2008年昆明市数学中考试题及标准答案

云南省昆明市2008年高中(中专)招生统一考试
数学试卷
(本试卷共三大题25小题，共6页．考试时间120分钟，满分120分)
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号及姓名，在规定的位置贴好条形码．
2．考生必须把所有的答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案选项框涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案选项框，不要填涂和勾划无关选项．其它试题用黑色碳素笔作答，答案不要超出给定的答题框． 4．考生必须按规定的方法和要求答题，不按要求答题所造成的后果由本人自负． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：
①弧长公式180
R n l π=，其中l 是弧长，R 是半径，n 是圆心角的度数；
②二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)图像的顶点坐标是(a
4b ac 4,
a 2
b 2
--) 一、选择题：(每小题3分，满分27．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的；每小题选出答案后，用2B 铅
笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑．)
1、3
2-
的绝对值是( ) A ．32- B ．32 C ．23- D ．23
2．下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
3. 2008年“五一”放假期间，昆明市的石林风景区等主要景点共接待游客约96400人，96400 用科学记数法表示为( ) A. 4
9.6410⨯ B. 5
0.96410⨯ C. 3
96.410⨯ D. 3
9.6410⨯
4.已知:如图，∠DAC 是△ABC 的一个外角，∠DAC =850， ∠B =450，
则∠C 的度数为( )
A ．500 B. 450 C.400. D. 350 5、下列运算中，正确的是( )
A ．2323+=
B ．()2
22
24x y x y +=+
C ．842
x x x ÷= D ．
211224
x x x ÷=-+- 6、已知:⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，两圆的圆心距O 1O 2=8cm ，则两圆的位置关系是( ) A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
7．如图是正方体的平面展开图，每个面上标有一个汉字， 与“油”字相对的面上的字是( ) A. 北 B. 京 C. 奥 D.运
8．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影
响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前了8天完成任务。

设原计划每天铺
油加
运奥京北第4题图
D
C
B
A
A B C D
C ．
12001200
81.25x x
-= D ．
120012008(125%)x x -=- 9．如图，在Rt △ABC 中，∠A = 900，A C = 6cm ，AB = 8cm ，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，
折痕为BD ，则sin ∠DBE 的值为( )
A ．
13 B ．3
10
C ．37373
D ．1010
二．填空题：(每小题3分，满分18分．请考生用黑色碳素笔将答案答在答题卡相应题号后的横线上．) 10、当x ≠________时，分式1
3
x -有意义， 11、巳知反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象经过点(－2，5)，则k =________. 12、农科院对甲、乙两种甜玉米各10块试验田进行试验后，得到甲、乙两个品种每
公顷的平均产量相同，而甲、乙两个品种产量的方差分别为20.01S ≈甲，2
0.002S ≈乙，
则产量较为稳定的品种是________（填“甲”或“乙”）。

13、某数学兴趣小组利用太阳光测量一棵树的高度，如图，在同一时刻，测得树的影长为4.8米，小明的影长为1.2米，已知小明的身高为l.7米，则树的高度为________米。

14、如图，有一个圆柱，它的高等于1 6cm ，底面半径等干4cm ，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是______cm 。

（π取3） 15、如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =900，∠BAC = 300，AB =8cm ，把△ABC 以点B 为中心，逆时针旋转使点C 旋转到AB 边的延长线上点C`处，求AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为_________cm.。

（结果保留π）
三．解答题：(共10题，满分75分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作
答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域书写的作答无效．特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图．)
16、（5分）计算：()1
2008011(3)122π-⎛⎫
----+ ⎪⎝⎭
17、（6分）解方程：25
12112x x
+=-- 第9题图E
D
C B
A
第13题图
（1）画出将铅笔图形ABCDE 向上平移9格得到的铅笔图形A 1B 1C 1D 1E 1；
（2）将铅笔图形A 1B 1C 1D 1E 1，绕点A 1，逆时针旋转900， 画出转后的铅笔图形A 1B 2C 2D 2E 2。

19、（8分）为了了解某区九年级女生的体能情况，在该区九年级随机抽取200名女生进行1 分钟仰卧起坐测试，统计出每位女生1分钟仰卧起坐的次数（次数为整数），根据测试数据制成频率分布表如下： （1）填出频率分布表中空缺的数据：①=_________ , ②=__________,③=_________ ;
（2）在这个问题中，样本容量是________，仰卧起坐出次数的众数落在第________组；
（3）若1分钟仰卧起坐的次数为40次以上（含40次）的为合格，该区共有2500名女生，请估计这个地区九年级女
20, (7分)己知：如图，点P 为平行四边形ABCD 中CD 边的延长线上一点，连接BP ，交AD ，于点E,探究：当PD 与CD 有什么数量关系时，△ABE ≌△DPE 。

画出图形并证明△ABE ≌△DPE 。

A
B C
D E
P
E
D
C
B A
21. （7分）某住宅小区为了美化环境，增加绿地面积，决定在坡地上的甲楼和乙楼之间建一块斜坡草地，如图，已知两楼的水平距离为15米，距离甲楼2米（即AB =2米）开始修建坡角为300的斜坡，斜坡的顶端距离乙楼4米（即CD =4米），求斜坡BC 的长度(结果保留根号)，
22, （7分）某种形如长方体的2000毫升盒装果汁，其盒底面是边长为10cm 的正方形。

现从盒中倒出果汁，盒中剩余汁的体积y （毫升）与果汁下降高度x （cm ）之间的函数系如图所示(盒子的厚度不计). （1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）若将满盒果汁倒出一部分，下降的高度为15cm ，剩余的果汁还能够倒满每个容积为 180毫升的3个纸杯吗?请计算说明。

23、（8分）小昆和小明玩摸牌和转转盘游戏，游戏规则如下：先摸牌，有两张背面完全相同、牌面数字是2和6的扑克牌，背面朝上洗匀后从中抽出一张，抽得的牌面数字即为得分：后转动一个转盘。

转盘被分4个相等的扇形，并标上 1, 2、 3、4，转盘停止后，指针所在区域的数字即为得分（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）。

（1）利用树状图或列表的方法(只选其中一种)表示出游戏可能出现的所有结果；
（2）若两次得分之和为总分，写出所有的总分。

小昆和小明约定：总分是3的倍数，则小昆获胜；总分不是3的倍数，则小明获胜，这个游戏公平吗?为什么?
y
x 2000
1500
1000
500
20151050果
汁
4321
24、（9分)某校决定购买一些跳绳和排球。

需要的跳绳数量是排球数量的3倍，购买的总费 用不低干2200元，但不高于2500元
（1）商场内跳绳的售价20元/根，排球的售价为50元/个，设购买跳绳的数量为x ，按照学校所定的费用，有几种购买方案?每种方案中跳绳和排球数量各为多少？
（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少?最少费用是多少元?
（3）由于购买数量较多，该商规定20元/根跳绳可打九折，50元/个的排球可打八折，用（2）中的最少费用最多还可以多买多少跳绳和排球？ 25、（12分）如图，在直角坐标系中，以点M （3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x 轴的正半轴于点A ，交x 轴的负半轴交于点B ，交y 轴的正半轴于点C ,过点C 的直线交x 轴的负半轴于点D (－9，0) (1) 求A 、C 两点的坐标;
(2) 求证 直线CD 是⊙M 的切线‘
(3) 若抛物线2
y x bx c =++经过M 、A 两点，求此抛物线的解析式； (4) 连接AC ，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD
交于点E ，与AC 交于点F 。

如果点P 是抛物线上的动点，是否存在这样
的点P ，使得:3PAM
CEF
S
S
=，若 存在，请求出此时点P
的坐标；若不存在，
请说明理由。

(注意：本题中的结果均保留根号)
昆明市2008年高中（中专）招生统一考试
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题：（每小题3分，满分27分，每小题只有一个正确答案，错选、不选、多选均得零分） 二、选择题：
（每小题
3分，满分18分）
三、解答题（满分75分）
16
、解：原式211=--+ ……………………………………4分
= ……………………………………5分 （说明：第一步计算每对一项得1分） 17、解：原方程可化为：
25
12121
x x -=--……………………………………1分 方程的两边同乘(21)x -
得：2521x -=-……………………………………3分 解得：1x =-……………………………………4分
检验：把1x =-代入(21)30x -=-≠………………………………5分 ∴原方程的解为：1x =-……………………………………6分 18、作出平移后的图形得3分，作出旋转后的图形得3分。

19、解：（1）①=0.19 , ②=54 ,③=0.27 ; ……………………………………3分
（2）样本容量是200 ，仰卧起坐的次数的众数落在第 3 组；………5分
A B
C D E A 1B 1C 1D 1E 1B 2C 2D 2
E 2
答：该地区九年级女生仰卧起坐达标到合格的约有1825人。

…………………………8分 20、解：当PD=CD 时，△ABE ≌△DPE ……1分 画出图形如下：…………………………2分 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB=CD 。

AB ∥CD ………………………3分 ∴∠BAE=∠PDE …………………………4分 又∵PD=CD
∴AB=DP ……………………………………5分 在△ABE 和△DPE 中
BAE PDE AEB DEP AB DP ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
…………………………6分 ∴△ABE ≌△DPE 中（AAS ）……………………………………7分 （本题其它证明方法参照此标准给分）
21、解：过点C 作CE ⊥地面于点E ………………1分 ∵两楼水平距离为15米， 且AB=2米，CD=4米
∴BE=15－2－4=9米………………2分 在Rt △ABC 中，
0cos30BE
BC =
………………3分 0
1
cos30
BC BE =………………4分 2
9
3
=………………5分 6 3 (=米)………………6分
答：斜坡BC 的长度为63米………………7分 22、解：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，
设此一次函数的解析式为： (0)y kx b k =+≠………………1分 点和点是一次函数图象上
∵点（0，2000）和点（20，0）在一次函数上。

2000100 20020001002000
b k k b b y x ==-⎧⎧∴⎨⎨+==⎩⎩∴=-+解得: ………………3分 自变量的取值范围是：0≤x ≤20 ………………4分
（2）当x =15时，100152000500y =-⨯+=………………5分
∵ 500＜3×180………………6分
∴剩余的果汁不够倒满每个容积为180毫升的3个纸杯。

………………7分
23、解：（1）树状图如下： P E D
C
B
A
图1
表1
（2）所有的总分为：3，4，5，6，7，8，9，10。

()35
, 88
P P ==(小昆获胜)
小明获胜
∴ 游戏不公平
24、解：（1）根据题意得： 解得：
205022003
205025003x x
x x ⎧
+⨯≥⎪⎪⎨
⎪⨯≤⎪⎩
……………………………………2分 2
开始(6,(6,(6,(6,(2,(2,
(2,(2,1234432162开始
(6,4)
(6,3)(6,2)(6,1)(2,4)
(2,3)(2,2)
(2,1)123443216
2
∵
13x 也必需是整数∴1
3
x 可取20，21，22……………………………………4分 ∴有三种购买方案：
方案一：跳绳60根，排球20个： 方案二：跳绳63根，排球21个：
方案一：跳绳66根，排球22个：……………………………………5分 （2）在（1）中，方案一购买的总数量最少，所以总费用最少 最少费用为：60×20+20×50=220……………………………………6分 （3）设用（2）中的最少费用最多还可以多买的排球数量为y ，
2090%(603)5080%(20)2200y y ⨯++⨯+≤……………………………………7分
解得：193
47
y ≤ ∵y 为正整数∴满足19
3
47
y ≤的最大正整数为3 ∴多买的跳绳为：39y =（根）……………………………………8分
答：用（2）中的最少费用最多还可以多买9根跳绳和3个排球。

………………………9分 25．（12分）解：（1）连接CM ，由题意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6 OA=OM+MA=3+6=9
A （9，0）……………………………………1分
OC MC ===
∴C
（0，……………………………………2分 （2）证法一： 在Rt △DCO 中，
DC DO ===
在△DCM 中，
22226144CM DC +=+=
2222()(93)12144DM DO OM =+=+==
222CM DC DM ∴+=……………………………………3分
∴△DCM 直角三角形。

……………………………………4分 ∴MC ⊥DC ，而MC 是⊙M 的半径
∴CD 是⊙M 的切线。

……………………………………5分 证法二：
在Rt △COM 中，
31
sin 62
OM MCO OC ∠=
== 30O MCO ∴∠=……………………………………3分
在Rt △DOC 中，
60O
DCO
∴∠=……………………………………4分
90O
DCM MCO DCO
∴∠=∠+∠=
MC DC
∴⊥，而MC中的⊙M半径。

……………………………………5分
证法三：
在△CMO和△DMC中
612
2,2
26
CM DM DO OM
OM MC MC
+
=====
CM DM
OM MC
∴=……………………………………3分
又CMO DMC
∠=∠
CMO DMC
∴……………………………………4分
90O
COM DCM
∴∠=∠=
MC DC
∴⊥，而MC中的⊙M半径。

MC DC
∴⊥，而MC中的⊙M半径。

……………………………………5分
（3）由抛物线2
y x bx c
=++经过点M（3，0）和点A（9，0），可得：
930
8190
b c
b c
++=
⎧
⎨
++=
⎩
解得：
12
27
b
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
……………………………………6分
∴抛物线的解析式为：21227
y x x
=-+……………………………………7分
（4）存在。

……………………………………8分
方法一：
设直线CD的解析式为
11
y k x b
=+，点C和点D（—9，0）在此直线上，可得：
1
11
90
b
k b
⎧=
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
解得：1
1
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
∴直线CD的解析式为：
3
y x
=+
设直线AC的解析式为
22
y k x b
=+，点A（9，0
2
22
90
b
k b
⎧=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
解得：2
2
3
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
∴直线AC的解析式为：y x
=+
∵抛物线的对称轴为6
2
b
x
a
=-=
又∵点E是对称轴和直线CD的交点
点E 的坐标为（6，）
双点F 是对称轴和直线AC 交点
∴当x =6时，6y =+=
∴点F 的坐标为（6
∴EF ==过点C 作CG ⊥EF 于点G ，则CG=6
11
622
CEF S EF CG ==⨯= ① 若点P 在轴的上方，设点P 坐标为（x ，y ） 132PAM S AM y y == :3PAM CEF S S =
33y ∴=
解得：y =4
当y =4时，即212274x x -+=，解得6x =
12(6(6p p ∴……………………………………10分
②若点P 在x 轴上，则点P 与点M 或与点A 重合，此时构不成三角形。

③若点P 在x 轴下方，设点P 的坐标为（x ，y ）
1()32
PAM S AM y y =-=- :3PAM CEF S S =
33y ∴-=
解得：y =－4
当y =－4时，即212274x x -+=-，解得6x =
34(64) ,(64)p p ∴--……………………………………12分
∴这样的点共有4个，12(6(6p p ∴，34(64) ,(64)p p ∴-- 方法二：存在……………………………………8分
设抛物线的对称轴交x 轴于点H
在（2）中已证：60,30O O
DCO CDO ∴∠=∠=
∵抛物线的对称轴平行于y 轴 60O CEF DCO ∴∠=∠=
∵OD=OA=9
∴CO 垂直平分AD
30O CAO CDO ∴∠=∠=
在Rt △AFH 中，60O AFH ∠= 60O EFC ∴∠=
∴△CEF 是等边三角形
过点C 作CG ⊥EF 于点G ，则CG=6
可得：EF =
11
622CEF S EF CG ==⨯= 以下解答与方法一相同。

（本题其它解法参照此标准给分）。