2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(北京卷)

绝密★本科目考试启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数
学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题
共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A ={x |–2x 1}，B={x |x –1或x 3}，则A B =
（A ）{x |–2x –1}（B ）{x |–2x 3}（C ）{x |–1x 1}
（D ）{x |1x 3}
（2）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
（A ）（–∞，1）（B ）（–∞，–1）（C ）（1，+∞）
（D ）（–1，+∞）
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s
值为
（A ）2（B ）
32
（C ）
53
（D ）
85
（4）若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，，，则x +2y 的最大值为
（A ）1
（B ）3
（C ）5
（D ）9
（5）已知函数1()3(3
x x
f x =-，则()
f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数
（D ）是偶函数，且在R 上是减函数
（6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的
（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A ）3（B ）（C ）（D ）2
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的
原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N
最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033（B ）1053（C ）1073
（D ）1093
第二部分（非选择题
共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若双曲线2
2
1y x m
-=，则实数m =_________.
（10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则
2
2
a b =_______.（11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），
则|AP |的最小值为___________.
（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若
1
sin 3
α=
，则cos()αβ-=___________.（13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，
c 的值依次为______________________________．
（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵
坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.
①记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________.②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是
_________.
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）
在△ABC 中，A ∠=60°，c =3
7
a .（Ⅰ）求sin C 的值；
（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.
（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在
线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD，AB=4．
（I）求证：M为PB的中点；
（II）求二面角B-PD-A的大小；
（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
（17）（本小题13分）
为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
（18）（本小题14分）
已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）.过点（0，
1
2
）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.
（19）（本小题13分）
已知函数f （x ）=e x cos x −x .
（Ⅰ）求曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，
π
2
]上的最大值和最小值.（20）（本小题13分）
设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记
1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，
其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．
（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，
n
c M n
>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数
学（理）（北京卷）答案
一、（1）A （2）B （3）C （4）D （5）A （6）A
（7）B
（8）D
二、（9）2（10）1（11）1
（12）79
-
（13）1,2,3---（答案不唯一）（14）Q 1
p 2
三、
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，
所以由正弦定理得sin 3333
sin 7214c A C a =
=⨯=
.（Ⅱ）因为7a =，所以3
737
c =⨯=.
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2221
73232
b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.
所以△ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯⨯.
（16）（共14分）
解：（I ）设,AC BD 交点为E ，连接ME .
因为PD ∥平面MAC ，平面MAC 平面PBD ME =，所以PD ME ∥.因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点.
（II ）取AD 的中点O ，连接OP ，OE .因为PA PD =，所以OP AD ⊥.
又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD .因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP OE ⊥.因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥.
如图建立空间直角坐标系O xyz -
，则P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，
(4,4,0)BD =-
，(2,0,PD =
.
设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则00
BD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
n n
，即440
20x y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩.令1x =，则1y =
，z =
.
于是=n .
平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1cos ,||||2
⋅==<>n p n p n p .
由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为
3
π
.（III ）由题意知2(1,2,2M -，(2,4,0)D ，2
(3,2,2
MC =- .
设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则||26
sin |cos ,|9||||
MC MC MC α⋅===
<>n n n .
所以直线MC 与平面BDP
所成角的正弦值为9
.（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为15
0.350
=.（Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.
211
22222
222
444C C C C 121(0),(1)(2)C 6C 3C 6
P P P ξξξ=========.所以ξ的分布列为
ξ
012
P
16231
6故ξ的期望121
()0121636
E ξ=⨯+⨯+⨯=.
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差.
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）由抛物线C ：22y px =过点P （1，1），得12
p =.所以抛物线C 的方程为2y x =.抛物线C 的焦点坐标为（
14，0），准线方程为1
4
x =-.（Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为1
2
y kx =+（0k ≠），l 与抛物线C 的交点为11(,)M x y ，22(,)N x y .
由212y kx y x ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩
，得224(44)10k x k x +-+=.则1221k x x k -+=
，122
1
4x x k =.因为点P 的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为11(,)x y .直线ON 的方程为22y y x x =，点B 的坐标为2112
(,)y y
x x .因为211221121122
22y y y y y y x x y x x x +-+
-=122112
2
11
()()222kx x kx x x x x +++-=
122121
(22)()
2k x x x x x -++=
222
11(22)42k k k k x --⨯+=0=，
所以21
112
2y y y x x +
=.故A 为线段BM 的中点.
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=.又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（
Ⅱ
）
设
()e (cos sin )1
x h x x x =--，则
()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-.
当π
(0,)2
x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,2
上单调递减.
所以对任意π(0,]2
x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π[0,2
上单调递减.
因此()f x 在区间π[0,]2
上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ(22
f =-
.（20）（共13分）
解：（Ⅰ）111110,
c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，
3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.
当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减.
所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=- .所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-，所以{}n c 是等差数列.
（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则
12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--.
所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨
-≤⎩当时，
当时，
①当10d >时，取正整数2
1
d m d >
，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-.此时，12,,,m m m c c c ++ 是等差数列.②当10d =时，对任意1n ≥，
1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).
n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列.③当10d <时，当2
1
d n d >
时，有12nd d <.所以
1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n
-+---==-+-++111212()||.
n d d a d b d ≥-+-+--对任意正数M ，取正整数121122
11
||max{
,}M b d a d d d m d d +-+-->-，
故当n m ≥时，
n
c M n
>.。