高三数学下学期开学考试试题扫描 试题

2021届高三数学下学期开学考试试题〔扫描版〕
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高 三 数 学 参 考 答 案
1.充分不必要； 2．1-； 3. 94； 4
； 5．2； 6. 1
2； 7. 48；
8.3-； 9. 18π； 10. 2ln ； 11．
； 12.324-；13.a ＝0或者－8； 14．1． 15．解：〔1〕由Z k k x ∈+
≠+,2
4
2π
ππ
得
Z k k x ∈+≠,8
2π
π ………2分 2
π
=
T ………4分
所以函数)(x f 的定义域为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠
Z k k x x ,82ππ，最小正周期为2π …6分 〔2〕因为1)42tan(2)(-+
=π
x x f ， 所以1)4
tan(2)2(-+=π
ααf
因为12cos 4)2
(-=ααf ，所以12cos 41)4
tan(2-=-+
απ
α
即απ
α2cos 2)4
tan(=+
即)sin )(cos cos (sin 2)sin (cos 2sin cos cos sin 22ααααααα
ααα-+=-=-+ ………10分
因为)2
,4(
π
πα∈，所以0cos sin ≠+αα 所以1)sin (cos 22
=-αα ………12分 即1)cos sin 21(2=•-αα即2
1
2sin =
α ………14分 16.证明：(1) 连结B A 1，设A 1B ∩AB 1＝E ，连结DE.
在直三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中 四边形AA 1B 1B 为平行四边形
所以E 为AB 1中点． ………2分 因为D 为BC 中点 所以DE 为△BA 1C 的中位线
所以DE ∥A 1C. ………4分
1
因为A 1C ⊄平面ADB 1，DE ⊂平面ADB 1
所以A 1C ∥平面ADB 1. ………6分 〔2〕因为平面 ⊥1ADB 平面11B BCC 平面⋂1ADB 平面D B B BCC 111=
BC 1⊥B 1D
⊂1BC 平面11B BCC
所以⊥1BC 平面1ADB ………8分 因为⊂AD 平面1ADB
所以1BC AD ⊥ ………10分 在直三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中,⊥1BB 平面ABC 又因为⊂AD 平面ABC
所以1BB AD ⊥ ………12分 又因为1BC AD ⊥，B BC BB =⋂11，⊂11,BC BB 平面11B BCC 所以⊥AD 平面11B BCC . ………14分
17．解：〔1〕以AB 所在直线为y 轴，点O 为原点，建立如下图的直角坐标系xOy ，
DCB θ∠=，那么DOB θ∠=，DOE πθ∠=-，所以(sin ,cos )D θθ-
过D 作DH BC ⊥于H ，那么2cos DH θ=-
所以2cos sin sin DH CD θ
θθ
-== …………4分 由弧DE 长为()1πθπθ-⨯=-，线段1AE =
所以玻璃桥的总长度为2cos 1sin y θπθθ-=
+-+，(0,]3
π
θ∈
所以所建造的木桥和玻璃桥的总长度y 的函数为2cos 1sin y θπθθ-=
+-+，定义域为(0,]3
π
． …………………7分
〔2〕设建造桥的总费用为()f θ万元．
建造木桥的费用为2cos ()1010[1]sin CD EA θ
θ
-+⨯=+
建造玻璃桥的费用为()2010(22)πθπθ-⨯=-
所以2cos ()10[
221]sin f θθθπθ-=-++，(0,]3
π
θ∈ …………………10分
22
2cos 2cos 1
'()10[]sin f θθθθ
--= (0,]3
πθ∈，'()0f θ<，所以()f θ在区间(0,]3
π
上单调递减
min 2[()]()21)33f f πθππ==++ )13
43(10++=π
…………………12分
0)73
43(1080)1343(10<-+=-++
ππ 即80)13
43(10<++
π
答：所以HY80万元，能完成该项工程． …………………14分 18.解:
〔1〕由题意得2
c =c =
，
又点1,⎛ ⎝在椭圆上，所以：22
2
2
3141
3
a b b a +==-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 整理得：42419120a a -+=，解得：24a =或者23
4
a =
〔舍〕，∴21b =， ∴椭圆的HY 方程为：2
214
x y +=． ………4分
〔2〕设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 中点坐标()()330,,0,C x y M y ，
由2
2
1,4
y m x y ⎧=++=⎪
⎨⎪
⎩整理得：229440x m ++-=，
∴()
()
2
224944144160m m ∆=-⨯⨯-=->，
∴29m <， ………6分
又12x x +=21244
9
m x x -⋅=，
∴1232x x x +==
∴339
m
y m =
+=
， ∴线段AB 的中点C
坐标为9m ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
又
2AB x =-
=
………10分
∴AC =
，
又9MC
m
k ==，∴0
3m y =-， ∴点M 坐标为0,3m ⎛⎫-
⎪⎝⎭
， ∴MC
= ………12分 ∵CM 垂直平分AB ， ∴2AMB AMC
∠=∠，
又tan AMB ∠=，23AMB π∴∠=
3
AMC π∴∠= tan AMC ∴∠=
∴在Rt AMC ∆中，tan AC AMC MC ∠==
=
=，∴22912m m -=，即2913m =
∴13
m =
13m =- ………16分
19．解〔1〕1
()ln f x a x x x
=+-，222
11'()1a x ax f x x x x -+-=--= 函数()f x 在2x =处获得极值，所以'(2)0f =，解得5
2
a =
………………2分 当52
a =时，2222
1252(21)(2)'()122a x x x x f x x x x x -+----=--== 当1
(,2)2
x ∈时，'()0f x >，当(2,)x ∈+∞时，'()0f x <， 所以
()f x 在区间1
(,2)2
上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，
所以函数()f x 在2x =处获得极值 ………………4分
〔2〕2222223
11111(
)ln 2ln (2ln )f a a a a a a a a a a a a a =+-=-+-=-- 令31()2ln g a a a a =--，442323
'()1a g a a a a a
-=-+=+
当a e >时，'()0g a >，所以()g a 在(,)e +∞单调递增 所以33
111
()()202g a g e e e e >=-->->，又0a > 所以21
(
)()0f ag a a
=>． ………………9分 〔3〕由题意得3
()(3)ln (3)3(3)
f x f x a x x x x +-=-+
--，令(3)(0,2)t x x =-∈，
设3()ln 3F t a t t =+
-，那么方程3
()ln 30F t a t t
=+-=在区间(0,2)上至少有两个解， ……10分 又(1)0F =，∴方程3
()ln 30F t a t t
=+-=在区间(0,1)(1,2)上有解，
由于22
33
'()a at F t t t t
-=-=， ①当0a ≤时，'()0F t <，函数()y F t =在(0,2)上是减函数，且(1)0F =， ∴方程在区间(0,1)(1,2)上无解； ……11分
②当3
02a <≤
时，由(0,2)t ∈，得'()0F t <，同①可得方程无解； ……12分 ③当332a <<时，函数()F t 在3(0,)a 上递减，在3(,2)a 上递增，且3
1a
>
要使方程()0F t =在区间(0,1)(1,2)上有解，注意到(1)0F =，
只需(2)0F >，即3ln 202a -
>，解得3
ln 4
a >
， 33ln 42>，3
3ln 4
a ∴<<； ……13分 ④当3a >时，函数()F t 在3(0,)a 上递减，在3(,2)a 上递增，且3
01a <<
注意到(1)0F =，那么3
()0F a
<，
因为312)1()1(22
22-++=a a a f a F ，又由〔2〕可知0)1(2>a
f
又因为031222
>-+a a
所以21
()0F a
>
此时方程()0F t =在3
(0,)a
内必有解； ……14分
⑤当3a =时，函数()F t 在(0,1)上递增，在(1,2)上递减，且(1)0F =， ∴方程方程()0F t =在区间(0,1)(1,2)内无解． ……15分
综上可得实数a 的范围是3
(
,3)(3,)ln 4
+∞. ……16分 20．解：〔1〕当1n =时，111
2
a a +=，解得11a =； …………2分
当3n =时，33132S a +=，即1233132a a a a +++=，3341
32
a a ++=
，解得35a = …4分 〔2〕
1
2
n n S a n +=可化为2(1)n n S n a =+ 所以112(1)(1)n n S n a ++=++
相减得，112(1)1n n n a n a na ++=+-+ …………6分 化简为 1(1)10n n n a na +--+= 所以21(1)10n n na n a ++-++=
相减，得2120n n n na na na ++-+=，即2120n n n a a a ++-+=， 所以212n n n a a a +++=
所以数列{}n a 是等差数列， …………8分
其公差212d a a =-=，通项公式为12(1)21n a n n =+-=- …………10分
〔3〕作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ，它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项，显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以它们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多
个． …………13分
下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似： 假设三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，那么
112222
12(23)(25)(23)(25)
(23)(23)k k k k k k ++++=
++，整理得12122525
2323
k k k k ++=
++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾，因此，任意两个三角形不相似． 故命题成立． …………16分
数学试题〔II 〕〔附加卷〕
21〔B 〕．解：设1 b c d a A -⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，那么1
A A E -=，即 b 1 1 1 0c d 0 20 1a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即120021a a b c c d -=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩ 解得1120
12a b c d =-⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪
⎩ 1
11 210 2A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……6分
1
11 1 30 -121 2 4 1 20 2A B -⎡
⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
……10分 21〔C 〕．解：〔1〕:10l x y +-=，曲线2
2
:40C x y x +-=； ……4分
〔2
〕将1 x y ⎧⎪==⎨
⎪⎪⎪⎩
〔t 为参数〕代入曲线C
的方程，得23=0t +-，
12t t ∴-=
=
，121211t t PA PB t t -∴
+==
．……10分
〔2〕又解：将直线l的方程与曲线C方程联立方程组可得两交点坐
标
31
(
22
+-
，
31
(
22
-+
，……6分
算出,
PA PB
的长度
22
，由此求得结果。

……10分
22.解析：〔1〕记在1次游戏中获奖为事件A，那么
21122
112
33233
222
222222
545454
()
1263217
606020
C C C C C
C C C
P A
C C C C C C
⋅
⋅
=⋅+⋅+⋅
++
===
答：在1次游戏中获奖的概率为
7
20
；……4分
〔2〕由题意可知X的可能取值为0,1,2，那么
02
2
7169
(0)(1)
20400
P X C
==-=
1
2
7718291
(1)(1)
2020400200
P X C
==⋅⋅-==
22
2
749
(2)()
20400
P X C
===
故X的概率分布为
……8分
数学期望
16991492807
()012
40020040040010
E X=⨯+⨯+⨯==
答：数学期望为
7
10。

……10分
23．解〔1〕{1},{2},{3}；………………2分
〔2〕该集合组不具有性质P，………………3分
例如取集合{2,3}
X=，那么
1
{2,3}
X A=，
2
{2,3}
X A=，
3
X A=∅，即找不到{1,2,3}
i∈,使}
{
}
,
{x
y
x
A
i
=
或者}
{y. ………………4分
〔3〕集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，那么i A ≠∅〔{1,2,3,,}i t ∈〕，
定义一个n 行t 列数表：
规定数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨
⎧∉∈=)
(0
)(1l l kl A k A k a .
设12,,
,t A A A 所对应的数表为数表M ,
因为集合组12,,,t A A A 为具有性质P 的集合组, 所以集合组12,,,t A A A 满足条件①和②,
由条件①：1
2t A A A A =，可得对任意x A ∈,都存在{1,2,3,,}i t ∈有i A x ∈,
所以1=xi a ,即第x 行不全为0,
所以由条件①可知数表M 中任意一行不全为0. 由条件②知,对任意的A y x ⊆},{,都至少存在一个{1,2,3,
,}i t ∈,使}{},{x y x A i = 或者}{y ,
所以yi xi a a ,一定是一个1一个0,即第x 行与第y 行的第i 列的两个数一定不同.
所以由条件②可得数表M 中任意两行不完全一样.
因为由0,1所构成的t 元有序数组一共有2t 个,去掉全是0的t 元有序数组,一共有21t
-个,又因数表M 中任意两行都不完全一样,所以5021t
≤-,
所以6t ≥.
又6t =时,由0,1所构成的6元有序数组一共有64个,去掉全是0的数组,一共63个,选择其中的
50个数组构造50行6列数表，那么数表对应的集合组满足条件①②,即具有性质P .
所以. 6t = ………………7分 因为12||||||t A A A ++
+等于表格中数字1的个数,
所以,要使12||||||t A A A +++获得最小值,只需使表中1的个数尽可能少，
而6t =时,在数表M 中,
1的个数为1的行最多6行； 1的个数为2的行最多2615C =行；
1的个数为3的行最多3
6
20C =行； 因为上述一共有41行,所以还有9行各有4个1,
所以此时表格中最少有1621532049132⨯+⨯+⨯+⨯=个1. 所以12||||||t A A A +++的最小值为132. ………………10分
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。