2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何经典微课堂突破疑难系列2五大技法减轻解析几何中的运算量课件文北师

A.13
B.12
2
3
C.3
D.4
A [ 设 OE 的 中 点 为 N ， 如 图 ， 因 为 MF∥OE，所以有MONF＝a＋a c，MOEF＝a－a c.又因 为 OE＝2ON，所以有12＝a＋a c·a－a c，解得 a＝ 3c，e＝ac＝13，故选 A.]
[技法点津] 此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧 用三角形的相似比可简化计算．
第九章 平面解析几何
经典微课堂 突破疑难系列2：五大技法减轻解析几何中
的运算量
[命题解读] 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用 方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越 性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度， 甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步，特别是高考过程 中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重 要的方面，为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合 理简化解题过程，优化思维过程．
[示例 2] 已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过
点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E
的标准方程为( )
A.4x52 ＋3y62 ＝1
B.3x62 ＋2y72 ＝1
C.2x72 ＋1y82 ＝1
D.1x82 ＋y92＝1
[解](1)直线 AM 的斜率为 1 时，直线 AM 的方程为 y＝x＋2，代 入椭圆方程并化简得 5x2＋16x＋12＝0.
解得 x1＝－2，x2＝－65，所以 M－65，45.
(2)设直线 AM 的斜率为 k，直线 AM 的方程为 y＝k(x＋2)， y＝kx＋2，
联立方程x42＋y2＝1， 化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0. 则 xA＋xM＝－ 1＋164kk22，又 xA＝－2，则 xM＝－xA－11＋6k42k2＝2－11＋6k42k2 ＝12＋－48kk22.
[技法训练 1] 如图，F1，F2 是椭圆 C1：x42＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边 形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( )
A. 2 3
C.2
B. 3 6
D. 2
D [由已知，得 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，设双曲线 C2 的实半 轴长为 a，
由椭圆及双曲线的定义和已知，
|AF1|＋|AF2|＝4， 可得|AF2|－|AF1|＝2a，
|AF1|2＋|AF2|2＝12，
解得 a2＝2，故 a＝ 2.
所以双曲线 C2 的离心率 e＝
3＝ 2
6 2 .]
[技法突破 2] 设而不求，整体代换 设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方 法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的 灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参 数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．
D [设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， ax212＋by212＝1， ① ax222＋by222＝1， ② ①－②得x1＋x2a2x1－x2＋y1＋y2b2y1－y2＝0，
所以 kAB＝yx11－－yx22＝－ba22xy11＋＋xy22＝ba22. 又 kAB＝03＋－11＝12，所以ba22＝12. 又 9＝c2＝a2－b2，解得 b2＝9，a2＝18， 所以椭圆 E 的方程为1x82 ＋y92＝1.]
[技法突破 1] 巧用平面几何性质
[示例 1] 已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)
的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点．P 线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线
BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( )
①－②得x1＋x2a2x1－x2＋y1＋y2b2y1－y2＝0，
∴2x1a－2 x2＝－y1－b2 y2，∴kAB＝xy11－－xy22＝－2ab22＝－1，
∴a2＝2b2，∴椭圆 C 的离心率为ac＝
1－ba22＝
2 2 .]
[技法突破 3] 巧用“根与系数的关系”，化繁为简 某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离 公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点 的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关 线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．
同理，可得 xN＝2kk22＋－48. 由(1)知若存在定点，则此点必为 P－65，0. 证明如下： 因为 kMP＝xMy＋M 65＝k2121－ ＋－ ＋8484kkkk2222＋＋652＝4－5k4k2，
[技法点津] 本题设出 A，B 两点的坐标，却不求出 A，B 两点 的坐标，巧妙地表达出直线 AB 的斜率，通过将直线 AB 的斜率“算 两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．
[技法训练 2] 已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)上存在 A，B 两点 恰好关于直线 l：x－y－1＝0 对称，且直线 AB 与直线 l 的交点的横 坐标为 2，则椭圆 C 的离心率为( )
[示例 3] 已知椭圆x42＋y2＝1 的左顶点为 A，过 A 作两条互相垂 直的弦 AM，AN 交椭圆于 M，N 两点．
(1)当直线 AM 的斜率为 1 时，求点 M 的坐标； (2)当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 x 轴上的一定点？ 若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
A.13
B.
3 3
2
1
C. 2
D.2
C [由题意可得直线 AB 与直线 l 的交点为 P(2,1)，kAB＝－1， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
∵A，B 是椭圆ax22＋by22＝1 上的点， ∴ax212＋by212＝1，① ax222＋by222＝1，②