，
再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】
因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，
对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；
对于选项C ：()()
2222132612
n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：
()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
，
所以前n 项和为1111111
1132558811
3132n n ⎛⎫
-+-+-++
-
⎪-+⎝⎭
()611132322324
n n n n n ⎛⎫=-== ⎪
++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
6．某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．17
5
n n a a t +=
- C ．1n n a a +> D ．当400t =时，33800a >
【答案】BC 【分析】
先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】
第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-， 第二年底剩余资金211712
(140%)392055
a a t a t t =⨯+-=
-=-，故A 错误；
第三年底剩余资金3227109(140%)5488525
t a a t a t =⨯+-=
-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17
(140%)5
n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确； 因为
212277777()()55555
n n n n a a t a t t a t t ---=
-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117
[1()]
75()(2800)7515
n n t t ---=---=
11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522
n t t --+， 所以
111722775277[()(2800)]()(2800)555522552
n n n n n n n t t t
a a a t a a t t --+-=
--=-=-+-=-，
因为800t <，所以7280002
t
->， 所以11277()(2800)0552
n n n t
a a -+-=
->，即1n n a a +>，故C 正确； 当400t =时，3109109400
54885488374438002525
t a ⨯=-=-=<，故D 错误； 故选：BC 【点睛】
解题的关键是根据123,,a a a ，总结出n a ，并利用求和公式，求得n a 的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题.
7．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有
21
1n n n n
a a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等
差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0
C ．若32n
n a =-+，则数列{}n a 是等差比数列
D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【分析】
考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】
对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，21
1n n n n
a a a a +++--无意义，所以A 选项错误；
若等差比数列的公差比为0，21
2110,0n n n n n n
a a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所
以B 选项说法正确； 若32n
n a =-+，
21
13n n n n
a a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确；
若等比数列是等差比数列，则1
1,1n n q a a q -=≠，
()()
11211111111111n n n
n n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确.
故选：BCD 【点睛】
易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.
8．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，且11
2
n n n S a a +=⋅-，则（ ）
A ．12
d =
B ．11a =
C ．数列{}n a 中可以取出无穷多项构成等比数列
D ．设(1)n
n n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =
【答案】AC 【分析】
利用已知条件可得1121
2
n n n S a a +++=-与已知条件两式相减，结合{}n a 是等差数列，可求d
的值即可判断选项A ，令1n =即可求1a 的值，可判断选项B ，分别计算{}n a 的通项即可判断选项C ，分别讨论两种情况下2121
2
n n b b -+=，即可求2n T 可判断选项D. 【详解】 因为112n n n S a a +=-
，所以11212
n n n S a a +++=-， 两式相减，得()11212n n n n n a a a a da ++++=-=， 因为0d ≠，所以21d =，1
2
d =
，故选项 A 正确；
当1n =时，1111122a a a ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭，易解得11a =或112
a =-，故选项B 不正确；
由选项A 、B 可知，当112
a =-
，12d =时，()1111222n n
a n =-+-⨯=-，
{}n a 可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，
同理当()()11
11122
n a n n =+-⨯=+时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C 正确； 当()112n a n =
+时，()221212n n b a n ==+，()21211
2112
n n b a n n --=-=--+=-， 因为2122121
2
n n n n b b a a --+=-+=
， 所以()()()212342122
n n n n T b b b b b b -=++++++=
， 当12n n a =
-时，2212112n n b a n n ==⨯-=-，2121213
122
n n n b a n ---⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 所以22131
122
n n b b n n -+=-+
-=， 此时()()()22212223212
n n n n n n
T b b b b b b ---=++++++=
， 所以2n T n ≠，故选项D 不正确． 故选：AC. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
二、平面向量多选题
9．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）
A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上
B ．123O
C OC OC ==
C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅
D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅
【答案】AC 【分析】
利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案； 【详解】
()
12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()2332
32C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1
2
23C C
C C =，A 正确.
由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.
21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()
2
1OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，
()2
2
22OC OB OA OB OB OA OB OB
⋅=+⋅=⋅+，
同理2
33OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 【点睛】
本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
10．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ） A ．-2 B ．
12
C ．1
D ．-1
【答案】ABD 【分析】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解 【详解】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-， 故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于
中档题.。