人教版中考数学压轴题综合模拟测评学能测试试卷

一、中考数学压轴题
1．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．
（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；
（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；
（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．
2．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点M 、N 在x 轴和y 轴上所对应的数分别叫做P 点的x 坐标和y 坐标，有序实数对（x ，y ）称为点P 的斜坐标，记为P （x ，y ）
（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC 中的一边OA 在x 轴上，BC 与y 轴交于点D ， OA ＝2，OC ＝1．
①点A 、B 、C 在此斜坐标系内的坐标分别为A ，B ，C ．
②设点P （x ，y ）在经过O 、B 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． ③设点Q （x ，y ）在经过A 、D 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． （2）若ω＝120°，O 为坐标原点．
①如图3，圆M 与y 轴相切原点O ，被x 轴截得的弦长OA ＝23，求圆M 的半径及圆心M 的斜坐标．
②如图4，圆M 的圆心斜坐标为M （23，23），若圆上恰有两个点到y 轴的距离为1，则圆M 的半径r 的取值范围是 ．
3．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．
（3）如图3，点M 的坐标为（32
，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．
4．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=5，cos 45B =
，点O 是边BC 上的动点，以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作
∠CMN=∠BAM ，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N ．
（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长；
（2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长；
（3）将O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求O 的半径长．
5．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
（概念感知）
（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．
（问题探究）
（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC
的值．
（拓展提升） （3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．10AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．
①当30α=︒时，则CD =_________；
②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求
AD CD 的值．
6．如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，E 是BC 边的中点，点P 在线段AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ，设PA =x ．
（1）求证：△PFA ∽△ABE ；
（2）当点P 在线段AD 上运动时，是否存在实数x ，使得以点P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；
（3）探究：当以D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点时，请直接写出DP 满足的条件： ．
7．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，第一颗弹珠弹出后其速度1
y （米/分钟）与时间x （分钟）前2分钟满足二次函数21y ax ，后3分钟满足反比例函数
关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分钟．
（1）求第一颗弹珠的速度1y （米/分钟）与时间x （分钟）之间的函数关系式；
（2）第一颗弹珠弹出1分钟后，弹出第二颗弹珠，第二颗弹珠的运行情况与第一颗相同，直接写出第二颗弹珠的速度2y （米/分钟）与弹出第一颗弹珠后的时间x （分钟）之间的函数关系式；
（3）当两颗弹珠同时在轨道上时，第____分钟末两颗弹珠的速度相差最大，最大相差______；
（4）判断当两颗弹珠同时在轨道上时，是否存在某时刻速度相同？请说明理由，并指出可以通过解哪个方程求出这一时刻．
8．（1）阅读理解：
如图①，在ABC 中，若8AB =，5AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 可以用如下方法：将ACD 绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；
（2）问题解决：
如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，CB CD =，100BCD ∠=︒，以C 为顶点作一个50︒的角，角的两边分别交AB 、AD 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并说明理由．
9．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．
（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；
（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若12,(33)2
ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．
10．问题提出
（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．
11．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系
(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．
①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；
(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；
(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．
12．如图，已知抛物线()2
y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；
（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线2
(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点，与y 轴交于点B ．
()1求这条抛物线的顶点坐标；
()2已知AD AB =(点D 在线段AC 上)，有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动：同时另一个点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过()t s 的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；
()3在()2的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ MC +的值最小?若存在，请求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．
14．新定义，若关于x ，y 的二元一次方程组①111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是00x x y y =⎧⎨=⎩
，关于x ，y 的二元一次方程组②111222e x f y d e x f y d +=⎧⎨+=⎩的解是11
x x y y =⎧⎨=⎩，且满足1
000.1x x x -≤，100
0.1y y y -≤，则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于x ，y 的二元一次方程组222104x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩的解是方程组10310
x y x y +=⎧⎨+=-⎩的模糊解，则m 的取值范围是________． 15．如图，直线y ＝﹣x+4与抛物线y ＝﹣
12
x 2+bx+c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；
（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
16．在平面直角坐标系中，直线4(0)3
y x b b =-+>交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，10AB =．
（1）如图1，求b 的值；
（2）如图2，经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ，与x 轴交于点R ，//CD OA ，交AB 于点D ，设线段CD 长为d ，求d 与n 的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 在第四象限，CF 交OA 于点E ，45AEF ∠=︒,点P 在第一象限，PH OA ⊥，点N 在x 轴上，点M 在PH 上，MN 交PE 于点G ，PH EN =，过点E 作EQ CF ⊥，交PH 于点Q ， 32==EQ EF PM ，
∠=∠OBR HNM ，BC CR =，点G 的坐标为1927,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
，连接FN ，求EFN 的面积．
17．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．
（1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；
（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；
（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．
18．在菱形ABCD 中，P 为直线DA 上的点，Q 为直线CD 上的点，分别连接PC ，PQ ，且PC PQ =．
（1）若60B ∠=︒，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图①，易证：DQ PD AB +=（不需证明）；
（2）如图②，若∠B ＝120°，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图③，猜想线段DQ ，PD 和AB 之间有怎样的数量关系？请直接写出对图②，图③的猜想，并选择其中一种情况给予证明．
19．如图，抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点
C ，且OB OC =，()2,0A -．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围） （3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=︒，连接OF 、CP 、PB ，FOB ∆的面积为3600169
，求PBC ∆的面积． 20．如图，平面直角坐标系中，抛物线228y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点（点B 在
点C 右侧），与y 轴交于点A ，连接AB ，5AB =
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 在第二象限的抛物线上，连接PB 交y 轴于D ，取PB 的中点E ，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，连接DH ，设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，作PF y ⊥轴于F ，连接CP 、CD ，CP CD =，点S 为PF 上一点，连接BS 交y 轴于点T ，连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=︒，在射线CS 上取点Q.连接QF ，QF RF =，求直线TQ 的解析式．
21．如图，四边形AOBC 是正方形，点C 的坐标是(82,0)．
（1）正方形AOBC 的边长为 ，点A 的坐标是 ；
（2）将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45︒，点A ，B ，C 旋转后的对应点为A '，B '，C '，求点A '的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；
（3）动点P 从点O 出发，沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q 从点O 出发，沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ △为等腰三角形时，求出t 的值（直接写出结果即可）．
22．如图1，以AB 为直径作⊙O ，点C 是直径AB 上方半圆上的一点，连结AC ，BC ，过点C 作∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E ．
（1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC．
（2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值．
（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，①求y关于x的函数解析式；
②若CB
BE
＝
4
5
，求y的值．
23．如图1，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足AD2+BE2＝DE2，则称DE为R△ABC的“完美分割线”．显然，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC的一条完美分割线．
（1）如图1，AB＝10，cos A＝4
5
，AD＝3，若DE为完美分割线，则BE的长是．
（2）如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得DP＝DA，过点P 画PE⊥PD交BC于点E，连结DE，求证：DE是直角△ABC的完美分割线．
（3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割线，点P是斜边AB的中点，连结PD、PE，求cos∠PDE的值．
24．在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一点，点M在CB的延长线上，且
PC PM
=，连接PA．
()1如图①，求证：PA PM
=；
()2如图②，连接,AM PM 与AB 交于点,120O ADC ︒∠=求证 =PC AM ；
()3连接AM ，当 90ADC ︒∠=时，PC 与AM 的数量关系是
25．问题背景：如图（1），ABC 内接于O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．
问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C =，9DEP S =，求sin APB ∠的最大值．
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一、中考数学压轴题
1．A
解析：（1）证明见解析；（2）67FM =
；（3）kBC DF kBE =+． 【解析】
【分析】
（1）连接AC ，根据题意判定平行四边形ABCD 为菱形，△ABC 为等边三角形，然后利用AAS 定理判定△BCE ≌△ACF ，从而得出BE=AF ，使问题得解；
（2）连接AC ，过点M 作MN ⊥CF ，由含30°直角三角形的性质求得122
BE BC ==，323CE CF BE ===CN=x ，则3MN x =，然后利用平行判定
△FMN ∽△FBC ，根据相似三角形的性质求得126355
MN FN =
=，，然后利用勾股定理求解即可；
（3）连接AC ，过点A 作AK ⊥BC ，在DA 上截取DH=CD ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定△HCD 是等边三角形，然后根据AA 定理判定△BCE ∽△FCH ，根据相似三角形的性质求得HF CM CD AB k BE BC BC BC
====，即HF=kBE ，从而使问题得解． 【详解】
解：（1）连接AC
因为在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，AB BC =
∴平行四边形ABCD 为菱形，△ABC 为等边三角形
∴AC=BC ，∠B=∠BAC=∠DAC=∠ACB=60°，
又∵60ECF ∠=︒ ∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠ACF
∴∠BCE=∠ACF
∴△BCE ≌△ACF
∴BE=AF
∴AB=AE+BE=AE AF BC +=
（2）连接AC ，过点M 作MN ⊥CF
由（1）已证，△ABC 为等边三角形，△BCE ≌△ACF
∵E 为AB 的中点
∴CE ⊥AB
∴在Rt △BCE 中，∠BCE=30° ∴122
BE BC =
=，323CE CF BE ===由题意60ECF ∠=︒，∴∠BCF=90°
在Rt △AMCN 中，∠CMN=30° 设CN=x ，则3MN x =
∵MN ⊥CF
∴MN ∥BC
∴△FMN ∽△FBC
∴MN FN BC FC =，323423
x =
解得：435x = ∴126355
MN FN ==， 在Rt △FMN 中，22126367()()555
FM =+=
（3）由题意可知，在平行四边形ABCD 中，∠B=∠D=60°，AB CD kBC ==
连接AC ，过点A 作AK ⊥BC ，在DA 上截取DH=CD
∵DH=CD ，∠B=∠D=60°
∴△HCD 是等边三角形
∴∠HCD=60°
又∵∠ECF=60°
∴∠BCE+∠ECH=∠FCH+∠ECH
∴∠BCE =∠FCH
∴△BCE ∽△FCH
∴HF CM CD AB k BE BC BC BC
====，即HF=kBE ∴CD=DF+HF=DF+ kBE
又∵AB CD kBC ==
∴kBC DF kBE =+
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，有一定综合性，正确添加辅助线是解题关键．
2．B
解析：（1）①（2，0），（12），（﹣12y 2x ；③y ＝﹣
2x 2；
（2）①半径为2，M（4323
,
33
）；②2＜r＜4
【解析】
【分析】
（1）①如图2−1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题；
②如图2−2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
③如图3−3中，作QM∥OA交OD于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．解直角三角形即可解决问题；
②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN＝NE＝1时，⊙M的半径即可解决问题；
【详解】
解：（1）①如图2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．
由题意OC＝CD＝1，OA＝BC＝2，
∴BD＝OE＝1，OD＝CF＝BE＝2，
∴A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)，
故答案为：A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)．
②如图2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．
∵OD∥BE，OD∥PM，
∴BE∥PM，
∴BE OE PM OM
=，
∴21
y x
=，
∴y2x．
故答案为：y
＝2x ． ③如图2﹣3中，作QM ∥
OA 交OD 于M ．
222
MQ DM OA DO
x y ∴=-∴= ∴222
y x =-+ 故答案为：y ＝﹣
22x +2． （2）①如图3中，作MF ⊥OA 于F ，作MN ∥y 轴交OA 于N ．
∵ω＝120°，OM ⊥y 轴，
∴∠MOA ＝30°，
∵MF ⊥OA ，OA ＝3
∴OF ＝FA 3
∴FM ＝1，OM ＝2FM ＝2，
∴圆M 的半径为2
∵MN ∥y 轴，
∴MN ⊥OM ，
∴MN 233
ON ＝2MN 433， ∴M 4323,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
． ②如图4中，连接OM ，作MK ∥x 轴交y 轴于K ，作MN ⊥OK 于N 交⊙M 于E 、F ．
∵MK ∥x 轴，ω＝120°，
∴∠MKO ＝60°，
∵MK ＝OK ＝3
∴△MKO 是等边三角形，
∴MN ＝3，
当FN ＝1时，MF ＝3﹣1=2，
当EN ＝1时，ME ＝3+1=4，
观察图象可知当⊙M 的半径r 的取值范围为2＜r ＜4．
故答案为：2＜r ＜4．
【点睛】
本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面斜坐标系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．
3．E
解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）E （2，3）或（1，4）；（3）P 点横坐标为11201-【解析】
【分析】
(1) 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，由抛物线过点B,（3，0），即可求出a 的值，即可求得解析式； （2）过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为
()2,23x x
x -++，求出A 、D 点的坐标，得到OM=x ，则AM=x+1，由AF=2EF 得到22(1)33x AN AM +==，从而推出点F 的坐标21210(,)3333x x --+，由23FN EM =，列出关于x 的方程求解即可；
（3）先根据待定系数法求出直线DM 的解析式为y=-2x+3，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.证明△FGP ≌△FHQ ，得到FG=FH ，PT=45
GH.设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），则PT=m²-4m ，GH=1-
m ， 可得m²
-4m=45
（1-m ），解方程即可. 【详解】 （1）∵抛物线的顶点为C （1，4），
∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，
∵抛物线过点B,（3，0），
∴20(31)4a =-+，
解得a=-1，
∴设抛物线的解析式为2(1)4y x =--+， 即2y x 2x 3=-++；
（2）如图，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x x x -++，
∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，
当y=0时，2023x x =-++，
解得x=-1或x=3，
∴A （-1.0），
∴点D （0,3），
∴过点BD 的直线解析式为3y x =-+，点F 在直线BD 上，
则OM=x ，AM=x+1，
∴22(1)33
x AN AM +==， ∴2(1)2111333x x ON AN +=-=
-=-， ∴21210(,)3333
x x F --+， ∴2210332233
FN EM x x x +-
-++==， 解得x=1或x=2， ∴点E 的坐标为（2，3）或（1，4）；
（3）设直线DM的解析式为y=kx+b，过点D（0,3），M（3 2
，0），
可得，
3
2
3
k b
b
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
解得k=-2，b=3，
∴直线DM的解析式为y=-2x+3，
∴
3
2
OM=，3
OD=，
∴tan∠DMO=2，
如图，过点P作PT∥y轴交直线DM于点T，过点F作直线GH⊥y轴交PT于点G，交直线CE于点H.
∵PQ⊥MT，
∴∠TFG=∠TPF，
∴TG=2GF，GF=2PG，
∴PT=
2
5
GF，
∵PF=QF，
∴△FGP≌△FHQ，
∴FG=FH，
∴PT=
4
5
GH.
设点P（m，-m²+2m+3），则T（m，-2m+3），
∴PT=m²-4m，GH=1-m，
∴m²-4m=
4
5
（1-m），
解得：
1
11201
m
-
=
2
11201
m
+
=（不合题意，舍去），
∴点P
11201
-
【点睛】
本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用数形结合的思想解决问题，有一定难度.
4．D
解析：（1）DF 的长为158；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258． 【解析】
【分析】
（1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用cos 45
B =解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可； （2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF
=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF
=⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．
（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45
B =解三角函数即可得出答案． 【详解】
（1）如图，作EH BM ⊥于H ：
∵E 为AB 中点，45,cos 5
AB AD DC B ==== ∴52
AE BE ==
∴cos 45
BH B BE == ∴2BH = ∴2
253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
设半径为r ，在Rt OEH ∆中：
()2
22322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得：2516
r =
∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠
又∵CMN BAM ∠=∠
∴CMN OBE ∠=∠
∴//MF AB
∴四边形BMFA 是平行四边形
∴2528AF BM r === ∴2515588FD AD AF =-=-
= （2）如图：连接MD AN ，
∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠
∴AMB CNM ∠=∠
又∵AMB MAD ∠=∠
∴MAD CNM ∠=∠
又∵AFM NFD ∠=∠
∴AFM NFD ∆~∆
∴
AF MF AF DF NF MF NF DF
=⇒=① 又∵//MD AN ∴AFN DFM ∆~∆
∴
AF NF AF MF NF DF DF MF
=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=
∴NF DF =
∴5MN AD ==
故MN 的长为5；
（3）作如图：
∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切
设圆N 半径为R ，圆O 半径为r
∴'=NO R r NO -=
∴N 在'OO 的中垂线上
∴MN 垂直平分'OO
∴90NMC ∠=︒
∵90BAM CMN ∠=∠=︒
∴A 点在圆上 ∴54cos 5
AB B BM BM =
== 解得：254BM = O 的半径长为
258
【点睛】 本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．
5．A
解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）32910
AB BC =；（3）①125615355
AD CD =． 【解析】
【分析】 （1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到
61035
AD BC ==，即可得到结论； （2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股
定理求出AB 的长度，根据比值即可求出AB BC 的值； （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到3CF DF =
，则(23)35AC x =+=，即可求出DF 的长度，然后得到CD 的长度；
②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AF AE EC
=，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案．
【详解】 解：（1）ABC 是“准黄金”三角形．
理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，
∵12AC =，30ACB ∠=︒，
∴162AD AC ==．
∴:6:103:5AD BC ==．
∴ABC 是“准黄金”三角形．
（2）∵点A ，D 关于BC 对称，
∴BE AD ⊥，AE ED =．
∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，
∴:3:5AE BC =．
不防设3AE k =，5BC k =，
∵点C 为ABD △的重心，
∴:2:1BC CE =．
∴52k
CE =，152k
BE =．
∴2
215329
(3)22k AB k k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．
∴329
329
:5210AB
k k BC ==．
（3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：
由题意得AE=3， ∵35
AE BC =， ∴BC=5， ∵10AB BC =， ∴10AB ，
在Rt △ABE 中，由勾股定理得：
22(10)31BE =-=，
∴156EC =+=， ∴223635AC =+=
∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ，
∴△ACE ∽△DAF ， ∴312
6AE E D C F AF ===， 设DF x =，则2AF x =，
∵∠ACD=30°， ∴3CF x =
， ∴(23)35AC x == 解得：65315DF x == ∴2125615CD DF ==
②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =． ∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，
∴:3:5AE BC =．
∴5BC =． ∵105
AB BC =， ∴10AB
． ∴221BE AB AE =-=．
∴6CE BE BC =+=，2236
935AC CE AE =+=+=．
分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，
∴90B GC DFC '∠=∠=︒，3B G '=，5C B B C '==，则CG 4=．
∵GCB FCD α'∠=∠=，
∴AEC DFA ∽△△．
∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB ''==．
∴设3DF k =，4FC k =，5CD k =．
∵12l l //，
∴ACE CAD ∠=∠，且90AEC AFD ∠=∠=︒．
∴AEC DFA ∽△△．
∴
DF AF AE EC =． ∴335436
k k =，解得3510k =． ∴355CD k ==2222959595102AF DF AD ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=． ∴9
352355
AD CD === 【点睛】
本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．
6．D
解析：（1）见解析；（2）存在，满足条件的x 的值为6或
253；（3）DP =485
或10＜DP ≤12
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF=∠EAB 时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
（3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围,从而得出DP的范围．
【详解】
（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠ABE=90°，AD∥BC，
∴∠PAF=∠AEB，
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=90°=∠ABE，
∴△PFA∽△ABE．
（2）解：分二种情况：
①若△EFP∽△ABE，如图1，
则∠PEF=∠EAB，
∴PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA=EB=6，即x=6．
②如图2，若△PFE∽△ABE，
则∠PEF=∠AEB，
∵AD∥BC
∴∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE =PA ．
∵PF ⊥AE ，
∴点F 为AE 的中点，
Rt △ABE 中，AB =8，BE =6，
∴AE =22AB BE +=2286+=10，
∴EF =152
AE =， ∵△PFE ∽△ABE ，
∴
PE EF AE BE =， ∴5106
x =， ∴PE =253
， ∴满足条件的x 的值为6或253． （3）如图3，当⊙D 与AE 相切时，设切点为G ，连接DG ，
∵AP =x ，
∴PD ═DG =12﹣x ，
∵∠DAG =∠AEB ，∠AGD =∠B =90°，
∴△AGD ∽△EBA ，
∴
AD DG AE AB =， ∴1212108
x -=， ∴x =
125， ∴12481255
DP =-=， 当⊙D 过点E 时，如图4，⊙D 与线段有两个公共点，连接DE ，
此时PD =DE =10，
故答案为：DP =
485
或10＜DP ≤12． 【点睛】
本题考查动点问题，动点在不同地方时，得到的图形是不同的，解题关键是确定动点运动过程中，有几种对应的图形，然后再根据图形性质分析求解． 7．（1）212(02)16(25)x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩；（2）220(01)2(1)(13)16(36)1
x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤-⎩；（3）第2分钟末两颗
弹珠速度相差最大，最大相差6米/分钟；（4）存在，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）将（1，2）代入21y ax =，得2a =，从而得到212y x =，再代入2x =求出
18y =，即可得到反比例函数解析式，即可得解；
（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出，故第二颗弹珠的解析式为20y =；再分别根据（1）中的结论，即可求出当13x <≤和36x <≤时第二颗弹珠的解析式；
（3）由图可知看出，前2分钟，弹珠的速度逐渐增大，则第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，分别求出第2分钟末时两颗弹珠的速度，再相减即可的解；
（4）第2分钟末到第3分钟末，第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到513
米/分钟，第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分，故在此期间必定存在一时刻，两颗弹珠的速度相同．可以根据速度相等时列方程求得时刻．
【详解】
（1）当02x ≤≤时，将（1，2）代入21y ax =，得2a =，
212y x ∴=，
∵当2x =时，18y =，
∴当25x ≤≤时，116y x
=， 1y ∴与x 的函数关系式为212(02)16(25)x x y x x
⎧≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩；
（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出，
∴第二颗弹珠的解析式为20y =；
当13x <≤时，第二颗弹珠的解析式为222(1)y x =-；
当36x <≤时，第二颗弹珠的解析式为2161
y x =-； ∴2y 与x 的函数关系式为220(01)2(1)(13)16(36)1
x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤-⎩；
（3）由图可知看出，前2分钟，弹珠的速度逐渐增大，
∴第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，
∵第一颗弹珠的速度为2218222y x =⨯==米/分钟，
第二颗弹珠的速度为2122(1)212y x =⨯==-米/分钟，
∴两颗弹珠的速度最大相差8-2=6米/分钟；
（4）存在，理由如下：
第2分钟末到第3分钟末，第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到5
13米/分钟， 第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分，
故在此期间必定存在一时刻，两颗弹珠的速度相同． 这个时刻可以通过解方程
2162(1)x x
=-求得． 【点睛】
本题考查了反比例函数和二次函数的应用．解题的关键是从图中得到关键性的信息，明确自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标． 8．F
解析：（1）28AD <<；（2）见详解；（3）EF BE DF =+，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质可证明ADC EDB ≅，6,AC BE AD ED ===，在ABE △中根据三角形三边关系即可得出答案；
（2）延长FD 至M ，使DF=DM ，连接BM ，EM ，可得出CF BM =，根据垂直平分线的性质可得出EF EM =，利用三角形三边关系即可得出结论；
（3）延长AB 至N ，使BN=DF ，连接CN ，可得NBC D ∠=∠，证明NBC FDC ≅，得出,CN CF NCB FCD =∠=∠，利用角的和差关系可推出50ECN ECF ∠=︒=，再证明NCE FCE ≅，得出EN EF =，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵,,AD ED CD BD ADC BDE ==∠=∠
∴ADC EDB ≅
∴6,AC BE AD ED ===
在ABE △中根据三角形三边关系可得出：
AB BE AE AB BE -<<+，即4216AD <<
∴28AD <<
故答案为：28AD <<；
（2）延长FD 至M ，使DF=DM ，连接BM ，EM ，
同（1）可得出CF BM =，
∵,FD MD FD DE =⊥
∴EF EM =
在BEM △中，BE BM EM +>
∴BE CF EF +>；
（3）EF BE DF =+，理由如下：
延长AB 至N ，使BN=DF ，连接CN ，
∵180,180ABC D ABC NBC ∠+∠=︒∠+∠=︒
∴NBC D ∠=∠
∴NBC FDC ≅
∴,CF CN NCB FCD =∠=∠
∵100,50BCD FCE ∠=︒∠=︒
∴50ECN ECF ∠=︒=
∴NCE FCE ≅（SAS ）
∴EN EF =
∴EF EN BE BN BE DF ==+=+
∴EF BE DF =+．
【点睛】
本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
9．E
解析：（1）3EF EC =，见解析；（2）277BK a =；（3）①AGH 是等边三角形，见解析；②
1(62)4- 【解析】
【分析】
（1）连接EF ，AC ，由菱形的性质，可证Rt AEB Rt AFD ∆≅∆，然后得到AEF ∆为等边三角形，由解直角三角形得到3AE EC =，即可得到答案；
（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF 的长度，然后得到BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到AB BK FB BA
=，即可求出答案； （3）①由等边三角形的性质，先证明ABG ACH ≅，然后得到AG AH =，然后得到60BAH GAB GAH ︒∠+∠=∠=，即可得到答案；
②由三角形的面积公式得到31DH =+，然后得到AHF △为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案．
【详解】
解：（1）3EF EC =；
理由：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，
,60,//AB AD BC ABC ADC AD BC ︒∴==∠=∠=，
120BAD ︒∴∠=，
∵AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ，
90AEB AFD ︒∴∠=∠=
Rt AEB Rt AFD ∴∆≅∆，
,30AE AF BAE DAF ∴=∠=∠=︒，
60EAF ∴∠=︒，
AEF ∴∆为等边三角形，
EF AE ∴=.
连接AC ，1602BAC BAD ︒∴∠=∠= 30EAC ︒∴∠= 在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=
3AE EC ∴=，
3EF EC ∴=
（2）如图：
∵四边形ABCD 是菱形，60,ABC AB a ︒∠==， ACD ∴是等边三角形，//,,60AB CD AD CD a ADC ︒==∠=. AF CD ⊥，垂足为F ，
1,902CF DF a BAF AFD ︒∴==
∠=∠= 在Rt ADF 中，sin AF ADF AD ∠=
， 3AF ∴=
在Rt ABF 中，22BF AB AF =+
7BF ∴= AK BF ⊥，垂足为K ，
90AKB FAB ︒∴∠=∠=
ABK FBA ∠=∠
~Rt AKB Rt FAB ∴∆∆，
AB BK FB BA
∴=，
277
BK a ∴=， （3）如图：
①AGH 是等边三角形.
理由：连接AC . ,60AB BC ABC ︒=∠=，
ABC ∴为等边三角形，
,60AB AC ABC ACB ︒∴=∠=∠=，
120ABG ︒∴∠=.
//AB CD ，
60BCH ABC ︒∴∠=∠=，
120ACH ︒∴∠=
ABG ACH ∴∠=∠，
又BG CH =，
ABG ACH ∴≅，
,AG AH GAB HAC ∴=∠=∠.
60BAH HAC BAC ︒∠+∠=∠=，
60BAH GAB GAH ︒∴∠+∠=∠=，
AGH ∴为等边三角形；
②ADC 为等边三角形，
2,1AD DC AC CF DF ∴=====，
3AF ∴=.
1(33)2ADH S =， 113(33)22
DH ∴⨯=， 31DH ∴=
31CH DH CD ∴=-=，3HF DH DF =-=
AF HF ∴=，
AHF ∴为等腰直角三角形，
45AHF ︒∴∠=.
过点C 作CM AH ⊥，垂足为M .
在Rt CMH 中，sin CM CHM CH
∠=， 1
2
CM ∴=， 在Rt AMC 中，
sin CM MAC AC ∠=， 1
sin 4
MAC ∴∠=
. 又GAB HAC ∠=∠， 1
sin sin 4GAB HAC ∴∠=∠=
； 【点睛】
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，正确作出辅助线进行解题．
10．B
解析：（1）12；（2）3）
【解析】
【分析】
（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.
（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.
（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长.
【详解】
（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
135BAC ∠=，
180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，
BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，
BD AD ∴=，
在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，
222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，。