2020-2021学年北师大版数学选修2-2课件：第三章 1.2 函数的极值

[双基自测] 1．关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A．导数为零的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值 C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值 D．若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数
解析：导数为零的点不一定是极值点，如 f(x)＝x3，f′(0)＝0，但 x ＝0 不是极值点．极小值不一定小于极大值．f(x)在定义域内可能有 多个极值点．
1．2 函数的极值
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
[自主梳理]
一、函数的极值的有关概念 1．在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一点的函数值都小于 x0 点 的函数值，称点 x0 为函数 y＝f(x)的_极__大__值__点_，其函数值 f(x0)为函数的_极__大__值___． 在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一点的函数值都大于 x0 点的 函数值，称点 x0 为函数 y＝f(x)的极__小__值__点__，其函数值 f(x0)为函数的_极__小__值___． 极大值与极小值统称为__极__值____，极大值点与极小值点统称为_极__值__点___．
1．求下列函数的极值：
(1)y＝x2－7x＋6；(2)y＝x3－27x. 解析：(1)y′＝2x－7，令 y′＝0，得 x＝72.
当 x 变化时，y′，y 的变化情况见下表：
x (－∞，72)
7 2
y′ －
0
y
－245
∴当 x＝72时，y 有极小值，且 y 极小值＝－245.
(72，＋∞) ＋
(2)y′＝3x2－27，令 y′＝0，得 x＝－3 或 x＝3.
0
－
f(x)
极大值
故当 x＝e 时函数取得极大值，且 f(e)＝1e.
求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数 为零的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则有极值；否则，没有极值．例 如本例(1)中虽有 f′(0)＝0，但由于其两侧的导数值的符号相同，所以 x＝0 不是 函数的极值点．另外，在求函数的极值前，一定要首先研究函数的定义域，在定 义域的前提下研究极值．
二、求函数 y＝f(x)的极值点的步骤 1．求出导数 f′(x)． 2．解方程 f′(x)＝0. 3．对于方程 f′(x)＝0 的每一个解 x0，分析 f′(x)在 x0 左、右两侧的符号(即 f(x) 的单调性)，确定极值点： (1)若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左正右负”，则 x0 为极__大__值__点__； (2)若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左负右正”，则 x0 为_极_小 __值__点__； (3)若 f′(x)在 x0 两侧的符号相同，则 x0_不__是__极_ 值点__.
2．结论：如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的， 则___x_0____是极大值点，__f_(_x_0)___是极大值． 如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则___x_0____ 是极小值点，__f_(_x_0)___是极小值．
当 x 变化时，y′，y 的变化情况见下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,3) 3 (3，＋∞)
y′
＋
0－
0
＋
y
54
－54
∴当 x＝－3 时，y 有极大值，且 y 极大值＝54；当 x＝3 时，y 有极小值， 且 y 极小值＝－54.
探究二 已知函数极值求参数的值 [例 2] 已知函数 f(x)＝ax3＋bx2，当 x＝1 时，有极大值 3. (1)求 a，b 的值；(2)求函数 y＝f(x)的极小值．
不是极值
极小值
故当 x＝3 时函数取得极小值，且 f(3)＝－22.
(2)函数
f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且
f′(x)＝1－xl2n
x .
令 f′(x)＝1－xl2n x＝0，
得 x＝e.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋
答案：D
2．函数 f(x)＝x3＋3x2＋3x－a 的极值点的个数是( )
A．2
B．1
C．0
D．由 a 确定
解析：∵f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0 恒成立，∴函数 f(x)在 R 上单调递增，无极值点x2＋(a＋6)x＋1 有极大值和极小值， 则实数 a 的取值范围是_{_a_|a_＜__－__3 或 a＞6} ．
解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立 字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题．
2．已知函数 f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数 f′(x)为偶函数，且曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为 4－c. (1)确定 a，b 的值； (2)若 c＝3，判断 f(x)的单调性； (3)若 f(x)有极值，求 c 的取值范围． 解析：(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c， 由 f′(x)为偶函数，知 f′(－x)＝f′(x)， 即 2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以 a＝b. 又 f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故 a＝1，b＝1.
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，若函数 f(x)有极大值和极小值，则 f′(x)有两个零点，令 f′(x)＝0，则 Δ＝(2a)2－4×3(a＋6)＞0，解得 a＜－3 或 a＞6.
探究一 求函数的极值 [例 1] 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x4－4x3＋5； (2)f(x)＝lnxx.
[解析] (1)∵当 x＝1 时，函数有极大值 3， f′(x)＝3ax2＋2bx， ∴ff′1＝1＝3. 0 ∴3aa＋＋b2＝b＝3. 0， 解得 a＝－6，b＝9.
(2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)． 当 f′(x)＝0 时，x＝0 或 x＝1. 当 f′(x)＞0 时，0＜x＜1； 当 f′(x)＜0 时，x＜0 或 x＞1. ∴函数 f(x)＝－6x3＋9x2 的极小值为 f(0)＝0.
[解析] (1)因为 f(x)＝x4－4x3＋5，
所以 f′(x)＝4x3－12x2
＝4x2(x－3)．
令 f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得 x1＝0，x2＝3. 当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) －
0
－
0
＋
f(x)