中考数学考点总动员系列 专题32 图形的轴对称-人教版初中九年级全册数学试题

考点三十二：图形的轴对称
聚焦考点☆温习理解
1．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点．
2．图形轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．对应线段、对应角相等．
3．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换而成．
轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系；
两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、识别轴对称图形
【例1】（2015某某）下列图案中，轴对称图形是（）
A． B． C． D．
【答案】D．
考点：轴对称图形．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少1条合适的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合．若能找到，则是轴对称图形；若找不到，则不是轴对称图形．
【举一反三】
1.(2015.某某日照，第1题，3分)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
考点：轴对称图形．
2.(2015.某某市，第3题，3分)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形,下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
吉祥如意
（A）（B）（C）（D）
【答案】A.
【解析】
试题分析：根据轴对称图形的概念，在一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；四个选项中只有选项A符合要求，故答案选A.
考点：轴对称图形的概念.
考点典例二、作已知图形的轴对称图形
【例2】（2014•某某）在平面直角坐标系中，已知点A（-3，1），B（-1，0），C（-2，-1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．
【答案】
考点：作图-轴对称变看完换．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，得出对应点坐标是解题关键．画轴对称图形，关键是先作出一条对称轴，对于直线、线段、多边形等特殊图形，一般只要作出直线上的任意两点、线段端点、多边形的顶点等的对称点，就能准确作出图形．
【举一反三】
在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）．
（1）是轴对称图形，又是中心对称图形；
（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）是中心对称图形，但不是轴对称图形．
【答案】作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）可组成长方形；
（2）可组成楼梯形状；
（3）可组成平行四边形．
试题解析：画图如下：
考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．
考点典例三、轴对称性质的应用
【例3】如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是
【答案】5.
【解析】
试题分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
试题解析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP=1
2
AC=3，BP=
1
2
BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5.
考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．
【点睛】求两条线段之和为最小，可以利用轴对称变换，使之变为求两点之间的线段，因为线段间的距离最短．本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．
【举一反三】
如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．
【答案】71-．
【解析】
试题分析：根据题意得出A ′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A ′C 的长即可． 试题解析如图所示：∵MA ′是定值，A ′C 长度取最小值时，即A ′在MC 上时，
过点M 作MF ⊥DC 于点F ，
∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 为AD 中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=12MD=12
， ∴FM=DM ×cos30°3 ∴227FM CF +，
∴A ′C=MC-MA ′71．
考点：菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
考点典例四、折叠问题
【例4】(2015.某某，第14题，3分)如图，在矩形ABCD 中，AB =3,BC =5,在CD 上任取一点E ，连接BE ,将△BCE 沿BE 折叠，使点E 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为．
【答案】3
5. 考点：矩形的性质；折叠的性质；勾股定理.
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程，轴对称变换前后的图形是全等图形，对应边相等，对应角相等．
【举一反三】
，将矩形纸片ABCD 折叠，使边AB ，CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE ，BF ，则∠EBF ＝
【答案】45°.
考点：角的计算；翻折变换（折叠问题）．
2.（2015·某某某某）在矩形ABCD中，AB=4 , BC=3 , 点P在AB上。

若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A 处，则AP的长为__________.
【答案】3
2
或
9
4
【解析】
试题分析：分两种情况讨论：①点A落在矩形对角线BD上，如图1，
∵AB=4，BC=3，∴BD=5，
根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，
∴BA′=2，
设AP=x，则BP=4-x，
∵BP2=BA′2+PA′2，
∴（4-x）2=x2+22，
解得：x=3
2
,∴AP=
3
2
；
②点A落在矩形对角线AC上，如图2，
根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，
∴AD AB AP BC
＝，
∴AP=
•
AD BC
AB
=
33
4
=
9
4
．
故答案为：3
2
或
9
4
考点：1.矩形的折叠；2.直角三角形的性质；3.相似三角形的判定与性质.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. (2015.市，第4题，3分)剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）
A. B. C. D.
【答案】D．
【解析】
试题分析：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫轴对称图形；D符合轴对称图形的定义，故选D.
考点：轴对称图形
2. （2015某某）如图，在平行四边形ABCD中，AB13AD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B 恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．
【答案】3．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．平行四边形的性质．
3．（2015达州）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB=6，BC=9，则AM的长为．
【答案】9
4
．
【解析】
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题．
4．（2015内江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为．
【答案】6．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题．
5.（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．
-．
【答案】（33，23
【解析】 试题分析：连接ED ，如图， ∵点B 的对称点是点D ，∴DP=BP ，∴ED 即为EP+BP 最短，∵四边形ABCD 是菱形，顶点B （2，0），∠DOB=60°，∴点D 的坐标为（1，3），∴点C 的坐标为（3，3），∴可得直线OC 的解析式为：33
y x =，∵点E 的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED 的解析式为：(13)1y x =+-，∵点P 是直线OC 和直线ED 的交点，
∴点P 的坐标为方程组33(13)1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+-⎩
的解，解方程组得：23323x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以点P 的坐标为（233-，23-），故答案为：（233-，23-）．
考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．
6.如图，点P 是∠AOB 外的一点，点M ，N 分别是∠AOB 两边上的点，点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上．若PM ＝2.5 cm ，PN ＝3 cm ，MN ＝4 cm ，则线段QR 的长为( )
A ．4.5 cm
B ．5.5 cm
C ．6.5 cm
D ．7
【答案】A．
考点：轴对称的性质．
7.（2014•某某）如图，在一X矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值X围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF=25．
以上结论中，你认为正确的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C.
试题解析：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；
点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值X围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
EF=22224225MF ME =+=+，（故④正确）；
综上所述，结论正确的有①③④共3个．
故选C ．
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理的应用；菱形的判定与性质．
二、填空题
8．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B ′重合，AE 为折痕，则EB ′＝____
【答案】.
【解析】
试题分析：首先根据折叠可得BE=EB ′，AB ′=AB=3，然后设BE=EB ′=x ，则EC=4-x ，在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AC 的值，再在Rt △B ′EC 中，由勾股定理可得方程x 2+22=（4-x ）2，再解方程即可算出答案． 试题解析：根据折叠可得BE=EB ′，AB ′=AB=3，
设BE=EB ′=x ，则EC=4-x ，
∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得，2222345AB BC +=+，
∴B ′C=5-3=2，
在Rt △B ′EC 中，由勾股定理得，x 2+22=（4-x ）2.
考点：翻折变换（折叠问题）．
，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有____种．
【答案】3.
考点：利用轴对称设计图案．
10. （2015某某）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．
7
考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题．
11.（2015·某某某某）如图 ，在矩形ABCD 中 ，AB=10 , BC=5 . 若点M 、N 分别是线段ACAB 上的两个动点 ，则BM+MN 的最小值为（ ）
A. 10
B. 8
C. 53
D. 6
【答案】B
【解析】
试题分析：作点B 关于AC 的对称点E ，过E 作EF 垂直AB 交AB 于F 点，此时BM+MN 的值最小=EF 的长，由勾股定理可得：AC=2255AB BC =+，∵S △ABC =12AC •BQ=12AB •BC ，∴AC 边上的高BQ=255155
0⨯=，BE=2BQ=45．∵∠ABQ=∠EBF ，∠AQB=∠EFB=90°，∴△BEF ∽△BAQ ， ∵△BAQ ∽△CAB ，∵△CAB ∽△BEF ，
∴AB AC
EF BE
=，即
1055
45
EF
=，∴EF=8,故选：B．
考点：1.矩形的性质；2.轴对称；3.相似三角形的判定与性质.
三、解答题
1.（2015某某）（10分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC 于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．
【答案】（1）证明见试题解析；（243
．
试题解析：（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ，根据折叠的性质∠ADB=∠BDF ，∠F=∠A=∠C=90°，∴∠DBC=∠BDF ，∴BE=DE ，在△DCE 和△BFE 中，∵∠BEF=∠DEC ，∠F=∠C ，BE=DE ，∴△DCE ≌△BFE ；
（2）在Rt △BCD 中，∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，∴BC=23，在Rt △BCD 中，∵CD=2，∠EDC=30°，∴DE=2EC ，∴222(2)EC EC CD -=，∴CE=233，∴BE=BC ﹣EC=433
．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．全等三角形的判定与性质．。