2019_2020学年高中数学第三章圆锥曲线与方程1椭圆1.2椭圆的简单性质课件北师大版选修2_1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究二 利用几何性质求标准方程 [典例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在 y 轴上，a＝2，离心率 e＝12； (2)一焦点坐标为(－3,0)，一顶点坐标为(0,5)； (3)过点(3,0)，离心率 e＝ 36.
[解析] (1)由 a＝2，e＝12，可得 a2＝4，且2c＝12，即 c＝1，所以 b2＝a2－c2＝4－1＝3. 已知椭圆的焦点在 y 轴上，所以所求的标准方程为y42＋x32＝1. (2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3,0)，可知椭圆的焦点在 x 轴上，且 c＝3.又由一顶点坐 标为(0,5)，可得 b＝5，所以 a2＝b2＋c2＝25＋9＝34. 因此所求的标准方程为3x42＋2y52 ＝1.
[解析] (1)椭圆的方程42x52＋1y62 ＝1 可转化为2x52＋1y62 ＝1. 4
∵16>245，∴焦点在 y 轴上，并且长半轴长 a＝4，短半轴长 b＝52， 半焦距 c＝ a2－b2＝ 16－245＝ 239， ∴长轴长 2a＝2×4＝8，短轴长 2b＝2×52＝5， 焦点坐标为(0，－ 239)，(0， 239)， 顶点坐标为(－52，0)，(52，0)，(0，－4)，(0,4)，e＝ac＝ 839.
因忽略讨论椭圆焦点位置致误 [典例] 若椭圆k＋x2 4＋y42＝1 的离心率为12，则 k＝________.
[解析] 当焦点在 x 轴上时，a2＝k＋4，b2＝4，
所以 c2＝k，因为 e＝12，所以ac22＝14，即k＋k 4＝14，所以 k＝43.
当焦点在 y 轴上时，a2＝4，b2＝k＋4，
3．椭圆 9x2＋y2＝81 的长轴长为________，短轴长为________，焦点坐标为 ________，顶点坐标为______，离心率为________．
答案：18
6
(0，±6 2)
(±3,0)和(0，±9)
22 3
探究一 由椭圆方程得椭圆的几何性质 [典例 1] 求下列椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标以及离心率． (1)42x52＋1y62 ＝1； (2)m2x2＋4m2y2＝1(m>0)．
探究三 椭圆的离心率
椭 圆
— 直接法求椭圆的离心率
的 — 方程思想求椭圆的离心率
离
— —
利用椭圆的定义求离心率
心 率
—
求椭圆的离心率的取值范围
5．椭圆x42＋y92＝1 的离心率是(
)
A.
5 3
B.
5 2
C.
13 3
D.
13 2
解析：由方程知 a＝3，b＝2，∴c＝
a2－b2＝
直线 l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 12，则椭圆 C 的方程为( )
A.x32＋y2＝1
B.x32＋y22＝1
C.x92＋y42＝1
D.x92＋y52＝1
解析：由椭圆的定义可知 2a＋2a＝12，即 a＝3.由 e＝ a2a－b2＝23，解得 b2＝5，所以
椭圆 C 的方程为x92＋y52＝1. 答案：D
[想一想] 1．能否用 a 和 b 表示椭圆的离心率 e? 提示：可以．由于 e＝ac，又 c＝ a2－b2，故 e＝ac＝ a2a－b2＝
1－ba22.
[练一练] 2．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为( )
1
2
A.2
B. 2
C. 2
D．2
解析：由 b＝c 得 c2＝b2＝a2－c2，∴a2＝2c2 即ac22＝12，∴e＝ac＝ 22. 答案：B
(3)设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)或ay22＋xb22＝1(a>b>0)．由已知 a＝2 B.① 又过点(2，－6)，因此有 2a22＋－b262＝1 或－a262＋2b22＝1.② 由①②，得 a2＝148，b2＝37 或 a2＝52，b2＝13. 故所求椭圆的标准方程为1x428＋3y72 ＝1 或5y22 ＋1x32＝1.
长轴长＝ 2a ，短轴长＝ 2b
(±c,0)
(0，±c)
2c 对称轴 坐标轴 ，对称中心 原点
离心率
c e＝ a
二、当椭圆的离心率越 接近于 1 ，则椭圆越扁；
当椭圆的离心率越 接近于 0 ，则椭圆越接近于圆．
[疑难提示] 椭圆方程中 a，b，c 的意义 结合椭圆的定义与几何性质可以知道，a：定义中定长的一半，长半轴的长，焦点到短 轴顶点的距离；b：短半轴的长；c：焦点到椭圆的中心的距离，焦距的一半．a，b，c 恰好可以构成以 a 为斜边的直角三角形，如图所示．
4．求符合下列条件的椭圆标准方程： (1)焦距为 8，离心率为45； (2)焦点与较接近的长轴端点的距离为 10－ 5，焦点与短轴两端点的连线互相垂 直； (3)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，－6)．
解析：(1)由题意，因为 2c＝8，所以 c＝4； 又因为ac＝45，所以 a＝5，所以 b2＝9， 焦点在 x 轴上时，椭圆标准方程为2x52＋y92＝1； 焦点在 y 轴上时，椭圆标准方程为2y52 ＋x92＝1. (2)由题意，a－c＝ 10－ 5，b＝c，a2＝b2＋c2， 所以解得 a2＝10，b2＝5， 焦点在 x 轴上时，椭圆标准方程为1x02＋y52＝1； 焦点在 y 轴上时，椭圆标准方程为1y02 ＋x52＝1.
顶点坐标为(m1 ，0)，(－m1 ，0)，(0，－21m)，(0，21m)，e＝ac＝
3 2.
已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找 准 a 与 b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．
1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点
(3)当椭圆的焦点在 x 轴上时，因为 a＝3，e＝ 36， 所以 c＝ 6，从而 b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的标准方程为x92＋y32＝1；
当椭圆的焦点在 y 轴上时，因为 b＝3，e＝ 36， 所以 a2a－b2＝ 36，所以 a2＝27， 所以椭圆的标准方程为2y72 ＋x92＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为x92＋y32＝1 或2y72 ＋x92＝1.
1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． 2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：(1) 求出 a2，b2 的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程． 3．解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
3．已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，过 F2 的
一、椭圆的简单几何性质 焦点的位置
图形
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程 范围
xa22＋by22＝1 (a>b>0) |x|≤a，|y|≤b
ay22＋xb22＝1 (a>b>0) |y|≤a，|x|≤b
焦点的位置 顶点 轴长 焦点 焦距
对称性
焦点在x轴上
焦点在y轴上
(±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0)
(2)椭圆的方程
m2x2＋4m2y2＝1(m>0)，可化为
x2 1
＋
y2 1
＝1.
m2 4m2
∵m2<4m2，∴m12>4m1 2，∴椭圆的焦点在 x 轴上，
并且长半轴长 a＝m1 ，短半轴长 b＝21m，半焦距长 c＝2m3.
∴椭圆的长轴长 2a＝m2 ，短轴长 2b＝m1 ，
焦点坐标为(－2m3，0)，(2m3，0)，
答案：2 7－5
7．F1，F2 为椭圆的两个焦点，过 F2 的直线交椭圆于 P，Q 两点，PF1⊥PQ 且|PF1| ＝|PQ|，求椭圆的离心率．
解析：如图，设|PF1|＝m，则|PQ|＝m， |F1Q|＝ 2m.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a. ∴|PF1|＋|PQ|＋|F1Q|＝4a， 即 m＋m＋ 2m＝4a，( 2＋2)m＝4a.∴m＝(4－2 2)a. 又|PF2|＝2a－m＝(2 2－2)a. 在 Rt△PF1F2 中，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2. 即(4－2 2)2a2＋(2 2－2)2a2＝4c2. ∴ac22＝9－6 2＝3( 2－1)2，∴e＝ac＝ 3( 2－1)＝ 6－ 3.
5，∴e＝ac＝
5 3.
答案：A
6．(1)椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B，左、右焦点分别是 F1，F2.
若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A.
5 5
B.
2 2
C.
3 3
D. 3
解析：设椭圆的焦距为 2c，则|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.∵|AF1|，|F1F2|，
所以 c2＝－k.由 e＝12，所以ac22＝14，所以－4k＝14. 所以 k＝－1.
综上可知，k＝43或 k＝－1.
[答案] 43或－1
|F1B|成等比数列，∴(a－c)(a＋c)＝4c2，即 a2＝5c2，∴e＝ 55.故选 A.
答案：A
(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A1，A2，B1，B2 为椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的四 个顶点，F 为其右焦点，直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．
8.如图，设椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点为 F1，F2，若在椭圆上存在一点 P，使 ∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率 e 的取值范围．
解析：由余弦定理得 cos 60° ＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2 ＝|PF1|＋|PF2|22|－PF21||P·|FPF1|·2||PF2|－|F1F2|2＝12， 解得|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2， 即|PF1|·|PF2|＝43b2， ∵|PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋2 |PF2|)2＝a2， ∴3a2≥4(a2－c2)，解得ac≥12，又∵0<e<1， ∴所求椭圆离心率 e 的取值范围为[12，1)．
坐标是( )
A．(±1,0)
B．(0，±1)
C．(± 7，0)
D．(0，± 7)
解析：由题意，椭圆的焦点在 y 轴上，a＝4，b＝3，所以 c＝ a2－b2＝ 42－32＝ 7， 所以椭圆的焦点坐标是(0，± 7)，故选 D.
答案：D
2．已知椭圆 mx2＋(m＋9)y2＝25m(m>0)的离心率 e＝35，求实数 m 的值及椭圆的长轴 和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 解析：椭圆的方程可化为2x52 ＋m2＋5m9y2＝1. ∵25－m25＋m9＝m2＋259>0，∴25>m25＋m9，即 a2＝25，b2＝m25＋m9，c2＝a2－b2＝m2＋259， 由 e＝35，得252m2＋5 9＝295，∴m＝16. ∴椭圆的标准方程为2x52＋1y62 ＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3. ∴椭圆的长轴长为 10，短轴长为 8，两焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，四个顶点坐标 分别为(－5,0)，(5,0)，(0，－4)，(0,4)．
探究二 利用几何性质求标准方程 [典例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在 y 轴上，a＝2，离心率 e＝12； (2)一焦点坐标为(－3,0)，一顶点坐标为(0,5)； (3)过点(3,0)，离心率 e＝ 36.
[解析] (1)由 a＝2，e＝12，可得 a2＝4，且2c＝12，即 c＝1，所以 b2＝a2－c2＝4－1＝3. 已知椭圆的焦点在 y 轴上，所以所求的标准方程为y42＋x32＝1. (2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3,0)，可知椭圆的焦点在 x 轴上，且 c＝3.又由一顶点坐 标为(0,5)，可得 b＝5，所以 a2＝b2＋c2＝25＋9＝34. 因此所求的标准方程为3x42＋2y52 ＝1.
[解析] (1)椭圆的方程42x52＋1y62 ＝1 可转化为2x52＋1y62 ＝1. 4
∵16>245，∴焦点在 y 轴上，并且长半轴长 a＝4，短半轴长 b＝52， 半焦距 c＝ a2－b2＝ 16－245＝ 239， ∴长轴长 2a＝2×4＝8，短轴长 2b＝2×52＝5， 焦点坐标为(0，－ 239)，(0， 239)， 顶点坐标为(－52，0)，(52，0)，(0，－4)，(0,4)，e＝ac＝ 839.
因忽略讨论椭圆焦点位置致误 [典例] 若椭圆k＋x2 4＋y42＝1 的离心率为12，则 k＝________.
[解析] 当焦点在 x 轴上时，a2＝k＋4，b2＝4，
所以 c2＝k，因为 e＝12，所以ac22＝14，即k＋k 4＝14，所以 k＝43.
当焦点在 y 轴上时，a2＝4，b2＝k＋4，
3．椭圆 9x2＋y2＝81 的长轴长为________，短轴长为________，焦点坐标为 ________，顶点坐标为______，离心率为________．
答案：18
6
(0，±6 2)
(±3,0)和(0，±9)
22 3
探究一 由椭圆方程得椭圆的几何性质 [典例 1] 求下列椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标以及离心率． (1)42x52＋1y62 ＝1； (2)m2x2＋4m2y2＝1(m>0)．
探究三 椭圆的离心率
椭 圆
— 直接法求椭圆的离心率
的 — 方程思想求椭圆的离心率
离
— —
利用椭圆的定义求离心率
心 率
—
求椭圆的离心率的取值范围
5．椭圆x42＋y92＝1 的离心率是(
)
A.
5 3
B.
5 2
C.
13 3
D.
13 2
解析：由方程知 a＝3，b＝2，∴c＝
a2－b2＝
直线 l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 12，则椭圆 C 的方程为( )
A.x32＋y2＝1
B.x32＋y22＝1
C.x92＋y42＝1
D.x92＋y52＝1
解析：由椭圆的定义可知 2a＋2a＝12，即 a＝3.由 e＝ a2a－b2＝23，解得 b2＝5，所以
椭圆 C 的方程为x92＋y52＝1. 答案：D
[想一想] 1．能否用 a 和 b 表示椭圆的离心率 e? 提示：可以．由于 e＝ac，又 c＝ a2－b2，故 e＝ac＝ a2a－b2＝
1－ba22.
[练一练] 2．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率为( )
1
2
A.2
B. 2
C. 2
D．2
解析：由 b＝c 得 c2＝b2＝a2－c2，∴a2＝2c2 即ac22＝12，∴e＝ac＝ 22. 答案：B
(3)设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)或ay22＋xb22＝1(a>b>0)．由已知 a＝2 B.① 又过点(2，－6)，因此有 2a22＋－b262＝1 或－a262＋2b22＝1.② 由①②，得 a2＝148，b2＝37 或 a2＝52，b2＝13. 故所求椭圆的标准方程为1x428＋3y72 ＝1 或5y22 ＋1x32＝1.
长轴长＝ 2a ，短轴长＝ 2b
(±c,0)
(0，±c)
2c 对称轴 坐标轴 ，对称中心 原点
离心率
c e＝ a
二、当椭圆的离心率越 接近于 1 ，则椭圆越扁；
当椭圆的离心率越 接近于 0 ，则椭圆越接近于圆．
[疑难提示] 椭圆方程中 a，b，c 的意义 结合椭圆的定义与几何性质可以知道，a：定义中定长的一半，长半轴的长，焦点到短 轴顶点的距离；b：短半轴的长；c：焦点到椭圆的中心的距离，焦距的一半．a，b，c 恰好可以构成以 a 为斜边的直角三角形，如图所示．
4．求符合下列条件的椭圆标准方程： (1)焦距为 8，离心率为45； (2)焦点与较接近的长轴端点的距离为 10－ 5，焦点与短轴两端点的连线互相垂 直； (3)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，－6)．
解析：(1)由题意，因为 2c＝8，所以 c＝4； 又因为ac＝45，所以 a＝5，所以 b2＝9， 焦点在 x 轴上时，椭圆标准方程为2x52＋y92＝1； 焦点在 y 轴上时，椭圆标准方程为2y52 ＋x92＝1. (2)由题意，a－c＝ 10－ 5，b＝c，a2＝b2＋c2， 所以解得 a2＝10，b2＝5， 焦点在 x 轴上时，椭圆标准方程为1x02＋y52＝1； 焦点在 y 轴上时，椭圆标准方程为1y02 ＋x52＝1.
顶点坐标为(m1 ，0)，(－m1 ，0)，(0，－21m)，(0，21m)，e＝ac＝
3 2.
已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找 准 a 与 b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．
1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点
(3)当椭圆的焦点在 x 轴上时，因为 a＝3，e＝ 36， 所以 c＝ 6，从而 b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的标准方程为x92＋y32＝1；
当椭圆的焦点在 y 轴上时，因为 b＝3，e＝ 36， 所以 a2a－b2＝ 36，所以 a2＝27， 所以椭圆的标准方程为2y72 ＋x92＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为x92＋y32＝1 或2y72 ＋x92＝1.
1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． 2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：(1) 求出 a2，b2 的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程． 3．解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
3．已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，过 F2 的
一、椭圆的简单几何性质 焦点的位置
图形
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程 范围
xa22＋by22＝1 (a>b>0) |x|≤a，|y|≤b
ay22＋xb22＝1 (a>b>0) |y|≤a，|x|≤b
焦点的位置 顶点 轴长 焦点 焦距
对称性
焦点在x轴上
焦点在y轴上
(±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0)
(2)椭圆的方程
m2x2＋4m2y2＝1(m>0)，可化为
x2 1
＋
y2 1
＝1.
m2 4m2
∵m2<4m2，∴m12>4m1 2，∴椭圆的焦点在 x 轴上，
并且长半轴长 a＝m1 ，短半轴长 b＝21m，半焦距长 c＝2m3.
∴椭圆的长轴长 2a＝m2 ，短轴长 2b＝m1 ，
焦点坐标为(－2m3，0)，(2m3，0)，
答案：2 7－5
7．F1，F2 为椭圆的两个焦点，过 F2 的直线交椭圆于 P，Q 两点，PF1⊥PQ 且|PF1| ＝|PQ|，求椭圆的离心率．
解析：如图，设|PF1|＝m，则|PQ|＝m， |F1Q|＝ 2m.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a. ∴|PF1|＋|PQ|＋|F1Q|＝4a， 即 m＋m＋ 2m＝4a，( 2＋2)m＝4a.∴m＝(4－2 2)a. 又|PF2|＝2a－m＝(2 2－2)a. 在 Rt△PF1F2 中，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2. 即(4－2 2)2a2＋(2 2－2)2a2＝4c2. ∴ac22＝9－6 2＝3( 2－1)2，∴e＝ac＝ 3( 2－1)＝ 6－ 3.
5，∴e＝ac＝
5 3.
答案：A
6．(1)椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B，左、右焦点分别是 F1，F2.
若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A.
5 5
B.
2 2
C.
3 3
D. 3
解析：设椭圆的焦距为 2c，则|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.∵|AF1|，|F1F2|，
所以 c2＝－k.由 e＝12，所以ac22＝14，所以－4k＝14. 所以 k＝－1.
综上可知，k＝43或 k＝－1.
[答案] 43或－1
|F1B|成等比数列，∴(a－c)(a＋c)＝4c2，即 a2＝5c2，∴e＝ 55.故选 A.
答案：A
(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A1，A2，B1，B2 为椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的四 个顶点，F 为其右焦点，直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．
8.如图，设椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点为 F1，F2，若在椭圆上存在一点 P，使 ∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率 e 的取值范围．
解析：由余弦定理得 cos 60° ＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2 ＝|PF1|＋|PF2|22|－PF21||P·|FPF1|·2||PF2|－|F1F2|2＝12， 解得|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2， 即|PF1|·|PF2|＝43b2， ∵|PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋2 |PF2|)2＝a2， ∴3a2≥4(a2－c2)，解得ac≥12，又∵0<e<1， ∴所求椭圆离心率 e 的取值范围为[12，1)．
坐标是( )
A．(±1,0)
B．(0，±1)
C．(± 7，0)
D．(0，± 7)
解析：由题意，椭圆的焦点在 y 轴上，a＝4，b＝3，所以 c＝ a2－b2＝ 42－32＝ 7， 所以椭圆的焦点坐标是(0，± 7)，故选 D.
答案：D
2．已知椭圆 mx2＋(m＋9)y2＝25m(m>0)的离心率 e＝35，求实数 m 的值及椭圆的长轴 和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 解析：椭圆的方程可化为2x52 ＋m2＋5m9y2＝1. ∵25－m25＋m9＝m2＋259>0，∴25>m25＋m9，即 a2＝25，b2＝m25＋m9，c2＝a2－b2＝m2＋259， 由 e＝35，得252m2＋5 9＝295，∴m＝16. ∴椭圆的标准方程为2x52＋1y62 ＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3. ∴椭圆的长轴长为 10，短轴长为 8，两焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，四个顶点坐标 分别为(－5,0)，(5,0)，(0，－4)，(0,4)．