莫尔-库伦失效准则(2012)

莫尔-库伦失效准则
Joseph F. Labuz •Arno Zang
1、概述
莫尔-库伦失效准则是一组在主应力空间内描述各向同性材料破坏状态的线性方程，中间主应力σ2产生的一切影响都可以忽略不计。

莫尔-库伦失效准则可以被写作最大主应力和最小主应力的函数或者任意主应力和破坏面上剪应力的函数。

当所有的主应力都是压力时，试验结果证明这个准则十分适用于单轴抗压强度远大于单轴抗拉强度的岩石材料，例如C0/T>10的情况。

由于理论上应有的单轴抗拉强度在试验中是被假定不考虑的，因此当有拉应力作用时，需要对准则做一些修正。

莫尔-库伦失效准则可以被认为是莫尔和库伦的共同贡献。

莫尔的条件是基于破坏只取决于σ1和σ3，破坏包络线的形状以及作用在破坏面上的相应σ和τ都可能是线性或者非线性这一假设（莫尔1900）。

库伦的条件是基于确定使材料在某个平面发生破坏的σ—τ临界关系而绘制的一组线性破坏包络线（库伦1776）。

保罗（1968）描述了一组考虑中间主应力影响的线性破坏包络线，Meyer和Labuz于2012年对其进行了补充。

2、背景
库伦，在他的挡土墙研究中提出这样的关系：
丨τ丨=S0+σtanφ（1）
其中，S0是固有的剪切强度，也称内聚力，φ是内摩擦角，μ=tanφ为内摩擦系数。

与特雷斯卡准则只有一个材料系数不同，这个准则包含两个材料常数（Nadai1950）。

如图1所示，式（1）在莫尔图中表示为一条与σ轴倾角成φ角度的直线。

通过建立与该直线相切的莫尔圆（表示破坏时的应力状态），利用三角关系，可以得出由主应力表示的式（1）的变形：
（σ1—σ3）=（σ1+σ3）sin φ+2S0 cos φ（2）莫尔破坏准则的一种形式就是：
τm= f（σm）（3）其中，τm=（σ1—σ3）/2，σm=（σ1+σ3）/2。

已知式（3）所给的关系，莫尔包络线就可在图 1 σ—τ图中画出来，应力状态达到临界则发生破坏，直径（σ1—σ3）的圆与破坏包络线τ=g（σ）相切。

因此，从式（2）可以看出，库伦准则等价于线性莫尔包络线的假设。

库伦和莫尔的准则值得注意的是考虑了σm，也就是最大最小主应力的平均应力，这使得它对于岩石和土等材料很重要，也就是说，关于岩石材料的实验证明破坏时的τm随σm增大（存在）而增大。

然而，需要补充说明的是：莫尔图中临界应力图破坏包络线的切点表示的是破坏平面上的法向应力和剪切应力，法向应力到σ1与σ轴夹角αf并非试验观测值。

尽管如此，莫尔准则同样适用于一
些弯曲形状的破坏包络线，很多岩石类型显示出这种非线性的表现。

3、构想
主应力σ1，σ2，σ3之间没有隐含的顺序，所以莫尔-库伦准则可以写为：
b a ++=-±2
22
121σσσσ b a ++=-±2
23232σσσσ b a ++=-±223131σσσσ （4） 其中，11+-=m m a ，φφsin 1sin 100-+==T C m ，11+=m b ，)sin 1(2
00φ-=C T ，且0<a<1。

T 0是理论上的莫尔-库伦单轴抗拉强度，如图2a 所示，不是试验观测值。

在（σ1=0，σ3=—T ）的条件下试验测得的值是比它低得多的T ，且破坏面与σ3垂直，C 0是理想的莫尔库伦单轴抗压强度（如图2a 所示）与试验所测值十分接近（因此不介绍另一个参数符号）。

在主应力空间内，破坏面的形状取决于失效准则的形式选择：失效准则为线性函数时映射的破坏面形状为平面，而失效准则为非线性函数对应的则是曲线曲面的破坏面形状。

从图2b 中可以看出式（4）中的6个等式可以体现在六个平面上，用一个平面与这六面交叉可得到一个六角锥。

图2b 中可以体现的还有，等压处的破坏面或者说π平面垂直于液压轴，这样莫尔-库伦准则可以用一个等边六边形表示（Shield 1955）。

因为对于各向同性材料而言，σ1，σ2，σ3互换不影响破坏面，所以各向同性要求三轴对称。

注意，破坏面只发生在各个60°范围区域内，如图2b 所示。

要将主应力空间到莫尔图形的转变列入考虑，尽管从流体静力轴到应力点的半径距离与偏应力成一定的比例，但主应力空间中的一点不能直接代表剪应力的大小。

然而主应力空间内，破坏面上的每一点都与莫尔圆与破坏包络线的相切的点相一致。

三个主应力在按照σ1≥σ2≥σ3的顺序排列的特定情况下，破坏面发生在六角锥的ACD 平面内。

D 点的主应力表示了三轴压缩试验（σ1，σ2=σ3）的应力状态，D 点的状态在莫尔圆中用D 圆表示。

同样地，对于有着（σ3，σ1=σ2）的应力状态的C 点而言，与之相对应的三轴拉伸试验，莫尔圆C 描述其应力状态。

点D 和点C 可以被视为中间主应力变化的两个极限状态值，法向应力和剪应力对应的是D f 和C f 的临界破坏值。

直线CD 上的点可以用在莫尔图上介于莫尔圆C 和莫尔圆D 之间的某个圆表示。

对于最小主应力是负值（即为拉应力）的情况，实验表明破坏面垂直于σ3=—T 。

事实上，拉应力破坏模型与剪应力破坏模型存在法向正应力是完全不同的，尽管与通常被认为是轴向压裂的单轴压缩下的破坏也是不同的（Vardoulakis et al. 1998）。

为了对拉力破坏作出解释，保罗于1962年介绍了拉伸截断的概念，而且提出当
σ1>(C 0—m T)=σ1* （5）
时，一个要求有三个材料常数的莫尔-库伦失效准则（也就是式（3））是正确的，但莫尔-库伦失效准则被修正为：
T -=3σ 当 *11σσ< （6）
拉伸截断在莫尔图中的表现可以从图3a 中看出，由)(0*11mT C -==σσ，T -=*3σ确定的，由破坏圆描述的应力状态，不是破坏包络线的一部分。

更确切
的说，*11σσ<时，所有莫尔圆都与破坏包络线在T -=*3
σ点处相切。

在主应力空间内，经拉伸截断修正后的莫尔-库伦准则应当包含：莫尔-库伦六角锥体被另一个三面垂直于主应力轴的角锥体截断（如图3b 所示）。

4、实验数据
典型的，莫尔-库伦准则又对试验结果进行评估，采用轴对称加载方式施加影响使其呈现中间主应力等于最大或最小主应力的方式。

几乎没有试验独立的控制2σ，因为实验性的挑战，尽管传统的三轴压缩试验和三轴拉伸试验提供了简单的方法去评估中间主应力的影响。

然而，要调查图2b 中C 点和D 点表示的轴对称条件下的应力状态，我们要用到真三轴试验仪（Meyer and Labuz 2012）。

很多研究者（Mogi 1971,1974；Takahashi and Koide 1989；Chang and Haimson 2000；Al-Ajmi and Zimmerman 2005)都进行了真三轴试验，中间主应力的影响似乎取决于岩石类型，尽管各向异性和试验条件可能也会影响试验结果。

事实上，各向异性会带来一个预留的中间主应力影响，压缩过程中的摩擦角似乎大于拉伸过程中的摩擦角。

另外，边界条件在岩石试验中起着本质性的作用，应力分布的均匀状态就是元件测试中经常违背的一个基本假设（Labuz and Bridell 1993；Paul and Gangal 1967）。

在处理莫尔库伦准则的应用问题时可以找到很多参考（Vutukuri et al.1974；Andreev 1995；Paterson and Wong 2005）。

在一篇关于岩土性能的论文（(Landolt-Bornstein 1982）中，Rummel 写的一个章节（141-238页）给出了关于不同种类型岩石失效系数的概述，而且Mogi 于2007年对大量岩石的试验结果进行了总结。

通常，我们认为莫尔-库伦失效准则很好地描述了平均应力处于临界状态时发生破坏的应力状态。

对各种各样适用于完整岩石试验的失效准则的统计处理可以通过查阅文献获得。

(Colmenares and Zoback 2002; Hoek et al. 2002; Pincus 2000; Al-Ajmi and Zimmerman 2005; Pariseau 2007; Benz and Schwab 2008; Das and Basudhar 2009）
5、优点和缺陷
莫尔库伦失效准则的优点是数字上的简明性，材料参数物理含义的清楚性，接受水平的大众性。

一个围绕失效准则数值模拟的缺陷是其包含π平面上的拐角，这一点与平滑函数恰好相反。

变形分析需要流动法则，应变增长与应力的关系，以便于流动法则可以确定就屈服条件而言的应变增长的矢量方向，例如正常的关联流动法则。

因此，应变增长的矢量方向沿莫尔库伦锥的每一边都是不同的。

然而，沿着锥的边缘（π平面的拐角）具有方向的不确定性。

6、建议与意见
在各种各样现有可获得的失效准则中，无论是线性的还是非线性的，取决于1σ和3σ的等式都是具有吸引力的，因为实验数据的几何表现要么可以在主应力平面图中表示，要么可以表示在莫尔图中，这一点通常是很方便的。

三轴拉伸试验和三轴压缩试验通常被认为是评估中间主应力影响的标准程序尽管需要真三轴试验用来描述不同轴对称应力状态的破坏面。

尽管如此，作为岩石表现的第一位近似值，当三个主应力均为压应力时以及考虑具有有限范围的平均应力时，莫尔库伦失效准则是被推荐和提倡使用的。