1-1知能提升演练

1-1知能提升演练
⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π6，y ′＝y ，故是向左平移π6个单位． 答案 A
3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y
后，曲线C 变为曲线x ′2
＋4y ′2＝1，则曲线C 的方程为
( )． A ．25x 2＋36y 2＝1
B ．9x 2＋100y 2＝1
C ．10x ＋24y ＝1 D.225x 2＋89
y 2＝1 解析 将⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y
代入x ′2＋4y ′2＝1，得25x 2＋36y 2＝1，为所求曲线C 的方程．
答案 A
4．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )．
A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13
y ′ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y C.⎩⎨⎧x ＝2x ′y ＝3y ′
D.⎩⎨⎧x ′＝2x y ′＝3y 解析 设⎩⎨⎧x ′＝λx y ′＝uy
代入第二个方程y ′＝sin x ′得uy ＝sin λx ，即y ＝1u sin λ
x ，比较系数可得⎩⎪⎨⎪⎧u ＝13λ＝2
. 答案 B
二、填空题
5．在△ABC 中，B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方
程为____________________________．
解析 ∵△ABC 的周长为10，
∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，
即有|AB |＋|AC |＝6>4.
∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两项两点，
且2a ＝6，2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.
∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25
＝1 (y ≠0)． 答案 x 29＋y 25
＝1 (y ≠0) 6．在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y
后的图形所对应的方程是____________．
解析 代入公式，比较可得x ′24＋y ′29
＝1. 答案 x ′24＋y ′29
＝1 7．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝y
后，曲线C 变为曲线x ′2
＋9y ′2＝9，则曲线C 的方程是__________．
答案 x 2＋y 2＝1
8．在同一平面直角坐标系中，使曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变
换是____________________________．
答案 ⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y 三、解答题
9．已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB
上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．
解 (代入法)设A (a ，0)，B (0，b )，M (x ，y )，
∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.
①
M 分AB →的比为12.
∴⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12
b 1＋12＝13b .⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y . ②
将②式代入①式，化简为x 216＋y 24
＝1. 10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝y
后，曲线C 变为曲线x ′2－9y ′2＝9，求曲线C 的方程．
解 直接代入得曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.
11．(图形伸缩变换与坐标变换之间的联系)阐述由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换．
解 y ＝tan x 的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12
，得到y ＝tan 2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan 2x .
设y ′＝3tan 2x ′，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0y ′＝μy ，μ>0
. 将其代入y ′＝3tan 2x ′得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝3λ＝12
， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝3y
.。