江苏省海门市2020学年度第一学期高三数学期中考试卷

江苏省海门市2020学年度第一学期高三数学期中考试卷
（11.21）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量(3,4)a =r ，(8,6)b =-r
，则向量a r 与b r
A ．互相平行
B ．互相垂直
C ．夹角为0
30 D ．夹角为0
60 2．已知24sin 225α=-
，,04πα⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，则sin cos αα+等于 A ．75-
B ．15-
C ．15
D ．7
5
3．已知a b c >>，0a b c ++=，当01x <<时，代数式2
ax bx c ++的值是
A ．正数
B ．负数
C ．0
D ．介于1-与0之间 4．“神六飞天，举国欢庆”，据科学计算，运载“神州”六号飞船的“长征”二号系列火箭在点火1分钟通过的路程为2km ，以后每分钟通过的路程比前一分钟增加2km ，在达到离地面240km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是
A ．10分钟
B ．13分钟
C ．15分钟
D ．20分钟 5．条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍”；条件q ：“直线l 的斜率为2-”
，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件
6．设函数2
5(1)
()1(1)
x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()1f x ≥的解集为
A ．(][],21,2-∞-U
B ．()(),20,2-∞-U
C ．(][],20,2-∞-U
D ．[][)2,02,-+∞U
7．若实数x 、y 、z 满足2
2
2
1x y z ++=，则xy yz zx ++的取值范围是
A ．[]1,1-
B ．11,2⎡
⎤
-⎢⎥⎣
⎦
C ．11,22
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
8．已知()y f x =是定义域为R 的单调函数，且12x x ≠，1λ≠-，12
1x x λαλ
+=+，
2
1
1x x λβλ
+=+，若12()()()()f x f x f f αβ-<-，则 A ．0λ< B ．0λ= C ．01λ<< D ． 1λ>
9．图像12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与函数24x
y =-的图像关于
A ．直线1x =对称
B ．点(1,0)对称
C ．直线2x =对称
D ．点(2,0)对称
10．直线l 与圆22
1x y +=
l 与两坐
标轴围成的三角形的面积等于 A ．
32 B ．12 C ．1或3 D ．12或32
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.
11．ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，若tan A 和tan B 是关于x 的方程
210x ax a +++=的两实根，则C ∠= ．
12．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()
OA OB OC ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最小值
是 ．
13．已知实数x 、y 满足约束条件10201x ay x y x --≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
()a R ∈，目标函数3z x y =+只有当
1
x y =⎧⎨
=⎩时取得最大值，则a 的取值范围是 ． 14．要得到cos(2)4
y x π
=-
的图像，且使平移的距离最短，则需将sin 2y x =的图像
即可得到．
15．假设实数1234,,,a a a a 是一个等差数列，且满足113a <<及34a =．若定义2n a
n b =，给出下列命题：①1234,,,b b b b 是一个等比数列；②12b b <；③24b >；④432b >；⑤
24256b b ⨯=．其中正确的命题序号为 ．
16．已知函数2
()44f x x =--，若0m n <<，且()()f m f n =，则mn 的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题共12分）在ABC ∆中，角A 、B 、
C 所对的边是a 、b 、c ，且222
3
2
a b c ab +-=． （1）求2
sin
cos 22
A B
C ++值 ；
（2）若2c =，求ABC ∆面积的最大值．
18．（本小题共14分）定义在()0,+∞上的函数()f x ，(]0,1x ∈时，()a
f x x x
=+(0)a >，且0x >时，(1)()f x f x +=-． （1）证明()f x 是周期函数； （2）求(]15,16x ∈时的函数解析式；
（3）当(]0,1x ∈时，()f x 最小值为1，求a 的值．
19．（本小题共14分）已知两点()()0,1,0,1N M -，且动点P 使⋅，PM ⋅，
⋅成等差数列．
（1）求点P 的轨迹C ；
（2）设A 、B 分别是直线y x =-与y x =上的两点，且是直线AB 的方向向量，直线AB 与曲线C 相切，当ABN ∆是以AB 为底边的等腰三角形时，求k 的值． 20．（本小题共14分）某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线. （1）写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式()y f t =；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗有效. ①求服药一次后治疗有效的时间是多长？
②当4t =时,第二次服药,问⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
6516
t 4，时药效能否持续？
21．（本小题共16分）已知函数[]()21f x x x ⎡⎤=+⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.13-=-，[]33-=-，[]2.52=． ⑴若[]0,3x ∈，求()f x 的值域；
⑵若[]0,()x n n N +∈∈，()f x 的值域为n A ，并用n a 表示n A 中元素的个数，试求n a 与1n a +的关系；
⑶求n a 的表达式．
[参考答案]
1、B ，
2、C ，
3、B ，
4、C ，5 、B ，6 、C ，7、D ，8、A ，9、B ，10、A 11、0
135，12、2-，13、0a >，14、向左平移8
π
单位，15、①②③⑤，16、()0,4 17、（1）Q 2
2
2
32a b c ab +-=，3
cos 4
C ∴=， L L L L 2分 由A B C π+=-，
2
221cos()1cos sin cos 22cos 12cos 1222
A B A B C
C C C +-++∴+=+-=+-1=；L L L L 6分
（2）Q 22232a b c ab +-=，且2c =，∴22
342a b ab +-=，
又2
2
2a b ab +≥Q ，8ab ∴≤， L L L L 9分
1
sin 2
ABC S ab C ∆∴=≤ L L L L 11分
当切仅当a b ==ABC ∆． L L L L 12分 18、（1）0x >Q 时，(1)()f x f x +=-，(2)((1)1)(1)()f x f x f x f x ∴+=++=-+=，
()f x ∴为周期函数且周期2T =； L L L L 3分
（2）当(]1,2x ∈时，则(]10,1x -∈，Q (]0,1x ∈时，()a
f x x x
=+
， ()()(1)11a f x f x x x ⎡
⎤∴=--=--+⎢⎥-⎣⎦， L L L L 6分 (]15,16x ∈时，(]141,2x -∈，()()(14)1515a f x f x x x ⎡
⎤∴=-=--+⎢⎥-⎣
⎦； L L 8分
（3）(]0,1x ∈时，()a
f x x x
=+
，a x x +≥=
x =， L L L L 10分
(]0,1，即01a <≤时，min ()1f x ==，即1
4
a =，L L 12分
（ⅱ）如果
1>即1a >时，可以证明()a
f x x x
=+
在(]0,1上是减函数，min ()(1)11f x f a ∴==+=，此时0a =（舍去）
1
4
a ∴=
L L L L 14分
19、（1）设),(y x P ，由)0,1(),0,1(N M -，得
),1(y x ---=-=，)0,2(),,1(=-=--=-=y x
)1(2;1);1(222x NP NM y x PN PM x MN MP -=⋅-+=⋅+=⋅∴，L L L L 3分
于是，MN MP ⋅，PN PM ⋅，NP NM ⋅成等差数列等价于
221
1[2(1)2(1)]2
x y x x +-=++-⇒223x y += L L L L 6分
所以点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆； L L L L 7分 （2）设直线AB
的方程为y b =
+，11(,)A x y 、22(,)B x y ，
Q 直线AB 与曲线C 相切，
∴
=23(1)b k =+L L ①， L L L L 9分
由y b
y x
⎧=+⎪⎨=-⎪⎩
⇒A
，同理B ， AB ∴
的中点(
)11
b E k k ----， L L L L 10分 Q ABN ∆是以AB 为底边的等腰三角形，
1NE k ∴=-
，即b =
L L ②， L L L L 12分
由①②解得k =
． L L L L 14分 20、⑴当 0t 1≤≤时，24;a y t t
=≥=
当t 1时y ， 此时(1,4)M 在曲线上,所以4a =， L L L L 2分
()()24t 0t 1()4t 1y f t t ≤≤⎧⎪
∴==⎨≥⎪⎩ L L L L 4分
⑵①因为24t 0.2511()0.25,,4164
160.254t f t t t t ⎧≥⎧
≥
⎪⎪≥∴≤≤⎨⎨≥⎪⎪≤⎩⎩
即解得， L L L L 7分 所以服药一次治疗疾病的有效时间为115
431616
-
=小时 L L L L 8分
②设1t 4,4
16⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，4小时第二次服药后,血液中含药量()g t 为第二次产生的含药量4(4)t -微克以及第一次的剩余量
()()g t 44t =-+2244
微克，即t t
， L L L L 11分 只要说明当1t 4,4
16⎡
⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()0.25g t ≥即可说明药效持续，否则不持续。

利用单调性的定义可证明()()g t 44t =-+
24t 在1t 4,416⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上是增函数。

L L L L 13分 故g t g 025≥()(4)=.
,因此当4t =时第二次服药, 1t 4,416⎡
⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
药效持续． L L L L 14分 21、⑴当[)0,1x ∈时，[]0x =，则[]0x x ⎡⎤=⎣⎦，()1f x ∴=； L L L L 1分
当[)1,2x ∈时，[]1x =，则[]12x x ≤<，()3f x ∴=； L L L L 2分 当[)2,3x ∈时，[]2x =，则[]46x x ≤<，()f x ∴可取8,11； L L L L 3分 当3x =时，[]3x =，则(3)19f =。

L L L L 4分
∴所求()f x 的值域为{}1,3,8,11,19。

L L L L 5分
⑵当[),1x n n ∈+时，
[]x n
=，则[]2
(1)n x x n n ≤<+，[]x x ⎡⎤∴⎣⎦可取
2222,1,2,,1n n n n n +++-L ；而当1x n =+时，[]2
(1)x x n ⎡⎤=+⎣⎦； 又[]0,x n ∈Q 时，显然有[]2x x n ⎡⎤≤⎣⎦
； 1n n a a n +∴=+， L L L L 10分
⑶由⑴可知，12a =，
当2n ≥时，121321()()()2(1231)n n n a a a a a a a a n -=+-+-++-=+++++-L L
2(1)(11)4
222n n n n -+--+=+= L L L L 15分
24
2
n n n a -+∴= L L L L 16分。