第7章立体几何与空间向量第8节 空间向量的运算及应用(位置关系的证明)课件 高考数学一轮复习

第七章 立体几何与空间向量
第八节 空间向量的运算及应用(位置关系的证明)
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学习目标 核心体系 活动方案 备用题
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1. 了解空间向量的基本概念，掌握空间向量的运算法则.2. 理解直 线的方向向量及平面的法向量.3. 利用空间向量证明空间线、面平行 与垂直关系．
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概念
加法
减法 空间向量运算数乘
数量积
应用：证明平行垂直
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活动一 基础训练
1. (2023江苏高二课时练习)若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，
平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z的值是( )
A. －3
B. －4
C. 3
D. 4
【分析】 根据两平面平行得到两法向量平行，进而得到方程组，求
【解析】 因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形， △PAD是直角三角形，且PA＝AD，
所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间
直角坐标系 A－xyz，
则A(0，0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0，0,1)， F(0,1,1)，G(1,2,0)，
解
得
a＝2， b＝2，
即
M(2 ， 2,0) ， 故
DM ＝
22＋22＋02＝2 2.
【答案】 2 2
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活动二 典型例题
题组一 空间向量的概念及基本运算 1 (1) 已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 下列结论中正确的是________；(填序号) ①a∥b，a∥c; ②a∥b，a⊥c；③a∥c，a⊥b. 【解析】 因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，所以a∥c.又a·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b. 【答案】 ③
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【解析】 对于A，若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行或 重合，故A错误；对于B，因为向量a，b所在的直线是异面直线，所以向 量a，b一定不共线，故B正确；对于C，无法判断直线l是否在平面α内， 故C错误；对于D，只有a，b，c三个向量不共面时，才有p＝xa＋yb＋zc， 故D错误．
出yz＝＝－1，4， 得到答案．
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【解析】 因为 α∥β，所以 u1∥u2，故存在实数 λ，使得 u1＝λu2，即
6λ＝－3，
(－3，y,2)＝λ(6，－2，z)，故－2λ＝y， λz＝2，
解得yz＝＝－1，4， 所以 y＋z＝1
－4＝－3.
【答案】 A
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2. (2023江苏高二专题练习)若a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)分别是平面
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(2) 已知a＝(2，－1,2)，b＝(－4,2，x)，且a∥b，则x＝________. 【解析】 因为a∥b，所以－x＝4，即x＝－4. 【答案】 －4
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(1) 已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)， 点P的坐标是(x,0，y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是____________；
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题组二 空间平行关系的证明 2 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA 的中点．
(1) 求证：E，F，G，H四点共面；
(2) 求证：BD∥平面EFGH； (3) 设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有O→M＝14(O→A
＋O→B＋O→C＋O→D)．
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3. (2023全国高二专题练习)下列说法中，正确的是( ) A. 若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行 B. 若向量a，b所在的直线是异面直线，则向量a，b一定不共线 C. 若直线l的方向向量为e＝(1,0,1)，平面α的法向量n＝(－1,0,1)，则 l∥α D. 若a，b，c是空间三个向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的 有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc 【分析】 根据空间直线与直线和直线与平面的位置关系、空间向量 基本定理依次判断选项即可得到答案．
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所以P→B＝(2,0，－2)，F→E＝(0，－1,0)，F→G＝(1,1，－1)． 设P→B＝sF→E＋tF→G，即(2,0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1,1，－1)，
t＝2，
所以t－s＝0， －t＝－2，
解得 s＝t＝2，
所以P→B＝2F→E＋2F→G. 又因为F→E与F→G不共线， 所以P→B，F→E与F→G共面． 因为 PB⊄平面 EFG，所以 PB∥平面 EFG.
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(3) 如图，任取一点 O，连接 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. 由(2)，知E→H＝12B→D， 同理F→G＝12B→D， 所以E→H＝F→G，即 EH 与 FG 平行且相等， 所以四边形 EFGH 是平行四边形， 所以 EG，FH 交于一点 M，且均被点 M 平分．
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【解析】 (1) 连接 BG，则E→G＝E→B＋B→G＝E→B＋12(B→C＋B→D)＝E→B＋B→F ＋E→H＝E→F＋E→H，
由共面向量定理的推论，得 E，F，G，H 四点共面． (2) 因为E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12(A→D－A→B)＝12B→D， 所以 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH， 所以 BD∥平面 EFGH.
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【分析】 利用基底向量，结合向量模长公式即可判断A，利用向量
的夹角公式即可判断B和C，由向量垂直即可得线线垂直，进而根据线面
垂直的判断即可判断D. 【解析】 由题意，得|A→B|＝|A→A1|＝|A→D|＝6，A→B·A→D＝A→B·A→A1＝A→D·A→A1
＝6×6×12＝18，又A→C1＝A→B＋A→D＋A→A1，则|A→C1|2＝|A→B＋A→D＋A→A＝12O→E＋12O→G ＝1212O→A＋O→B＋1212O→C＋O→D ＝14(O→A＋O→B＋O→C＋O→D)．
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3 如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正 方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分 别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
【答案】 B
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4. (2023江苏高二单元测试)如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的 是( )
A. AC1＝12 6
B.
直线 BD1 与 AC 所成角的正弦值为
6 6
C. 向量B→1C与A→A1的夹角是 60° D. AC1⊥平面 CB1D1
|2
＋
|
→ AD
|2
＋
|
→ AA1
|2
＋
2
→ AB
→ ·AD
＋
2
→ AD
→ ·AA1
＋
2
→ AB
→ ·AA1
＝
3×62
＋
3×2×6×6×cos60°＝216，所以|A→C1|＝6 6，故 A 错误；由于B→D1＝A→D＋
A→A1－A→B，A→C＝A→B＋A→D，则|B→D1|2＝|A→D＋A→A1－A→B|2＝|A→D|2＋|A→A1|2＋|A→B|2
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题组三 空间垂直关系的证明
4 在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2 的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝ 2，M是线段B1D1的中点．求证：
(1) BM∥平面D1AC； (2) D1O⊥平面AB1C.
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【解析】 (1) 以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 O(1，1,0)，D1(0,0， 2)，B(2，2,0)，M(1，1， 2)，
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＋2A→D·A→A1－2A→B·A→A1－2A→B·A→D＝3×36－2×18＝72，|A→C|2＝|A→B＋A→D|2
＝|A→B|2＋|A→D|2＋2A→B·A→D＝36×2＋2×18＝108，又B→D1·A→C＝(A→D＋A→A1－
A→B)·(A→B＋A→D)＝A→D·A→B＋A→A1·A→B－|A→B|2＋|A→D|2＋A→A1·A→D－A→B·A→D＝36，
【解析】 P→A＝(－x,1，－y)，A→B＝(－1，－1，－1)，A→C＝(2,0,1)．因 为 PA⊥平面 ABC，所以P→A⊥A→B，P→A⊥A→C，即P→A·A→B＝x＋y－1＝0，P→A·A→C ＝－2x－y＝0，所以 x＝－1，y＝2，故点 P 的坐标是(－1，0,2)．
【答案】 (－1,0,2)
【解析】 如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐
标系，则 D(0,0,0)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，由
题意可设 M(a，b,0)，则D→1M＝(a，b，－2)，D→A1＝(2,0,2)，
→ DC1
＝
(0,2,2)
，
若
D1M ⊥ 平 面
A1C1D ， 则
DD→ →11MM··DD→→AC11＝＝22ab－－44＝＝00，，
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在本例条件下，求证：平面EFG∥平面PBC. 【解析】 因为E→F＝(0,1,0)，B→C＝(0,2,0)， 所以B→C＝2E→F，所以 BC∥EF. 又因为 EF⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC， 所以 EF∥平面 PBC， 同理，可得 GF∥PC，从而得出 GF∥平面 PBC. 又 EF∩GF＝F，EF⊂平面 EFG，GF⊂平面 EFG， 所以平面 EFG∥平面 PBC.
则 cos〈B→D1，A→C〉＝|BB→→DD11|·|AA→→CC|＝6
36 2×6
＝ 3
66，故
B
错误；因为
BB1∥
AA1，所以向量B→1C与A→A1的夹角即为B→1C与B→B1的夹角，又 BB1＝BC＝6，
∠CBB1＝60°，所以△CBB1 为等边三角形，所以∠BB1C 为 60°，所以B→1C
与B→B1的夹角为∠BB1C 的补角，故B→1C与B→B1的夹角为 120°，故 C 错误；
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A→C1·B→1C＝(A→B＋A→D＋A→A1)·(A→D－A→A1)＝A→B·A→D＋|A→D|2＋A→A1·A→D－A→B·A→A1 －A→A1·A→D－|A→A1|2＝0，A→C1·B→1D1＝(A→B＋A→D＋A→A1)·(A→D－A→B)＝A→B·A→D＋ |A→D|2＋A→A1·A→D－|A→B|2－A→D·A→B－A→A1·A→B＝0，所以A→C1⊥B→1C，A→C1⊥B→1D1， 可得 AC1⊥B1C，AC1⊥B1D1，B1C∩B1D1＝B1，B1C⊂平面 CB1D1，B1D1 ⊂ 平面 CB1D1，故 AC1⊥ 平面 CB1D1，故 D 正确．
所以O→D1＝(－1，－1， 2)，B→M＝(－1，－1， 2)， 所以O→D1＝B→M. 又因为 OD1 与 BM 不共线， 所以 OD1∥BM. 又 OD1⊂平面 D1AC，BM⊄平面 D1AC， 所以 BM∥平面 D1AC.
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(2) 在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G.
【解析】 M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C.
α与β的法向量，则平面α与β的位置关系是( )
A. 平行
B. 垂直
C. 相交且不垂直
D. 无法判断
【分析】 利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关
系．
【解析】 因为a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)分别是平面α与β的法向量， 且a＝－b，所以两法向量平行，所以平面α与β平行．
【答案】 A
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O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
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用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解 题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相 接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向 量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
【答案】 D
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5. (2023全国高二随堂练习)如图，在直四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈ 平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝________.
【分析】 建系，根据题意利用空间向量的坐标运算可求点M的坐 标，即可得结果．
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