人民大2024赵树嫄《线性代数(第六版)》PPT第四章 特征值问题和矩阵的对角化
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第四章
1
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对 角化的问题。
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量
(一) 矩阵的特征值 定义 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 ， 以及一个非零 n 维列向量 ，使得
A
则称 为矩阵 A 的特征值，而 称为矩阵 A 的属于 特征值 的特征向量。
说明： 1、特征值问题是针对方阵而言的； 2、特征向量必须是非零向量； 3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。
的特征向量。
证 (2) A 0 A( A ) A(0 ) 0 ( A ) 0(0 ) ,
即 A2 20 ，
重复这个过程, 可得 A3 30 , , Am 0m .
27
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
26
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
2 1 1 解 | E A | 0 2 0
4 1 3
( 2)2( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2(二重根), 2 1 .
21
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
4 1 3
4
对
1
2 ，2 E
A
0
1 0
1 4 0 0
3
特征值与特征向量的计算方法：
A (E A) ,
即要求齐次线性方程组 (E A) x 有非零解，
即方程 | E A | 0 的根就是矩阵A的特征值，
相应非零解即为特征向量。
a11 a12
记 f () | E A |
a21
a22
a1n
a2n
,
an1 an2 ann
1 0
1 0 ,
4 1 1
0
0
0
相应齐次线性方程组的基础解系为
1 (1 , 0 , 4)T , 2 (0 , 1 , 1)T ,
因此属于特征值 1 2 的全部特征向量为
k11 k22 (k1, k2 不全为零)；
22
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
任意非零常数)
16
练习
设
A
2 0
1 1
1
0 , 求A的特征值与特征向量。
0 2 1
2 1 1 解 | E A | 0 1 0
0 2 1
( 2)( 1)( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2, 2 1, 3 1 .
17
2 1 1 | E A | 0 1 0 , 1 2, 2 1, 3 1 .
1 0 2
( 2)( 1)2 ,
所以 A 的特征值为1 2 ， 2 3 1 。
11
1 1 0
| E A | 4 3 0 , 1 2 ， 2 3 1
1 0 2
对 1 2 ，
3 1 0 1 0 0 1 0 0 2E A 4 1 0 0 1 0 0 1 0 ,
k11 k22 knr nr , 其中 k1 , k2 , , knr 为不全为零的任意数。
6
例1
设
A
3 5
11 , 求A的特征值与特征向量。
解
3 | E A |
5
1
1 2 2 3 5
( 4)( 2) 0 ,
所以A的特征值为 1 4, 2 2 .
对
1
4 ，4E
A
8 7 | E A |
1 2
1 1, 2 9 .
对
2
9 ，9E
A
1 1
7 7
1 0
07 ,
相应齐次线性方程组的基础解系为
2
7
1
,
因此属于特征值 2 9 的全部特征向量为k22(k2 0) .
10
1 1 0
例2 求矩阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量。
1 0 2
1 1 0 解 | E A | 4 3 0
1 0 0 0 1 0 0 0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为 1 (0, 0, 1)T ,
因此属于特征值1 2 的全部特征向量为 c11c1( 为
任意非零常数)
12
1 1 0
| E A | 4 3 0 , 1 2 ， 2 3 1
1 0 2
对 2 3 1，
2 1 0 1 0 1 1 0 1 E A 4 2 0 0 1 2 0 1 2 ,
4 1 3
1 1 1 1 1 1
对
2
1，
E
A
0
3
0 0
1
0 ,
4
1
4
0
0
0
相应齐次线性方程组的基础解系为
3 (1 , 0 , 1)T ,
因此属于特征值 2 1 的全部特征向量为k33 (k3 0) .
23
对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即为 主对角元。
a11 0
a12 a22
a1n a2n
0 0 ann
a11 a21
0 a22
0
0 0
an1 an2 ann
1
0020 0 Nhomakorabea0 0 n
24
(二) 特征值与特征向量的基本性质 性质1 (1) 设 是矩阵 A 的属于特征值0 的特征向量，
则对任意常数k 0 ，k 也是 A 的属于 0 的特征向量； (2) 若 , 都是 A 的属于特征值0 的特征向量， 则 k l (k , l 不全为零) 也是 A 的属于 0 的特征向量。
0 2 1
1
对
3
1，E
A
0
1 2
1 1 1 0 0 1
1 0 ,
0
2 0
0
0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为
1
3 0, 1
因此属于特征值 3 1 的全部特征向量为k33(k3 0) 。
20
练习
设
2 A 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量。
4 1 3
向量是不同的。
29
性质4 属于不同特征值的特征向量线性无关。 只证两个特征向量的情况。
证 A , A , , , ,
设 k l ，(1)
则 A(k l ) k(A ) l(A ) k l , (2)
(1) (2)消去 ,得 ( )l ,
0, , l 0,
4 2 3
1 2 4
0 2 ( 1)2( 8) , 1 2 3
所以 A 的特征值为1 2 1 ，3 8 。
14
3 2 4 | E A | 2 2 ,
4 2 3
1 2 1 ，3 8
对 1 2 1，
4 2 4 2 1 2 E A 2 1 2 0 0 0 ,
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）； (3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
的特征向量。
证 (1) A 0 (kA) k( A ) k(0 )
(k0 ) ,
即 k0 是kA 的特征值，且 仍然是相应的特征向量。
例如,矩阵A的有一个特征值为2,则 A3 2A 3E
有一个特征值 7.
1 0 1 0 2 4 0 0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为 2 (1, 2, 1)T ,
因此属于特征值2 3 1 的全部特征向量为 c2 2
( c2 为任意非零常数)
13
3 2 4
例3 求矩阵 A 2 0 2 的特征值和特征向量。
4 2 3
c1 c3
3 2 4
解 | E A | 2 2
它是的n次多项式 , 称为矩阵A的特征多项式，
4
a11 a12
记 f () | E A |
a21
a22
a1n
a2n
,
an1 an2 ann
它是的n次多项式 , 称为矩阵A的特征多项式，
称以为未知数的一元n次方程
| E A | 0
为矩阵A的特征方程。
特征方程的根，即为矩阵 A 的特征值。
证 A A(k ) k( A ) k( ) (k ) . A , A
A(k l ) kA lA k l (k l ) .
(2) 可推广到多个特征向量。 25
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
代入(1),得 k 0 , 证得 , 线性无关.
推广 属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍 线性无关。
30
例4 设0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量,
多项式 p( x) a0 a1 x as x s ,
则 p(0 ) 是矩阵多项式p( A) 的特征值， 仍为相应的特
征向量。 证略
0 2 1
0 1 1 0 1 1
对 1 2，2E A 0 3 0 0 0 1 ,
0
2
1
0
0
0
1
相应齐次线性方程组的基础解系为 1 0 ,
0
因此属于特征值1 2 的全部特征向量为 k1 1 (k1 0) ；
18
2 1 1 | E A | 0 1 0 , 1 2, 2 1, 3 1 .
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
的特征向量。
证 (3) A 0 , 设A可逆, 若 0 0 ,
则 A , , 矛盾；所以 0 0 ；
4 2 4 0 0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为
1 (1, 2, 0)T , 2 (1, 0, 1)T ,
因此属于特征值1 2 1 的全部特征向量为c11 c2 2
( c1 , c2 为不全为零的任意常数)
15
3 2 4 | E A | 2 2 ,
4 2 3
1 2 1 ，3 8
A 0 A1( A ) A1(0 ) 0 A1 ,
即 0 A1 ,
A1
1 0
.
28
性质3 矩阵 A 与它的转置 AT 有相同的特征值。 证 | E AT | | (E A)T | | E A | ,
说明 A 与 AT 有相同的特征多项式，
从而有相同的特征值。
注意： 尽管 A 和 AT 的特征值相同，但一般它们的特征
8
练习
设
A
8 1
72 , 求A的特征值与特征向量。
解
8 | E A |
1
7
2 2 10 16 7
( 1)( 9) 0 ,
所以A的特征值为 1 1, 2 9 .
对
1
1，E
A
7 1
7 1
1 0
1 0
,
相应齐次线性方程组的基础解系为 1 11 ,
因此属于特征值1 1 的全部特征向量为 k11(k1 0) ； 9
对 3 8，
5 2 4 1 4 1 1 4 1 8E A 2 8 2 0 18 9 0 2 1 ,
4 2 5 0 18 9 0 0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为 3 (2, 1, 2)T ,
因此属于特征值3 8 的全部特征向量为 c3 3c3( 为
0 2 1
3 1
对
2
1
，
E
A
0
0
1 3 1 1 0 0 1 1 ,
0
2 2
0
0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为
0
2 1 , 1
因此属于特征值2 1 的全部特征向量为k22(k2 0) ；
19
2 1 1 | E A | 0 1 0 , 1 2, 2 1, 3 1 .
5
计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：
1、求特征方程| E A | 0 的全部根，即为矩阵 A 的
全部特征值（其中可能有重根）；
2、对每一特征值i ，求出齐次线性方程组
(i E A) x
的一个基础解系1,2 , ,nr ,其中 r 为i E A 的秩； 则 A 的属于特征值i 的全部特征向量为
1 5
51
1 0
01 ,
相应齐次线性方程组的基础解系为
1
1
1
,
因此属于特征值1 4 的全部特征向量为k11(k1 0) ； 7
3 1
| E A | 5 1
1 4, 2 2 .
对
2
2， 2E
A
5 5
11
5 0
10 ,
相应齐次线性方程组的基础解系为 2 51 ,
因此属于特征值 2 2 的全部特征向量为k22 (k2 0) .
1
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对 角化的问题。
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量
(一) 矩阵的特征值 定义 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 ， 以及一个非零 n 维列向量 ，使得
A
则称 为矩阵 A 的特征值，而 称为矩阵 A 的属于 特征值 的特征向量。
说明： 1、特征值问题是针对方阵而言的； 2、特征向量必须是非零向量； 3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。
的特征向量。
证 (2) A 0 A( A ) A(0 ) 0 ( A ) 0(0 ) ,
即 A2 20 ，
重复这个过程, 可得 A3 30 , , Am 0m .
27
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
26
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
2 1 1 解 | E A | 0 2 0
4 1 3
( 2)2( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2(二重根), 2 1 .
21
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
4 1 3
4
对
1
2 ，2 E
A
0
1 0
1 4 0 0
3
特征值与特征向量的计算方法：
A (E A) ,
即要求齐次线性方程组 (E A) x 有非零解，
即方程 | E A | 0 的根就是矩阵A的特征值，
相应非零解即为特征向量。
a11 a12
记 f () | E A |
a21
a22
a1n
a2n
,
an1 an2 ann
1 0
1 0 ,
4 1 1
0
0
0
相应齐次线性方程组的基础解系为
1 (1 , 0 , 4)T , 2 (0 , 1 , 1)T ,
因此属于特征值 1 2 的全部特征向量为
k11 k22 (k1, k2 不全为零)；
22
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
任意非零常数)
16
练习
设
A
2 0
1 1
1
0 , 求A的特征值与特征向量。
0 2 1
2 1 1 解 | E A | 0 1 0
0 2 1
( 2)( 1)( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2, 2 1, 3 1 .
17
2 1 1 | E A | 0 1 0 , 1 2, 2 1, 3 1 .
1 0 2
( 2)( 1)2 ,
所以 A 的特征值为1 2 ， 2 3 1 。
11
1 1 0
| E A | 4 3 0 , 1 2 ， 2 3 1
1 0 2
对 1 2 ，
3 1 0 1 0 0 1 0 0 2E A 4 1 0 0 1 0 0 1 0 ,
k11 k22 knr nr , 其中 k1 , k2 , , knr 为不全为零的任意数。
6
例1
设
A
3 5
11 , 求A的特征值与特征向量。
解
3 | E A |
5
1
1 2 2 3 5
( 4)( 2) 0 ,
所以A的特征值为 1 4, 2 2 .
对
1
4 ，4E
A
8 7 | E A |
1 2
1 1, 2 9 .
对
2
9 ，9E
A
1 1
7 7
1 0
07 ,
相应齐次线性方程组的基础解系为
2
7
1
,
因此属于特征值 2 9 的全部特征向量为k22(k2 0) .
10
1 1 0
例2 求矩阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量。
1 0 2
1 1 0 解 | E A | 4 3 0
1 0 0 0 1 0 0 0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为 1 (0, 0, 1)T ,
因此属于特征值1 2 的全部特征向量为 c11c1( 为
任意非零常数)
12
1 1 0
| E A | 4 3 0 , 1 2 ， 2 3 1
1 0 2
对 2 3 1，
2 1 0 1 0 1 1 0 1 E A 4 2 0 0 1 2 0 1 2 ,
4 1 3
1 1 1 1 1 1
对
2
1，
E
A
0
3
0 0
1
0 ,
4
1
4
0
0
0
相应齐次线性方程组的基础解系为
3 (1 , 0 , 1)T ,
因此属于特征值 2 1 的全部特征向量为k33 (k3 0) .
23
对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即为 主对角元。
a11 0
a12 a22
a1n a2n
0 0 ann
a11 a21
0 a22
0
0 0
an1 an2 ann
1
0020 0 Nhomakorabea0 0 n
24
(二) 特征值与特征向量的基本性质 性质1 (1) 设 是矩阵 A 的属于特征值0 的特征向量，
则对任意常数k 0 ，k 也是 A 的属于 0 的特征向量； (2) 若 , 都是 A 的属于特征值0 的特征向量， 则 k l (k , l 不全为零) 也是 A 的属于 0 的特征向量。
0 2 1
1
对
3
1，E
A
0
1 2
1 1 1 0 0 1
1 0 ,
0
2 0
0
0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为
1
3 0, 1
因此属于特征值 3 1 的全部特征向量为k33(k3 0) 。
20
练习
设
2 A 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量。
4 1 3
向量是不同的。
29
性质4 属于不同特征值的特征向量线性无关。 只证两个特征向量的情况。
证 A , A , , , ,
设 k l ，(1)
则 A(k l ) k(A ) l(A ) k l , (2)
(1) (2)消去 ,得 ( )l ,
0, , l 0,
4 2 3
1 2 4
0 2 ( 1)2( 8) , 1 2 3
所以 A 的特征值为1 2 1 ，3 8 。
14
3 2 4 | E A | 2 2 ,
4 2 3
1 2 1 ，3 8
对 1 2 1，
4 2 4 2 1 2 E A 2 1 2 0 0 0 ,
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）； (3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
的特征向量。
证 (1) A 0 (kA) k( A ) k(0 )
(k0 ) ,
即 k0 是kA 的特征值，且 仍然是相应的特征向量。
例如,矩阵A的有一个特征值为2,则 A3 2A 3E
有一个特征值 7.
1 0 1 0 2 4 0 0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为 2 (1, 2, 1)T ,
因此属于特征值2 3 1 的全部特征向量为 c2 2
( c2 为任意非零常数)
13
3 2 4
例3 求矩阵 A 2 0 2 的特征值和特征向量。
4 2 3
c1 c3
3 2 4
解 | E A | 2 2
它是的n次多项式 , 称为矩阵A的特征多项式，
4
a11 a12
记 f () | E A |
a21
a22
a1n
a2n
,
an1 an2 ann
它是的n次多项式 , 称为矩阵A的特征多项式，
称以为未知数的一元n次方程
| E A | 0
为矩阵A的特征方程。
特征方程的根，即为矩阵 A 的特征值。
证 A A(k ) k( A ) k( ) (k ) . A , A
A(k l ) kA lA k l (k l ) .
(2) 可推广到多个特征向量。 25
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
代入(1),得 k 0 , 证得 , 线性无关.
推广 属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍 线性无关。
30
例4 设0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量,
多项式 p( x) a0 a1 x as x s ,
则 p(0 ) 是矩阵多项式p( A) 的特征值， 仍为相应的特
征向量。 证略
0 2 1
0 1 1 0 1 1
对 1 2，2E A 0 3 0 0 0 1 ,
0
2
1
0
0
0
1
相应齐次线性方程组的基础解系为 1 0 ,
0
因此属于特征值1 2 的全部特征向量为 k1 1 (k1 0) ；
18
2 1 1 | E A | 0 1 0 , 1 2, 2 1, 3 1 .
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
的特征向量。
证 (3) A 0 , 设A可逆, 若 0 0 ,
则 A , , 矛盾；所以 0 0 ；
4 2 4 0 0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为
1 (1, 2, 0)T , 2 (1, 0, 1)T ,
因此属于特征值1 2 1 的全部特征向量为c11 c2 2
( c1 , c2 为不全为零的任意常数)
15
3 2 4 | E A | 2 2 ,
4 2 3
1 2 1 ，3 8
A 0 A1( A ) A1(0 ) 0 A1 ,
即 0 A1 ,
A1
1 0
.
28
性质3 矩阵 A 与它的转置 AT 有相同的特征值。 证 | E AT | | (E A)T | | E A | ,
说明 A 与 AT 有相同的特征多项式，
从而有相同的特征值。
注意： 尽管 A 和 AT 的特征值相同，但一般它们的特征
8
练习
设
A
8 1
72 , 求A的特征值与特征向量。
解
8 | E A |
1
7
2 2 10 16 7
( 1)( 9) 0 ,
所以A的特征值为 1 1, 2 9 .
对
1
1，E
A
7 1
7 1
1 0
1 0
,
相应齐次线性方程组的基础解系为 1 11 ,
因此属于特征值1 1 的全部特征向量为 k11(k1 0) ； 9
对 3 8，
5 2 4 1 4 1 1 4 1 8E A 2 8 2 0 18 9 0 2 1 ,
4 2 5 0 18 9 0 0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为 3 (2, 1, 2)T ,
因此属于特征值3 8 的全部特征向量为 c3 3c3( 为
0 2 1
3 1
对
2
1
，
E
A
0
0
1 3 1 1 0 0 1 1 ,
0
2 2
0
0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为
0
2 1 , 1
因此属于特征值2 1 的全部特征向量为k22(k2 0) ；
19
2 1 1 | E A | 0 1 0 , 1 2, 2 1, 3 1 .
5
计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：
1、求特征方程| E A | 0 的全部根，即为矩阵 A 的
全部特征值（其中可能有重根）；
2、对每一特征值i ，求出齐次线性方程组
(i E A) x
的一个基础解系1,2 , ,nr ,其中 r 为i E A 的秩； 则 A 的属于特征值i 的全部特征向量为
1 5
51
1 0
01 ,
相应齐次线性方程组的基础解系为
1
1
1
,
因此属于特征值1 4 的全部特征向量为k11(k1 0) ； 7
3 1
| E A | 5 1
1 4, 2 2 .
对
2
2， 2E
A
5 5
11
5 0
10 ,
相应齐次线性方程组的基础解系为 2 51 ,
因此属于特征值 2 2 的全部特征向量为k22 (k2 0) .