2019版高考数学文科一轮复习：10.4 直线与圆锥曲线的位置关系

1,
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=1
4k 2 2k
2
,x1x2=12k22k
4
2
.
所以|MN|= (x2 x1)2 ( y2 y1)2 = (1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
| 4 6k 2 1 2k 2
=
10 ,解得k=±1.
3
评析 解析几何问题的难度在于计算,本题总体看难度不大,从形式到条件的设计都是非常熟 悉的问题,学生易于解答.
4.(2013北京,19,14分)直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W: x2 +y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点. 4
(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;
| ON | | OB | a
又∵ | MF | OE
| |
= | MF | 2 | ON
|
,即 a
a
c
= a c
2a
c1
,∴a=3c,故e= a = 3 .
评析 本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了直线方程和中点坐标公式.
3.(2018课标全国Ⅰ,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点. (1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN.
(2)当△AMN的面积为 10 时,求k的值. 3
a 2,

解析
(1)由题意得

c a

2, 2
解得b= 2 .
所以椭圆C的方程为x a22 +y b22 =c12., 42
y k(x 1),
(2)由

x2
4

y2 2
得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
10
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点 直线与圆锥曲线的位置关系
1.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 3 的直线交C于点M(M在x轴的 上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为 ( )
A. 5
B.2 2
C.2 3
D.3 3
答案 C 本题考查直线与抛物线的位置关系,点到直线的距离.
x2 3y2 3,
设C(xC,yC).
所以xC+x1=
( x1
12 y12 2)2
3 y12
=
4 x12 4 x1
12 7
.
所以xC= 4x12 12 -x1= 12 7x1 .
4x1 7
4x1 7
所以yC= y1 (xC+2)= y1 .
2
a2 b2 c2,

解析
(1)由题意得

c a

6, 3
2c 2 2,
解得a= 3 ,b=1.
所以椭圆M的方程为 x2 +y2=1. 3
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
y x m,
由

x
2
3

y2
得4x2+6mx+3m2-3=0.
解法二:直线FM的倾斜角为60°,又|FM|=|MN|,所以△MNF为正三角形,于是直线NF与准线l成30
°角,从而|NF|= p =2p=4,则M到直线NF的距离为△MNF的边NF上的高,d= 3 |NF|=2 3 .
sin 30
2
方2法0总19结/8/1涉1及抛物线的焦点和你准是线时我,今应你充生是分最我利美用的的抛缘相物线遇的遇定上义.
的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2). (1)求椭圆G的方程; (2)求△PAB的面积.
解析
(1)由已知得c=2 2
, c = 6
a3
.
解得a=2 3 .
又b2=a2-c2=4,
所以椭圆G的方程为 x2 + y2 =1. 12 4
2019/8/11
你是我今生最美的相遇遇上 你是我的缘
(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.
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8
解析 (1)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.
所以可设A t, 12

,代入椭圆方程得 t2 + 1 =1,即t=± 3
44
.
所以|AC|=2 3 .
3
2
3
4
答案 A 解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k= ay0 c ,从而直线AM的方程为
y= y0
a
c
(x+a),令x=0,得点E的纵坐标yE= aay0c
.
同理,OE的中点N的纵坐标yN= aay0c .
因为2yN=yE,所以 a 2
c
= 1
a
c
,即2a-2c=a+c,所以e= c = 1 .故选A.
x1 2
4x1 7
设D(xD,yD).同理得xD= 12 7x2 ,yD= y2 .
4x2 7
4x2 7
记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,
y1 1
y2 1
则kCQ-kDQ= 4x1 7 4 - 4x2 7 4 =4(y1-y2-x1+x2).
将x1= y1 +2,x2= y2 +2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得
由题意得 x12 +3 y12 =3, x22 +3 y22 =3.
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你是我今生最美的相遇遇上 你是我的缘
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直线PA的方程为y= y1 (x+2). x1 2
由

y

y1 x1
(x 2
2),
得[(x1+2)2+3 y12 ]x2+12 y12 x+12 y12 -3(x1+2)2=0.
2
1 4k2 2
2
1 4k 2
所以AC的中点为M


1
4km 4k
2
,m 1 4k
2

.
因为M为AC和OB的交点,且m≠0,k≠0,所以直线OB的斜率为- 1 .
4k
因2为0k1· 9/841k/11≠-1,所以AC与OB不你垂是直我. 今你生是最我美的的缘相遇遇上
12 7x1 7 12 7x2 7
4x1 7 4 4x2 7 4
因2为0C1,9D/,8Q/三11点共线,所以kCQ-kDQ=你0.故是y我1-y今2=你x生1-是x2最.所我美以的的直缘线相l遇的斜遇率上k=yx 11 xy22 =1.
4
2.(2011北京,19,14分)已知椭圆G: ax22 + by22 =1(a>b>0)的离心率为 36 ,右焦点为(2 2 ,0).斜率为1
则A、C两点的横坐标相等或互为相反数,从而得到点B是椭圆W的顶点,与题设矛盾,故得证.
评析 本题考查了直线与椭圆相交问题、反证法.问题(1)的解决体现了“重在解析,巧在几
何”的方法,问题(2)的解决体现了“正难则反”的原则,同时考查了运算能力,具有一定的难度.
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你是我今生最美的相遇遇上 你是我的缘
高考文数 (北京市专用)
§10.4 直线与圆锥曲线的位置关系
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五年高考
A组 自主命题·北京卷题组
考点 直线与圆锥曲线的位置关系
1.(2018北京,20,14分)已知椭圆M:x 2 +y 2 =1(a>b>0)的离心率为 6
a2 b2
3
,焦距为2 2
11
2.(2016课标Ⅲ,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: ax22 + by22 =1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的
左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线
BM经过OE的中点,则C的离心率为 ( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
(2)证法一:假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W的顶点,且AC⊥OB,所以k≠0.
由

x2

4y2

4, 消y并整理得
y kx m
(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
设A(x1,y1),C(x2,y2),则
x1 x2 =- 4km , y1 y2 =k· x1 x2 +m= m .
a3
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解法二:如图,设OE的中点为N,由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a,
∵PF∥y轴,∴ | MF | = | AF | = a c , | OE | | AO | a
| MF | = | BF | = a c ,
1
所以x1+x2=- 3m ,x1x2= 3m2 3 .
2
4
|AB|= (x2 x1)2 ( y2 y1)2 = 2(x2 x1)2 = 2[(x1 x2 )2 4x1x2 ] =
12 3m2 .
2
当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为 6 .
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2).
9所以四边形OABC不是来自形,与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.
证法二(反证法):假设四边形OABC为菱形,则有OA=OC.
设OA=OC=r,则A、C为圆x2+y2=r2与椭圆W: x2 +y2=1的交点. 4
故 3x2 =r2-1,即x2= 4 (r2-1).
4
3
2
2
所2以0△19P/A8B/1的1面积S= 12 |AB|·d= 92 .你是我今你生是最我美的的缘相遇遇上
6
3.(2012北京,19,14分)已知椭圆C: ax22 + by22 =1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为 22 .直线y=k
(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N. (1)求椭圆C的方程;
=2
(1 k 2 )(4 6k 2 ) 1 2k 2
.
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d= | k | ,
你是我今1生k2 最美的相遇遇上
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所以△AMN的面积S= 1 |MN|·d=| k | 4 6k 2 .
2
1 2k 2
由 | k
由

y y
k(x 2 2x

2),
得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2= 2 ,y1y2=-4.
k
直线BM,BN的斜率之和为
kBM+kBN= y1 + y2 = x2 y1 x1 y2 2( y1 y2 ) .①
x1 2 x2 2
(x1 2)(x2 2)
5
(2)设直线l的方程为y=x+m.
y x m,

由 x2
12

y2 4
1
得4x2+6mx+3m2-12=0. ①
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB的中点为E(x0,y0),则x0= x1 2 x2 =- 34m ,y0=x0+m= m4 .
解法一:由题知MF:y= 3 (x-1),与抛物线y2=4x联立得3x2-10x+3=0,解得x1= 13 ,x2=3,所以M(3,2 3 ),
因为MN⊥l,所以N(-1,2 3 ),又因为F(1,0),所以NF:y=- 3 (x-1).所以M到直线NF的距离为
| 3 (3 1) 2 3 | =2 3 . ( 3)2 12
.斜率为k的直线
l与椭圆M有两个不同的交点A,B.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若k=1,求|AB|的最大值;
(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和
点Q 74 ,
1 4

共线,求k.
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解析 (1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).
所以直线BM的方程为y= 1 x+1或y=- 1 x-1.
2
2
(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.
当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.
因为AB是等腰△PAB的底边,所以PE⊥AB.
2 m
所以PE的斜率k=
3
4 3m
=-1.解得m=2.
4
此时方程①为4x2+12x=0.
解得x1=-3,x2=0.
所以y1=-1,y2=2.
所以|AB|=3 2 .
此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d= | 3 2 2 | = 3 2 ,