2016年 江苏省 高二上数学 期中测试卷1

2016年 江苏省 高二上数学 期中测试卷1
高二数学试卷 2016.11
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1．命题：“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是 ． 2. 直线的倾斜角是________．
3.若方程
表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 .
4．命题“若b a >，则22b a >”的逆命题是
.
5.与椭圆有相同的焦点，且离心率为的椭圆标准方程为 ．
6.如果对任何实数，直线都过一个定点，那么点的坐标是________.
7. 如果，，那么是的 条件.
（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空）
8.已知椭圆
19
252
2=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离是8，则M 到右准线的距离为 ．
9.在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线：
垂直，则实数=a ．
10．如果实数满足等式，那么的最大值是 ． 11．圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为 ．
12. 已知21,F F 为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，过2F 作双曲线渐近线的
1y x =+22
152
x y a +=-x a 22194
x y +=5k (3)(12)150k x k y k ++-++=A A :2p x >:3q x >p q xOy C 2
221x y a
-=0a >l 210x y -+=,x y ()2
223x y -+=y
x
2
12
y x =
y
垂线，垂足为,P 若22221||||c PF PF =-，则双曲线离心率的值为 . 13. 已知直线),(12R b R a by ax ∈∈=+与圆1:22=+y x O (O 为坐标原点)相交于B A ,两点,且AOB ∆是直角三角形,点),(b a P 是以点)1,0(M 为圆心的圆M 上的一点,则圆M 的面积的最小值为 .
14. 已知直线，动圆，菱形的一个内角为，顶点在直线上，顶点在圆上.当变化时，菱形的面积的取值范围是 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15. 已知命题“关于的方程)(04522222R a a a y ax x ∈=+-++-表示圆”，命题“,使得恒成立”. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为真命题，求实数的取值范围.
16．已知直线过点,
（1）点和点到直线的距离相等，求直线的方程；
:4l y =+222:(12)O x y r r +=<<ABCD 060,A B l ,C D O r ABCD S :p ,x y :q x R ∀∈2(1)10()x a x a R +-+>∈p a p q ∧a l (2,1)P (1,3)A -(3,1)B l l
（2）若直线与正半轴、正半轴分别交于两点，且的面积为4，求直线
的方程．
17．如图，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的上顶
点，是直线与椭圆的另一个交点，. （1）求椭圆的离心率； （2）若,求的面积．
18.某城市在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5 m ，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．
l x y A B 、ABO ∆l 12,F F 22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>A C B 2AF C 1260F AF ∠=C 2a =1AF B ∆22y x =
(1) 求灯罩轴线所在的直线方程； (2) 若路宽为10 m ，求灯柱的高．
19．已知圆与轴负半轴的交点为,点在直线上，过点作圆的切线，切点为.
（1）若，切点,求点的坐标； （2）若，求实数的取值范围;
22:4O x y +=x A
P 0l y a +-=P O T 8a
=1)T -P 2PA PT =
a
(3) 若不过原点的直线与圆交于C B ,两点,且满足直线OC BC OB ,,的斜率依次成等比数列，求直线l 的斜率.
20.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为．为椭圆上异于顶点的一点，点满足 ， （1）若点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）设过点的一条直线交椭圆于两点，且，直线的斜率之积
，求实数的值; （3）在（1）的条件下，是否存在定圆，使得过圆上任意一点都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直?若存在,求出定圆;若不存在,说明理由.
命题、校对:刘晓静 审核:沈红、姜卫东
江苏省扬州中学2016-2017学年第一学期期中
O O xOy 22
221x y a b
+=0a b >>22A
P 2OP AO =P ()
2,2P ,B C BP mBC =,OA OB 1
2
-m M M T M
高二数学答案 2016.11
一、填空题
1. 2. 3. 4. 充分不必要 5. 1202522=+y x
6. 7. 2
5
8．2
9.
10.
1
)2
1
()1(22=-+±y x
11. 4 12.2 13. π)223(- 14.
二、解答题 15. 解：（1）若命题
为真，则
整理得到
得
（2）若命题为真，则 即得
若为真，则，得
所以，若为真，则的取值范围是.
16. 解：（1）若直线斜率不存在，即，此时，点到直线的距离不相等. 故直线的斜率一定存在,
设直线的方程为即 由题意得:
解之得:或 故所求直线方程为或
(2)由题可知，直线的横、纵截距存在，且，则，又过点，2
,10x R x x ∀∈--≥4π
7a >(1,2)
-
330,,622⎛⎫
⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝p 22(2)4(254)0a a a --+>2
540a a -+<14a <<q 2
(1)40a ∆=--<2
230a
a --<13a -<<p q ∧14
13
a a <<⎧⎨
-<<⎩13a <<p q ∧a 13a <<2x =,A B l l
l (2)1y k x
=-+210kx y k --+==
1
2
k =-
1k =-240x y +-=30x y +-=1l a b 、00a b >>、1:
1x y
l a b
+=1l (2,1)
的面积为4，
∴，解得，故方程为，即．
17. 解:（1）由题意可知，为等边三角形，，所以. （2）由题意得：,故
,
所以直线的方程为
联立直线与椭圆的方程得:解得:或(舍) 所以点的坐标为,
所以
18.
解：(1) 由题意知，BF ＝12，则x A ＝1.5＋1
2
＝2，
代入y 2＝2x 得y
A ＝2，故A(2，2)． 设点A 处的切线方程为y －2＝k(x －2)，
代入抛物线方程y
2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0.
则Δ＝4－4k(4－4k)＝0，解得k ＝1
2
.
故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －
2)，即y ＝－2x ＋
6. (2) 由于路宽为10
，则当x ＝11
2
时，y ＝－5，从而FD ＝5. 又CF ＝1，则CD ＝6. 答：灯柱的高为6 m.
ABO ∆21114
2
a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩42a b =⎧⎨=⎩1l 142x y +=122y x =-+1AF B ∆2a c =1
2
e =2,1a c ==b =
2(1,0)A F AC y =+AC C 22143y x y
⎧=⎪⎨+=⎪⎩85x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩B 8,55⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
1121212121111||||||||22222255
AF B AF F BF F B S S S F F AO F F y ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅=
19. 解：（1）由题意，直线PT 切于点T ，则OT ⊥PT ，又切点，所以，
故直线PT 的方程为
.联立直线l 和PT ，解得
即. （2
）设，由PA ＝2PT
，可得
，即，即满足PA ＝2PT 的点P 的轨迹是一个圆
与圆有公共点，所以，即，解得.
(3)当直线垂直与轴时，显然不成立，所以设直线为，将它与圆方程联立
并
消
去
得
，设
，则
，因为
，故， 即，因为，所以，即.
20.
解：（1）因为,所以． 代入椭圆方程，得，① 又椭圆的离心率为
，②
由①②，得，
1)T -OT k =1
PT OT k k =-=1y x +40y --=40,
80,
y y --=+-=2,
x y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩P (,)P x y 2222
(2)4(4)x y x y ++=+-22334200x y x +--=22264
()39x y -+=
0y a +-=22264
()39x y -+=83
d =
16
|3a -≤a BC x BC (0)y kx b b =+≠y
222(1)240
k x kbx b +++-=1122(,),(,)
B x y
C x y 212122242,11b kb x x x x k k --=+=++22
12121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++222222
2222424111b k b k b k b k k k --+=⋅-+=+++222
122
1244
OB OC y y k b k k k x x b -+⋅===-22
(1)0b k -=0b ≠2
1k =1k =±P 1,2A ⎛-- ⎝⎭
221112a b +=22
=22
2,1a b ==
故椭圆的方程为．
（2）设， 因为，所以．
因为，所以，
即
于是．
代入椭圆方程，得，
(3)存在定圆
在定圆上任取一点,其中
设过点的椭圆的切线方程为即,将其与椭圆方程
2
212
x y +=()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 2OP AO =()112,2P x y --BP mBC =()()121232322,2,x x y y m x x y y ----=--()()123212322,2,x x m x x y y m y y --=-⎧⎪⎨--=-⎪⎩32132112,12,m x x x m m m y y y m m -⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩
22
212
122
1
2121
m m x x y y m m m m a b --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+
=M 2
2
3x y +=M 00(,)T x
y 0x ≠00(,)T x y 00()y y k x x -=-00y kx kx y =-+
联立得:
整理得:
故过点的椭圆的两条切线斜率分别是的两解.
故,所以两条切线垂直. 当
,显然存在两条互相垂直的切线.
2
212
x y +=2220000(12)4()2()20k x k kx y x kx y +--++-+-=2222000016()8(12)[()1]0k kx y k kx y ∆=-+-+-+-=222
0000(2)210x k x y k y -++-=00(,)T x y 12,k k 222
0000(2)210x k x y k y -++-=22200012222
00011(3)2
1222y x x k k x x x ----=
===----0x =。