矩阵及其运算课后习题答案

第二章 矩阵及其运算课后习题答案
1．已知线性变换：
⎪⎩⎪
⎨⎧++=++=++=,
323,53,223213
32123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．
解
由已知：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x
故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211
221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736
947y y y ⎪⎩⎪
⎨⎧-+=-+=+--=3213
32123211423736947x
x x y x x x y x x x y 2．已知两个线性变换
⎪⎩⎪
⎨⎧++=++-=+=,
54,232,23213
3212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪
⎨⎧+-=+=+-=,
3,2,
3323
312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换． 解 由已知
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z
所以有 ⎪⎩⎪
⎨⎧+--=+-=++-=3213
32123
2111610941236z
z z x z z z x z z z x
3．设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=111111111A ,
,150421
321⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛--=B 求.23B A A AB T 及- 解 A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=150421
32111111
11113⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---1111111112
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=22942017222132
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=092650850
4．计算以下乘积：
(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛; (4)⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---⎪
⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=49635
(2)()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=
(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=632142
(4)⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---⎪
⎭⎫ ⎝⎛-20413
121013143110412⎪⎭⎫
⎝⎛---=6520876 (5)()⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32133231323221213121132
1x x x a a a a a a a a a x x x ()333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⨯321x x x
3223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=
(6) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛300032001210130130
00120010100121⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=
90003400
4210
2521
5．设⎪⎭⎫
⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫
⎝⎛=2101B ，问： (1)BA AB =吗?
(2)2
222)(B AB A B A ++=+吗?
(3)22))((B A B A B A -=-+吗? 解 (1)⎪⎭⎫
⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B . 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=64
43
AB ⎪⎭
⎫
⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴ (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭
⎫
⎝⎛=2914148
但=++2
22B AB A ⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛43
011288611483⎪⎭
⎫ ⎝⎛=27151610 故2222)(B AB A B A ++≠+ (3) =-+))((B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛10205222⎪⎭
⎫
⎝⎛9060 而 =-2
2B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎭
⎫ ⎝⎛7182
故 22))((B A B A B A -≠-+
6．举反列说明以下命题是错误的: 〔１〕假设02
=A ,则0=A ;
〔２〕假设A A =2
,则0=A 或E A =; 〔３〕假设AY AX =,且0≠A ,则Y X =. 解 (1) 取⎪⎭
⎫
⎝⎛=0010A , 02
=A ,但0≠A (2) 取⎪⎭
⎫
⎝⎛=00
11
A , A A =2
,但0≠A 且E A ≠ (3) 取⎪⎭⎫
⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭
⎫
⎝⎛=1011Y . AY AX =且0≠A 但Y X ≠. 7．设⎪⎭
⎫
⎝⎛=101λA ,求k A A A ,,,32 . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛=12011011012
λλλ
A ; ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==130110112012
3λλλA A A
利用数学归纳法证明: ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=101λk A k
当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01
101101λλλk k A A A k k
由数学归纳法原理知:⎪⎭
⎫ ⎝⎛=101λk A k
8．设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求k
A .
解 首先观察
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012
A ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=222
002012λλλλλ, ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A
由此推测 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλ
λ0002)1(1
21
)2(≥k
用数学归纳法证明:
当2=k 时,显然成立.
假设k 时成立，则1+k 时，
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++=+-+--+11
111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλ
λ0002)1(1
21
9．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵. 证明 已知：A A T =
则 AB B B A B A B B AB
B T T T T T
T T T
===)()
(
从而 AB B T 也是对称矩阵.
10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =. 证明 由已知：A A T = B B T =
充分性：BA AB =⇒A B AB T
T
=⇒)
(AB AB T
=
即AB 是对称矩阵. 必要性：AB AB
T
=)
(⇒AB A B T T =⇒AB BA =.
11．求以下矩阵的逆矩阵：
(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---145243121; (4)⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n
解 (1) ⎪⎭
⎫
⎝⎛=5221A , 1=A .
.1 ),1(2 ),1(2 ,522122111=-⨯=-⨯==A A A A
⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A . *-=A A A 11
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225
(2) 01≠=A 故1
-A 存在
θθθθ
cos sin sin cos 22122111=-===A A A A
从而 ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A
(3) 2=A , 故1
-A 存在 024
312111==-=A A A 1613
322212-==-=A A A 21432
332313-==-=A A A
故 *-=A A A 11
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=1716213213012
(4)⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=n a a a A 002
1
. 由对角矩阵的性质知 ⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-n a a a A 10011211
12．解以下矩阵方程：
(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2) ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--234311111
012
112
X ; (3) ⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; (4) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛021********
010
000
1100
001
010X .
解
(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521
X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫
⎝⎛-=80232 (2) 1
111012112234311-⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫
⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122 (3) 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=04111 (4) 1
1010100001021102341100001
010
--⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=201431012
13．利用逆矩阵解以下线性方程组:
(1) ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++;
353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2)
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=--=--.
0523,132,
2321321321x x x x x x x x x
解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x
故 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001321153522
321
1
321x x x
从而有 ⎪⎩⎪
⎨⎧===0
01321x x x
(2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-----012523312
111321x x x
故 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111
321x x x 故有 ⎪⎩⎪
⎨⎧===3
05321x x x
14．设O A k =(k 为正整数), 证明：1
21)(--++++=-k A A A E A E . 证明 一方面， )()(1
A E A E E --=-
另一方面，由O A k
=有
)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-
故 )()(1A E A E ---))((1
2A E A A A E k -++++=-
两端同时右乘1
)(--A E
就有1
21)(--++++=-k A A A E A E
15．设方阵A 满足O E A A =--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及1
)2(-+E A .
证明 由O E A A =--22
得E A A 22
=-
两端同时取行列式: 22
=-A A
即 2=-E A A ,故 0≠A . 所以A 可逆,而2
2A E A =+
022
2≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.
由O E A A =--22
E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(2
1
1E A A -=
⇒- 又由O E A A =--22
E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒ E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒
11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A
)3(4
1
)2(1A E E A -=+∴-
16．设A 为3阶矩阵，2
1=A ，求*
13)2(A A --。

解 因02
1
≠=
A ，故A 可逆，于是由
*A =1-A A =
121-A 及1)2(-A =12
1
-A , 得*13)2(A A --=121-A -12
3-A =1
--A ,
两端取行列式得*13)2(A A --=1
--A =13)1(--A =-2. 17.设矩阵A 可逆，证明其伴随阵*
A 也可逆，且*11)()(--*=A A 。

证 因*
A =1-A A ，由1
-A 的可逆性及0≠A ，可知*
A 可逆，且
111)()(---*=A A A ＝
A A
1
； 另一方面，由伴随阵的性质，有*11)(--A A =E A 1
-. 用A 左乘此式两边得*1)(-A =A A 1
-=A A
1
-=
A A
1, 比较上面两个式子，即知结论成立。

18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*
A ，证明：(1) 假设0=A ,则0=*A ; (2) 1
-*=n A A .
证明 (1) 用反证法证明．假设0≠*
A 则有E A A =-**1)(.
由此得O A E A A AA A ===-*-**11)()(O A =∴*
.
这与0≠*
A 矛盾，故当0=A 时, 有0=*A .
(2) 由于E A AA =*
取行列式得到: n
A A A =*
假设0≠A 则1
-*
=n A
A
假设0=A 由(1)知0=*
A 此时命题也成立
故有1
-*
=n A
A
19.设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-=321011
330A ,B A AB 2+=,求B . 解 由B A AB 2+=可得A B E A =-)2(
故A E A B 1
)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=-32101133012101
13321
⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=011321330 20. 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=101020011A ,且B A
E AB +=+2
,求B .
解 由方程B A E AB +=+2
，合并含有未知矩阵B 的项，得
))(()(2E A E A E A B E A -+=-=-。

又=-)(E A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛101010100，其行列式=-)det(E A -10≠,故E A -可逆，用1
)(--E A 左乘上式两边，
即得)(E A B +==⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛201030102
21.设)1,2,1(-=diag A ，E BA BA A 82*
-=，求B 。

解 由于所给矩阵方程中含有A 及其伴随矩阵*
A ，因此仍从公式*
AA =E A 着手。

为此， 用A 左乘所给方程两边，得 A ABA BA AA 82*-=，
又，B A =2AB-8E ⇒B E A )22(+=8E ⇒B E A )(+=4E.
注意到E A +=)1,1,1()1,2,1(diag diag +-=)2,1,2(-diag ,是可逆矩阵，且
1)(-+E A =)2
1
,1,21(-diag ,
于是B ＝41)(-+E A =)2,4,2(-diag .
22.已知矩阵A 的伴随阵
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=*8030010100100001A ，
且E BA ABA 311
+=--，求B 。

解 首先由*
A 来确定A ，由题18知3
A =*A =8,故A ＝2，其次化简所给矩阵
方程：E BA ABA 31
1
+=--
⇒E BA E A 3)(1=-- ⇒A B E A 3)(=-。

⇒E B A E 3)(1=--(用1-A 左乘A B E A 3)(=-式两边)
⇒E B A E 3)21(*=-(因1-A =*2
1
A )
⇒B =61*)2(--A E (因(*2A E -)可逆) ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1030060600600006 23．设Λ=-AP P 1,其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=Λ2001,求11
A .
解 Λ=-AP P 1
故1
-Λ=P P A 所以1
11
11
-Λ=P P A 3=P ⎪⎭⎫
⎝⎛-=*
1141P ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-1141311P
而 ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ1111
1120012001
故 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=313
13431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=68468327322731 24. 设Λ=P AP ,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111201111P ,⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=Λ511,求)65()(28A A E A A +-=ψ. 解 因P =-60≠,故P 可逆，且可求得
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-12130322
2611P
从而有)65()(28A A E A A +-=ψ=128)65(-Λ+Λ-ΛP E P .
又因为)65(28Λ+Λ-ΛE ＝)0,0,12()5,1,1(8diag diag ⋅=)0,0,12(diag 所以)65()(28A A E A A +-=ψ＝128)65(-Λ+Λ-ΛP E P ＝
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111201111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12130322
2002＝⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛444444444
25.设矩阵A 、B 及B A +都可逆，证明1
1--+B A 也可逆，并求其逆阵。

证 要证11
--+B A
可逆，由于无法直接寻找一个X,使〔11--+B A 〕X=E,所以，考虑把
11--+B A 用“和化积”思想表示乘可逆矩阵的乘积。

因A 、B 已及B A +都可逆，E A A AA ==--11，E B B BB ==--1
1，于是 11--+B A =11--+EB E A =1111----+AB A BB A =11)(--+B A B A =11)(--+B B A A
这样，11
--+B A 已表示成上最后一个等号三个可逆矩阵的乘积，于是1
1--+B A 可逆，由可逆矩阵的性质，
有 111)(---+B A =111))((---+B B A A =11111)()()(-----+A B A B =A B A B 1)(-+.
26.计算⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛30003200
12101301
3000120010100121
解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛300032001210130130
00120010100121＝
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---9000
3400
4210
2521
27．取⎪⎭
⎫
⎝⎛==-==1001D C B A , 验证
D C B A D C B A ≠. 检验: =D C B
A =--10100101101001011
010010100200002--41
0012002==
而
01
111==D C B A , 故 D C B A D C B
A ≠
28．设⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-=22023
4
43
O
O A ,求8A 及4A 解 ⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-=220234
43O O A ， 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A . 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A . 故8
218
⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=8281A O O A . 1682818
281810===A A A A A . ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4644
44241422025005O O A O O A A
29．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1
-⎪⎭
⎫
⎝⎛O B A O ．
解 将1
-⎪
⎭
⎫
⎝⎛O B A O 分块为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C . 其中, 1C 为n s ⨯矩阵, 2C 为s s ⨯矩阵. 3C 为n n ⨯矩阵,
4C 为s n ⨯矩阵.
则⎪⎭⎫
⎝⎛⨯⨯O B A O s s n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ==E ⎪⎭⎫
⎝
⎛s n E O O E
由此得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒==⇒==⇒==⇒=----1
22
1
111
44133)()
(B C E BC B O C O BC A O C O AC A C E AC s n 存在存在
故 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛---O A B O O B A O 1
11
． 30. 求以下矩阵的逆阵：
〔1〕⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛25
00380000120025
〔2〕⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛41
2103120021000
1 解〔1〕这里矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=21
A O
O A A 是一个分块对角矩阵，其中 1A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1225，2A ＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2538。

21 因1
1-A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5221，12-A ＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--8532，
故得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---12111A O O A A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----8500320000520021 〔2〕记所给矩阵为()ij a A =，伴随矩阵为*A ＝()ij A ，其中ij A 为ij a 的代数余子式。

令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210111A ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=410322A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211221A ，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-110221111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31
04121122A ，－11121122--A A A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---53412241 于是，由第29题之(2)的结果，得
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----1221
11211221111A A A A O A A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----62538412121224241。