2020-2021学年湖北省黄石市大冶市九年级(上)期末数学试卷-解析版

2020-2021学年湖北省黄石市大冶市九年级（上）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.−7的相反数是()
C. 7
D. 1
A. −7
B. −1
7
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
3.天文单位是天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球与太阳之间的平
均距离，即149597870700m，约为149600000km.将数149600000用科学记数法表示为()
A. 14.96×107
B. 1.496×107
C. 14.96×108
D. 1.496×108
4.下列运算中，正确的是()
A. a6÷a3=a2
B. a2⋅a3=a6
C. (a2)3=a6
D. 3a3−2a2=a
5.函数y=√x+5中，自变量x的取值范围是()
A. x≤−5
B. x≠−5
C. x>−5
D. x≥−5
6.不等式组{2x<6
x+1≥−4的解集是()
A. −5≤x<3
B. −5<x≤3
C. x≥−5
D. x<3
7.在平面直角坐标系中.点A为(3,2)，连接OA并把线段OA绕原点O逆时针旋转90°，
所得到的对应点A′的坐标为()
A. (2,3)
B. (2,−3)
C. (−3,2)
D. (−2,3)
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别
是AB，BC，CA的中点，若CD=5cm，则EF为()
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
9.如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB=50°，
则∠ADC的度数()
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 25°
10.二次函数y=−x2+bx+c的图象如图所示，若点A(−1,y1)，
是()
A. y1>y2>y3
B. y2>y1>y3
C. y3>y1>y2
D. y3>y2>y1
二、填空题（本大题共8小题，共27.0分）
11.√8−(−1
2
)−4+|3−2√2|=______．
12.因式分解：4mn−mn3=______ ．
13.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，BC⏜的长是4π
3
，
则⊙O的半径是______．
14.大冶市现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位
同学参加全市汉字听写大赛，则恰好选中一男一女两位同学参赛的概率是______ ．
15.已知二次函数y=ax2−2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是______．
16.如图，面积为6的矩形OABC的顶点B在反比例函数y=k
x
(x<0)的图象上，则k=______．
17.如图，在△ABC中，AB=4，若将△ABC绕点B顺时针旋转60°，点A的对应点为
点A′，点C的对应点为点C′，点D为A′B的中点，连接AD.则
点A的运动路径与线段AD、A′D围成的阴影部分面积是
______．
18.如图，D是等边三角形ABC外一点，AD=3，CD=2，则
BD的最大值是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共62.0分）
19.先化简，再求值：(x
x−1−1)÷x2+2x+1
x2−1
，其中x=√2−1．
20.如图，点B为AC上一点，AD//CE，∠ADB=∠CBE，BD=EB．
求证：(1)△ABD≌△CEB；
(2)AC=AD+CE．
21.已知关于x的一元二次方程x2−6x+(4m+1)=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1−x2|=4，求m的值．
22.为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困
户中随机抽取了部分贫困户进行了调查(把调查结果分为四个等级：A级：非常满意：B级满意；C级：基本满意：D级：不满意)，并将调查结果绘制成如两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解决下列问题：
(1)本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是______；
(2)图①中，∠α的度数是______，并把图②条形统计图补充完整；
(3)某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常
满意的户数约为多少户？
23.2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养
殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
(1)求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
(2)若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到
4200元？
24.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接
圆⊙O相交于点D、过D作直线DG//BC．
(1)求证：DG是⊙O的切线；
(2)求证：DE=CD；
(3)若DE=2√5，BC=8，求⊙O的半径．
25.如图，抛物线y=ax2−2x+c(a≠0)与直线y=x+3交于A、C两点，与x轴交
于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一动点，且在直线AC下方，当△ACP的面积为6时，求点P的
坐标；
(3)D为抛物线上一点，E为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A，C，D，E为
顶点的四边形为平行四边形时点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了相反数的意义，属于基础题．
根据相反数的概念解答即可．
【解答】
解：−7的相反数为7，
故选C．
2.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D
【解析】解：将数149600000用科学记数法表示为1.496×108．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值⩾1时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：A、a6÷a3=a3，此选项错误；
B、a2⋅a3=a5，此选项错误；
C、(a2)3=a6，此选项正确；
D、3a3与2a2不是同类项，不能合并，此选项错误；
故选：C．
根据同底数幂的除法、乘法、幂的乘方及合并同类项法则逐一计算可得．
本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、乘法、幂的乘方及合并同类项法则．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】
解：根据题意得，x+5≥0，
解得x≥−5．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：{2x<6 ①
x+1≥−4 ②
，由①得，x<3，由②得，x≥−5，
故不等式组的解集为：−5≤x<3．
故选：A．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，
把△OAB绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△OA′B′，则A′B′=AB=3，OB′=OB=2，∠OB′A′=∠OBA=90°，
所以点A′的坐标为(−2,3)．
故选：D．
先构建Rt△OAB，再把△OAB绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△OA′B′，根据旋转的性质得到A′B′=AB=3，OB′=OB=2，∠OB′A′=∠OBA=90°，然后写出A′点的坐标．本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.通过把线段旋转的问题转化为直角三角形的性质解决问题．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∴E，F分别是BC，CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=1
2AB=1
2
×10=5cm．
故选：A．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵OA⊥BC，
∴AC⏜=AB⏜，
故选D．
先根据垂径定理由OA⊥BC得到AC⏜=AB⏜，然后根据圆周角定理计算即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
先根据图象得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后比较三个点离对称轴的远近即可得
到y1、y2、y3的大小关系．
【解答】
解：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)，所以点C与对称轴的距离最大，点B到对称轴的距离最小，
因为抛物线开口向下，
所以y2>y1>y3
故选B．
11.【答案】−13
【解析】解：原式=2√2−16+3−2√2=−13，
故答案为：−13
原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】mn(2+n)(2−n)
【解析】解：原式=mn(4−n2)=mn(2+n)(2−n)，
故答案为：mn(2+n)(2−n)
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.【答案】2
【解析】解：连接OB、OC．
∵∠BOC=2∠BAC=120°，BC⏜的长是4π
3
，
∴120⋅π⋅r
180=4π
3
，
∴r=2，
故答案为2．
连接OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可；
本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属于中考常考题型．
14.【答案】2
3
【解析】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中一男一女两位同学参赛的结果有8个，
∴恰好选中一男一女两位同学参赛的概率为8
12=2
3
，
故答案为：2
3
．
画树状图，共有12个等可能的结果，恰好选中一男一女两位同学参赛的结果有8个，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】1
【解析】解：∵二次函数y=ax2−2x+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴b2−4ac=4−4a=0，
故答案为1．
由抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点，得到b2−4ac=0，即可求出a的值．本题考查了抛物线和x轴的交点问题．关键是根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到a的方程．
16.【答案】−6
【解析】解：∵面积为6的矩形OABC的顶点B在反比例函数y=k
x
(x<0)的图象上，∴|k|=6，k=±6，
∵反比例函数y=k
x
(x<0)的图象经过第二象限，
∴k=−6．
故答案为：−6．
根据反比例函数系数k的几何意义可得|k|=6，再根据函数所在的象限确定k的值．
本题主要考查了反比例函数y=k
x
中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
17.【答案】8π
3
−2√3
【解析】解：连接AA′，由题意△BAA′是等边三角形．
∵BD=DA′，
∴S△ADB=1
2S△ABA′=1
2
×√3
4
×42=2√3，
∴S
阴=S
扇形BAA′
−S△ABD=60⋅π⋅42
360
−2√3=8π
3
−2√3．
故答案为8π
3
−2√3．
连接AA′，由题意△BAA′是等边三角形．根据S阴=S扇形BAA′−S△ABD计算即可．
本题考查轨迹，扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】5
【解析】解：以CD为边作等边△DCE，连接AE．
∵BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
{BC=AC
∠BCD=∠ACE CD=CE
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴BD=AE，
在△ADE中，
∵AD=3，DE=CD=2，
∴AE≤AD+DE，
∴AE≤5，
∴AE的最大值为5，
∴BD的最大值为5．
故答案为：5．
以CD为边作等边△DCE，连接AE.利用全等三角形的性质证明BD=AE，利用三角形的三边关系即可解决问题；
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：原式=(x
x−1−x−1
x−1
)÷(x+1)2
(x+1)(x−1)
=
1
x−1
×
x−1
x+1
=1
x+1
，
当x=√2−1时，原式=
√2−1+1=√2
2
．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．20.【答案】证明：(1)∵AD//CE，
∴∠A=∠C，
在△ABD与△CEB中，{∠A=∠C
∠ADB=∠CBE BD=EB
，
∴△ABD≌△CEB(AAS)；
(2)∵△ABD≌△CEB，
∴AD=BC，AB=CE，
∵AC=AB+BC，
∴AC=AD+CE．
【解析】(1)根据平行线的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−6x+(4m+1)=0有实数根，
∴△=(−6)2−4×1×(4m+1)≥0，
解得：m≤2．
(2)∵方程x2−6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，
∵|x1−x2|=4，
∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=42，即36−16m−4=16，
解得：m=1．
【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有实数根”；(2)利用根与系数的关系结合|x1−x2|=4，找出关于m的一元一次方程．
(1)根据方程的系数，结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
(2)由根与系数的关系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，结合|x1−x2|=4可得出关
于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
22.【答案】60户54°
【解析】解：(1)由图表信息可知本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数=21÷35%=60(户)
故答案为：60户；
×360°=54°；C级户数为：60−9−21−9=21(户)，(2)图1中，∠α的度数=9
60
补全条形统计图如图2所示：
故答案为：54°；
×10000=1500(户)．
(3)估计非常满意的人数约为9
60
(1)由B级别户数及其对应百分比可得答案；
(2)求出A级对应百分比可得∠α的度数，再求出C级户数即可把图2条形统计图补充完整；
(3)利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】解：(1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意，得：2500(1+x)2=3600，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(舍去)．
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．
(2)3600×(1+20%)=4320(元)，
4320>4200．
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
【解析】(1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论；
(2)根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入=2018年该贫困户的家庭年人均纯收入×(1+增长率)，可求出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与4200比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD=∠CAD，
∴BD⏜=CD⏜，
∴OD⊥BC，BH=CH，
∵DG//BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
(2)证明：连接BD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠DBC=∠BAD，
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE，
即∠BED=∠DBE，
∴BD=DE，
∵BD⏜=CD⏜，
∴BD =CD ，
∴DE =CD ；
(3)解：连接OD ，OB ，如图，
由(1)得OD ⊥BC ，BH =CH ，
∵BC =8，
∴BH =CH =4，
∵DE =2√5，BD =DE ，
∴BD =2√5，
在Rt △BHD 中，BD 2=BH 2+HD 2，
∴(2√5)2=42+HD 2，解得：HD =2，
在Rt △BHO 中，
r 2=BH 2+(r −2)2，解得：r =5．
【解析】(1)连接OD 交BC 于H ，根据圆周角定理和切线的判定即可证明；
(2)连接BD ，由点E 是△ABC 的内心，得到∠ABE =∠CBE ，∠DBC =∠BAD ，推出∠BED =∠DBE ，根据等角对等边得到BD =DE ，即可得到结论；
(3)根据垂径定理和勾股定理即可求出结果．
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
25.【答案】解(1)在y =x +3中，令x =0得y =3，令y =0得x =−3，
∴C(0,3)，A(−3,0)，
∵抛物线y =ax 2−2x +c(a ≠0)过A 、C 两点，
∴代入得{3=c 0=9a +6+c ，解得{a =−1c =3
， ∴抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3；
(2)如答图1：
过P 作PQ//y 轴交直线AC 于Q ，
设P(m,−m 2−2m +3)，则Q(0,m +3)，
∴PQ =(m +3)−(−m 2−2m +3)=m 2+3m ，
∴S △ACP =S △AQP −S △CQP =12PQ ⋅|x A −x C |， 而C(0,3)，A(−3,0)，S △ACP =6，
∴12(m 2+3m)×3=6，
解得m =1或m =−4，
∴P(1,0)或(−4,5)；
(3)∵D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3的对称轴为x =−1，
∴设D(n,−n 2−2n +3)，E(−1,t)，且A(−3,0)，C(0,3)，
以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形，而平行四边形两条对角线的中点重合，分三种情况：
①AD 、CE 为对角线时，AD 的中点坐标为(
n−32,−n 2−2n+32)，CE 的中点为(−12,t+32)，
∴{n −3=−1−n 2−2n +3=t +3，解得n =2， ∴−n 2−2n +3=−5，
∴D(2,−5)，
②AC 、DE 为对角线，则AC 的中点与DE 中点重合，
同理可得{−3+0=n −10+3=−n 2−2n +3+t
，解得n =−2， ∴−n 2−2n +3=3，
∴D(−2,3)，
③AE 、CD 为对角线，则AE 、CD 的中点重合，
可得{−3−1=n +0t +0=−n 2−2n +3+3
，解得n =−4， ∴−n 2−2n +3=−5，
∴D(−4,−5)，
综上所述，以A ，
C ，
D ，
E 为顶点的四边形为平行四边形，D 坐标为：(2,−5)或(−2,3)或(−4,−5)．
【解析】(1)求出A 、C 坐标代入y =ax 2−2x +c 可得抛物线解析式；
(2)设P 横坐标为m ，用m 的代数式表示△ACP 的面积列方程即可得答案；
(3)平行四边形两条对角线的中点重合，设坐标表示出每条对角线中点，分情况讨论即可．
本题考查二次函数综合应用，难度较大，解题的关键是设点的坐标，表示线段长度，根据面积、平行四边形性质列方程．。