【Ks5u名校】江苏省清江中学2020-2021学年高二数学午间练习(115) Word版含答案

午练练习（115）
1.在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ， 24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点． (Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；
(Ⅲ)求多面体ADBEG 的体积.
2. 已知双曲线2
212
x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=． （Ⅰ）求动点P 的轨迹E 方程；
（Ⅱ）若12(2,0),(2,0),(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R 、Q 两点，直线1A R 与2A Q 交于点S ．试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结
论；若不是，请说明理由．
参考答案(115)
1.解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC . 又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，
∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG .
∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG .
(Ⅱ)证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，
又,AE EB EB EF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE .
过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE . ∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥.
∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==， ∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，
∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥，
又,BH DH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ∵BD ⊂平面BHD , ∴BD EG ⊥.
(Ⅲ) ∵EF ⊥平面AEB ，//AD EF ，∴⊥EF 平面AEB ，
由（2）知四边形BGHE 为正方形，∴BC BE ⊥.
∴BEC D AEB D ADBEG V V V --+=AE S AD S BCE ABE ⋅+⋅=
∆∆31313
8
3434=+=， 2．解法一：
（Ⅰ）由题意知：1(3,0),(3,0)F F -，又∵
124PF PF +=，∴动点(,)P x y 必在以12,F F 为焦点， 长轴长为4的椭圆，∴a 2=，又∵c 3=，222b a c 1=-=．
∴椭圆C 的方程为2
22x y 14
+=．
（Ⅱ）由题意，可设直线l 为：1x my =+．
① 取m 0,=得33R ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭
，直线1A R 的方程是33y = 直线2A Q 的方程是3
y 3,=
交点为(1S 3.
若33R 1,,Q ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭
，由对称性可知交点为(2S 4,3. 若点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=．
②以下证明对于任意的m,直线1A R 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上．
事实上，由22
x y 1
4x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()22my 14y 4,++=即()
22m 4y 2my 30++-=，
记()()1122R x ,y ,Q x ,y ，则121222
2m 3
y y ,y y m 4m 4--+==++． 设1A R 与交于点00S (4,y ),由011y y ,42x 2=++得1
016y y .x 2
=+
设2A Q 与交于点00S (4,y ),''由022y y ,42x 2'=--得2
022y y .x 2
'=-
12
00126y 2y y y x 2x 2
'-=-+-
()()()()1221126y my 12y my 3x 2x 2--+=+-()()()
1212124my y 6y y x 2x 2-+=+-
()()
2
2
1212m 12m m 4m 40x 2x 2---++==+-，
∴00y y '=，即0S 与0S '重合，
这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上．
A D F
E
B G C。