最新2019年高一上学期期中考试数学试卷

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，则A∩B＝
A. {0}
B. {0，1}
C. {1，2}
D. {0，1，2}
【答案】B
【解析】
【分析】
解出集合B，再根据集合的交集的概念得到结果.
【详解】集合=；，则A∩B＝{0，1}.
故答案为：B.
【点睛】与集合元素有关问题的思路：
（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．
（2）看这些元素满足什么限制条件．
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
2.已知，下列不等式中必成立的一个是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可以通过举出一些特例，用赋值的方法推翻选项.
【详解】已知,由不等式的同向相加的性质得到正确；当a=2,b=1,
c=-2,d=-1时，, ，故A，B，D不正确；
故答案为：C.
【点睛】这个题目考查了根据不等式的性质判断大小关系，较为基础.
3.“”是“函数只有一个零点”的（）
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 非充分必要条件
【答案】B
【解析】
.
4.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）
A. B. （1，2） C. （3，4） D. （4，5）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的零点存在定理得到结果即可.
【详解】函数,是单调递减的函数，,根据零点存在定理得到在区间（3，4）上存在零点.
故答案为：C
【点睛】这个题目考查了函数零点存在定理的应用，即在区间（a,b）上，若f(a)f(b)<0,则在此区间上函数一定存在零点，但是零点个数不确定；如果判断出函数是单调的，再判断出f(a)f(b)<0，即可得到函数存在唯一的零点.
5.已知函数，则
A. 是奇函数，且在R上是增函数
B. 是偶函数，且在R上是增函数
C. 是奇函数，且在R上是减函数
D. 是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】
分析：讨论函数的性质，可得答案.
详解：函数的定义域为，且
即函数是奇函数，
又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数。

故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.
6.已知，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性得到，再由幂函数的单调性得到.进而得到答案.
【详解】构造函数是减函数，故，构造函数是增函数，故得到.故. 故答案为：A.
【点睛】这个题目考查的是利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小。

7.若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. （1，3） D. （2，3）
【答案】D
【解析】
试题分析：因为函数单调递增，所以且由，所以，解得或，所以实数的取值范围是，故选D．
考点：数列的单调性及分段函数的性质．
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、函数的单调性的应用，不等式的求解等知识点的应用，其中解答中根据哈数是定义域山过的单调递增函数，即可列出不等关系且是解答的关键，即可求求解实数的取值范围，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
8.函数的图象大致是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：当时，，所以，
所以当时，函数为减函数，当时，函数为增函数；
当时，，所以恒成立，
所以当时，函数为减函数；所以应选B
考点：函数性质与图象.
9.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足
, 则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为
），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C．
考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.
【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应
用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转
化即可得到结论.
【此处有视频，请去附件查看】
10.设D是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是
在区间D上的一个“k阶不动点”，若函数在区间上存在“3阶不动点”，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“f（x）在区间D上有3阶不动点”当且仅当“F（x）＝f（x）-3x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）＝f（x）-3x＝ax2﹣2x﹣a+＝0，讨论将a分离出来，通过换元求得范围即可.
【详解】函数在区间上存在“3阶不动点”，即有解，整理得到在区间上存在零点，F（x）＝，
设当t=0时，,;
当时，，
原式子化简为
进而得到
所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点和利用导数研究最值等有关知识，属于中档题．
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

11.函数的定义域为_______________。

【答案】
【分析】
使函数有意义，列出，求解x即可.
【详解】函数的定义域为
故答案为：
【点睛】求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化。

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集。

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接。

12.函数的值域为____________。

【答案】
【解析】
【分析】
将函数变形为=，根据均值不等式得到结果.
【详解】函数=
,故得到范围是
故答案为：.
【点睛】求函数值域的基本方法
(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域。

(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域。

(3)换元法：形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋的函数用三角函数代换求值域。

13.定义：函数（其中表示不超过x的最大整数），如＝1，
，则＝____________。

【解析】
【分析】
，根据函数的定义得到＝1
【详解】，根据函数的定义得到＝1.
故答案为：1.
【点睛】这个题目考查了新定义的函数的应用，较为简单，基础。

14.已知函数，则＝___________。

【答案】
【解析】
【分析】
根据>3,故，之后代入解析式即可.
【详解】>3,故
=
故答案为：6.
【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
15.能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数＝_________________。

【答案】答案不唯一，比如或；
【解析】
【分析】
根据题意举出反例即可.
【详解】根据题意只要举出的例子不符合函数单调增即可，可以在区间端点处违反单调性，即.
答案为：答案不唯一，比如或；
【点睛】这个题目考查了函数的单调性的应用，以及考查了学生对单调性的理解.
16.设函数的定义域为D，如果对任意的，存在，使得（m为常数），则称函数在D上的算术平均数为m。

请写出函数在区间上的算术平均数m＝_____________。

【答案】
【解析】
【分析】
将原式子化简得到，再用赋值法得到，则，
，两者取交集得到结果即可.
【详解】因为化简得到
令，则
令故只能是m=3.
故答案为：3.
【点睛】这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型．关键是要读懂题意．充分利用即时定义来答题．
三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17.计算
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
根据指对函数的运算公式求解即可.
【详解】（1）原式＝10＋32＋4＝46.
（2）.
（3）
【点睛】对数的运算性质:
,,化简原则:（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．
18.已知函数的定义域为集合A，B＝。

（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围。

【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)解出集合A得到补集，再由集合交集的概念得到结果；（2），
解出即可.
【详解】（1）由，解得集合；
当时，可化为，即，
解得集合，
（2）。

∵
，。

【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．已知两集合间的关系求参数时，
关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．
19.已知定义在R上的奇函数，当时，。

（1）求出f（x）的解析式，并直接写出f（x）的单调区间；
（2）求不等式f（x）>3的解集。

【答案】（1），增区间，减区间；（2）.
【解析】
【分析】
(1)当时，,最后写成分段形式即可；（2）当时，
时，，两者并起来即可.
【详解】（1）当时，；
，
的单调增区间为：（－2，2）；的单调减区间为：。

（2）当时，；
当时，或（舍去）；
或
∴不等式的解集为。

【点睛】求函数解析式的常用方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；20.已知函数。

（1）判断函数f（x）是否具有奇偶性？若具有，请给出证明，若不具有，请说明理由。

（2）试用函数的单调性的定义证明：f（x）在R上是减函数。

【答案】（1）奇函数；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）进而得到结果.
【详解】（1）是奇函数；
已知函数定义域为R，对任意，均有，
又∵；
是奇函数
（2）,
在R上是减函数。

【点睛】这个题目考查了函数奇偶性和单调性的判断，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.
21.已知二次函数。

（1）若方程的两个根满足，求k的取值范围。

（2）当时，求在区间上的最值。

【答案】（1）或；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题意列出式子得到，得到结果即可；（2）轴定区间动的问
题，通过讨论轴与区间端点的大小得出单调性即可得出函数的最大最小值.
【详解】（1）由题意知
，
或
（2）当时，
最小值：
当时，函数在区间上是减函数，故
当时，区间包含函数的对称轴，故应在对称轴处取得最小值，；
当时，函数在区间上单调递增，最大值：比较区间中点和对称轴1的关系，即：
当时，函数的轴离左端点比较远，故
当时，函数的轴离右端点比较远，故
【点睛】这个题目考查了二次函数的根的分布问题，以及二次函数在小区间上的最值问题，只需要讨论轴和区间端点的关系，分类讨论即可.
22.对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”，设函数的定义域为，且。

（1）若是的一个“P数对”，且，求常数的值；
（2）若（1，1）是的一个“P数对”，且在上单调递增，求函数在上的最大值与最小值；
（3）若（－2，0）是的一个“P数对”，且当时，，求k的值及在区间上的最大值与最小值。

【答案】（1）；（2）最大值，最小值；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用f（2）＝6，f（4）＝9，建立方程组，即可求常数a，b的值；（2）根据函数的定义得到，在上单调递增，当时，当时，
当时，
，进而得到结果.（3）令x＝1，则f（1）＝k﹣1＝3，解得k＝4，当x∈[1，2）时f（x）＝4﹣|2x﹣3|，得出f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]．利用由已知，f（2x）＝﹣2f（x）恒成立⊕，将[1，2n）分解成[2k﹣1，2k），（k∈N*）的并集，通过⊕式求出f（x）在各段[2k﹣1，2k）上的取值范围，各段上最大值、最小值即为所求的最大值，最小值．
【详解】（1）由题意知，即，
解得：；
（2）是的一个“P数对”
，故
在上单调递增，∴当时，，即
当时，
当时，
当时，
综上，当时，
故最大值6，最小值3
（3）当时，，
令，可得，解得，
所以，时，，故在上的取值范围是。

又是的一个“P数对”，故恒成立，
当时，＝…＝，
故k为奇数时，在上的取值范围是；
当k为偶数时，在上的取值范围是，
所以当n＝1时，在上的最大值为4，最小值为3；
当n为不小于3的奇数时，在上的最大值为，最小值为；
当n为不小于2的偶数时，在上的最大值为，最小值为。

【点睛】本题考查利用新定义分析问题、解决问题的能力．考查转化计算，分类讨论、构造
能力及推理论证能力，思维量大，属于难题．。