2018版高考数学复习计数原理概率随机变量及其分布课时跟踪检测68理新人教版

课时跟踪检测(六十八)
[高考基础题型得分练]
1．若离散型随机变量X 的分布列为
则X 的数学期望E (X )＝( A ．2 B ．2或1
2
C.1
2 D ．1
答案：C
解析：由分布列的性质，得a 2＋a 2
2＝1，∴a ＝1.
故E (X )＝12×0＋12×1＝1
2
.
2．已知离散型随机变量X 的分布列为
则X 的数学期望E (X )＝( A.3
2 B ．2 C.1
2 D ．3
答案：A
解析：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝3
2
.
3．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )
A ．0.4
B ．1.2
C ．0.43
D ．0.6
答案：B
解析：∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)， ∴E (X )＝3×0.4＝1.2.
4．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( )
A ．3×2－2
B ．2－4
C ．3×2
－10
D ．2－8
答案：C
解析：由题意知，⎩
⎪⎨
⎪⎧
np ＝6，
np －p ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝12
，
n ＝12.
∴P (X ＝1)＝C 112×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1211＝122
12＝3×2－10
.
5．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀
的学生数X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，14，则E (2X ＋1)＝( )
A.54
B.5
2 C ．
3 D.72
答案：D
解析：因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，14，所以E (X )＝54， 所以E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝2×54＋1＝7
2
.
6．罐中有6个红球、4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设
X 为取得红球的次数，则X 的方差D (X )的值为( )
A.125
B.2425
C.85
D.26
5
答案：B
解析：因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为3
5，
连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35， ∴D (X )＝4×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝24
25
.
7．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )
A.126125
B.65
C.168125
D.75
答案：B
解析：由题意知，X 可取0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝33
125＝27
125
，
P (X ＝1)＝9×6125＝54
125， P (X ＝2)＝3×12125＝36
125， P (X ＝3)＝
8125
. 故E (X )＝54125＋2×36125＋3×8125＝6
5
.
8．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为1
3，
且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E (ξ)为( )
A.241
81 B.26681 C.27481
D.670243
答案：B
解析：依题意知，ξ的所有可能值为2,4,6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝5
9
.
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有P (ξ＝2)＝59，P (ξ＝4)＝49×59＝20
81
，
P (ξ＝6)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫49
2＝1681
， 故E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝266
81
.
9．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，根据统计，随机变量ξ的概率分布列如下，则ξ的数学期望为________.
答案：1.7
解析：由概率分布列的性质，得0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1，解得a ＝0.2， ∴ξ的概率分布列为
∴E (ξ)10．若随机变量服从正态分布ξ～N (2,1)，且P (ξ>3)＝0.158 7，则P (ξ>1)＝________. 答案：0.841 3
解析：由题意可知，正态分布密度函数的图象关于直线x ＝2对称，得P (ξ<1)＝P (ξ>3)＝0.158 7，
∴P (ξ>1)＝1－P (ξ<1)＝1－0.158 7＝0.841 3.
11．已知随机变量X ～N (2，s 2
)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )＝________. 答案：0.36
解析：由正态曲线的对称性，可得
P (a ≤X <4－a )＝1－2P (X <a )＝0.36.
12．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为2
3
，则此人得分的均值与方差分别为________．
答案：20，200
3
解析：记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y 分，
则X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，23，Y ＝10X ， ∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×2
3
＝20，
D (Y )＝100D (X )＝100×3×23×13＝
200
3
. [冲刺名校能力提升练]
1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c [a ，
b ，
c ∈(0,1)]，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为
( )
A.1
48 B.124
C.1
12
D.16
答案：D
解析：设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为
E (X )＝3a ＋2b ＝2≥23a ×2b ，
所以ab ≤16，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝13，b ＝1
2时等号成立．
所以ab 的最大值为1
6
.
2.设离散型随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4，P (ξ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)．又E (ξ)＝3，则a ＋b ＝________.
答案：110
解析：因为P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝10a ＋4b ＝1， 又E (ξ)＝30a ＋10b ＝3，
解得a ＝110，b ＝0，所以a ＋b ＝1
10
.
3．为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科、文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示.
现采用分层抽样的方法(3名同学进行测试． (1)求从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；
(2)记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和均值． 解：(1)两小组的总人数之比为8∶4＝2∶1，共抽取3人， 所以理科组抽取2人，文科组抽取1人．
从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：1名男同学、1名女同学，2名女同学，
所以所求概率P ＝C 13C 1
5＋C 2
3C 2
8＝9
14
. (2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3， 相应的概率分别是P (ξ＝0)＝C 2
3C 28×C 1
3C 14＝9
112，
P (ξ＝1)＝C 13C 1
5C 28×C 1
3C 14＋C 2
3C 28×1C 14＝48112＝3
7，
P (ξ＝2)＝C 13C 1
5C 28×1C 14＋C 2
5C 28×C 1
3C 14＝45
112，
P (ξ＝3)＝C 25C 28×1C 14＝10112＝5
56.
所以ξ的分布列为
E (ξ)＝0×
9112＋1×37＋2×112＋3×56＝2
. 4．[2017·山东淄博模拟]某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间相互独立，且都是整数(单位：分钟)．现统计该茶楼服务员以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间t ，结果如表所示.
(1)求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
(2)用X 表示至第4分钟末服务员已准备好了泡茶工具的顾客数，求X 的分布列及均值． 解：(1)由题意知t 的分布列如下：
设A A 对应两种情形：
①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟；
②为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟．
所以P (A )＝P (t ＝2)·P (t ＝3)＋P (t ＝3)·P (t ＝2)＝15×310＋310×15＝3
25.
(2)X 的所有可能取值为0,1,2，
X ＝0对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间超过4分钟，
所以P (X ＝0)＝P (t ＞4)＝P (t ＝6)＝1
10
；
X ＝1对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟且为第二位顾客准备泡茶工具
所需的时间超过2分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为4分钟，
所以P (X ＝1)＝P (t ＝2)·P (t ＞2)＋P (t ＝3)＋P (t ＝4)＝15×45＋310＋25＝43
50
；
X ＝2对应为两位顾客准备泡茶工具所需的时间均为2分钟，
所以P (X ＝2)＝P (t ＝2)·P (t ＝2)＝15×15＝1
25.
所以X 的分布列为
所以X 的均值E (X )＝0×110＋1×50＋2×25＝50
.
5．某电视台拟举行由选手报名参加的选秀节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A ，B ，C 三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛的人数，则优先考虑参加海选测试项目数少的选手进入正赛．甲选手通过A ，B ，C 三个测试项目的概率分别为15，13，1
2
，且通过各个测试相互独立．
(1)若甲选手先测试A 项目，再测试B 项目，后测试C 项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？请说明理由；
(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p 1，第二项能通过的概率为p 2，第三项能通过的概率为p 3，设他通过海选(假设甲一定能通过海选)时参加测试的项目数为ξ，求ξ的分布列和均值(用p 1，p 2，p 3表示)．
解：(1)依题意，甲选手不能通过海选的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝4
15
，
故甲选手能通过海选的概率为1－415＝11
15.
若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，
因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝4
15
，
即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为11
15.
(2)依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3.
P (ξ＝1)＝p 1， P (ξ＝2)＝(1－p 1)p 2， P (ξ＝3)＝(1－p 1)(1－p 2)．
故ξ的分布列为
E (ξ)＝p 1＋1212＝1＋(2－p 2)(1－p 1)．。