22.2 二次函数与一元二次方程 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

y y = x2-x+1
y = x2+x-2 1
x
y = x2-6x+9
y = x2-x+1 y = x2-6x+9 y = x2+x-2
抛物线与x轴公 共点个数
0个 1个
2个
公共点横 坐标
3 -2, 1
相应的一元二次方程的根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1 = -2 , x2=1
【探究】如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时， 球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2
考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？
飞出，4s时小球落回地面．
O
t
由以上内容我们发现，已知函数取定值，求自变量x的值时，二次
函数问题就转化成了一元二次方程问题．
y = ax2+bx+c(a≠0)0
二次函数
令 y=m
转化思想
m = ax2+bx+c(a≠0)0
一元二次方程
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二 次方程ax2+bx+c=0.
y=ax2+bx+c(a≠0)0
令y=0 函数观点
ax2+bx+c=0(a≠0)0
数
已知二次函数y=ax2+bx+c 的值为0，求自变量x的值
方程观点 求一元二次方程的解
形
确定抛物线y=ax2+bx+c与 x轴公共点的横坐标
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点 的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由 此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y = 9； （3）y = x2-x+1.
关于 x 的一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0) 没有实数根.
练习 3 如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高 hm 与投掷距离 xm 之间的函数关系满足 h 1 x2 2 x 5 ，则该
12 3 3
同学掷实心球的成绩是( C )
A. 6m
B. 8m
C.10m
D.12m
h 20.5 h=20t-5t2
你能结合图形指出
为什么球不能达到
O
t
20.5m的高度?
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
解：令 h = 0，得 0 = 20t-5t2， 即 t2 - 4t = 0， 解得 t1=0，t2=4． 当小球飞行0s和4s时，它的高
h h=20t-5t2
度为0m，即0s时小球从地面
Δ>0 Δ=0 Δ<0
如果抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，则 x=x0 是方 程 ax2+bx+c=0 的根.
【探究2】我们可以用二次函数的图象求一元二次方程的根，由 于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
利用函数图象求一元二次方程 x2-2x-2=0 的实数根（精确到0.1）.
练习 2.抛物线 y ax2 bx c(a 0) 如图所示，则关于 x 的一元二
次方程 ax2 bx c 0 (a 0) 根的情况是( D )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个实数根
D.没有实数根
解析： 抛物线 y ax2 bx c(a 0)
与 x 轴没有交点，
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0 根的关系:
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和
x轴交点个数 2 1
0
一元二次方程 ax2+ bx + c = 0 的根
两不等实数根 两相等实数根
无实数根
一元二次方程 ax2+ bx + c = 0 根的
判别式 Δ=b2-4ac
将方程 ax2 bx c 变形为 ax2 bx c 0 ， 由图象可知方程 ax2 bx c 0 的解为 x1 3 ， x2 1， ∴方程 ax2 bx c 的解为 x1 3 ， x2 1； 解：（2）若方程 ax2 bx c m 0 无实数根， 则由图象可得 m 8，∴ m 8.
解析：当 h 0时， 0 1 x2 2 x 5 ， 12 3 3
解得： x1 2 （舍）， x2 10 ， 该同学掷实心球的成绩是10m ， 故选：C.
练习 4.抛物线 y ax2 2ax c( a 0) 过点 (3,0) ,则一元二次方
程 ax2 2ax c 0 的解是( A )
二次函数y=ax2+bx+c （a>0）的根
y
y
y
x
x
x1 O x2
x1= x2
O
x
Δ ＞0
Δ =0
Δ ＜0
x1， x2
b x1 x2 2a
无实数解
谢谢各位同学的观看
x 2.6875 2.75 当自变量取2.6875和2.75之间的某个数时，
y
-0.15 0.0625 函数值为0，精度|2.6875-2.75|=0.0625<0.1.
我们可以将2.6875作为根的一个近似值.
同理，可以求出方程的 另一个根的近似值.
用图象法求一元二次方程的近似根的步骤：
(1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象； (2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与x轴有两个交点,其横坐标的取值范围，通过取 平均数的方法不断缩小根所在的范围 (3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根. 由此可知，使二次函数的函数值更接近0的数，即为方程的近似解.
方程 ax2 bx c 0 的两个根为 x1 1, x2 3 ； (2)由图象可得：当1 x 3时, y 0 ； (3)由图象可得：二次函数的对称轴为直线 x 2 , 当 x 2 时,y 随 x 的增大而减小.
二次函数y=ax2+bx+c （a>0） 的图象
判别式△=b2-4ac
练习 7 二次函数 y ax2 bx ca 0 的图象如图所示,根据图象
解答下列问题： (1)写出方程 ax2 bx c 0 的两个根； (2)当 x 为何值时, y 0 ？ (3)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围.
解：(1)由图象可得：二次函数与 x 轴的交点坐标为 1,0 和 3,0 ,
22.2二次函数与一元二 次方程
第二十二章 二次函数
学习目标
理解二次函数与一元二次方程之间的联系；
知道二次函数的图象与 x 轴的交点与一元二次方程 根的关系 ； 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
一元二次方程根的判别式：
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希 腊字母Δ表示. (1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根. (2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根. (3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？
解：高度为15 m，即在函数 h = 20t-5t2 中，令 h = 15，
得 15 = 20t - 5t2，即t2 - 4t+3 = 0，解得 t1 = 1，t2 = 3．
当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m．
你能结合上图，指出 为什么在两个时间球 的高度为15m吗？
x 2.5 2.75 y -0.75 0.0625
当自变量取2.5和2.75之间的某个数时， 函数值为0，精度|2.5-2.75|=0.25>0.1.
x 2.625 2.75 当自变量取2.625和2.75之间的某个数时， y -0.36 0.0625 函数值为0，精度|2.625-2.75|=0.125>0.1.
分析：一元二次方程 x2-2x-2 = 0 的根就是抛物线 y = x²-2x-2 与x轴 的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找 出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法
解：画出函数 y = x2-2x-2 的图象(如图)，
它与 x 轴的公共点的横坐标大约是 -0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为
练习 6 已知 y ax2 bx ca 0 的图象如图所示，根据图象回答
下列问题. (1)求方程 ax2 bx c 的解； (2)如果方程 ax2 bx c m 0 无实数根，求 m 的取值范围.
解：（1）观察函数图象可知，图象与 x 轴的交点坐标为 3,0 ，1,0 ， 与 y 轴的交点坐标为 0,6 ，
y = x2-2x-2 1
x1 ≈ -0.7，x2 ≈ 2.7.
通过取平均数的方法不 【探究3】通过不断缩小断根缩所小在根的所范在围的估范计围一. 元二次方程的根.
x23 y -2 1
x 2.5 3 y -0.75 1
当自变量取2和3之间的某个数时， 函数值为0，精度|2-3|=1>0.1.
当自变量取2.5和3之间的某个数时， 函数值为0，精度|2.5-3|=0.5>0.1.
练习 1 根据下表中二次函数 y ax2 bx c 的自变量 x 与函数
值 y 的对应值，判断方程 ax2 bx c 0 ( a 0 ，a，b，c 为常
数)的一个解 x 的范围是( C )
x
6.17
6.18 6.19 6.20
y ax2 bx c
A. 6 x 6.19 C. 6.18 x 6.19
练习 5 如图,已知抛物线 y x2 bx c ,则关于
x 的方程 x2 bx c 0 的解是 x1 1，x2 4.
解析：由函数图象可知抛物线 y x2 bx c
与 x 轴交于 1,0 , 4,0 ,
∴关于 x 的方程 x2 bx c 0 的解 是 x1 1, x2 4 ,
A. x1 1, x2 3 C. x1 3, x2 1
B. x1 3 , x2 1 D. x1 1, x2 3
解析：抛物线 y ax2 2ax c(a 0) 的对称轴为 x 2a 1, 2a
与 x 轴交于点 (3,0) ,设另一交点为 (m,0) , ∴1 m 3 1,得 m 1. 于是 ax2 2ax c 0 的解是 x1 1, x2 3 ； 故选：A
h h = 20t - 5t2
15
O1
3
t
（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
解：高度为20 m，即在函数 h = 20t-5t2中，令 h = 20，
得 20 = 20t-5t2，即t 2-4t+4 = 0，解得 t1 = t2 = 2．
当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m．
0.03
0.01 0.02 0.06
B. 6.17 x 6.18 D. 6.19 x 6.20
解析：依题意，因为 ax2 bx c 0 的一个根对应的函数值为 y 0 ， 观察图中的数值，当 y 0 在 0.01 y 0.02 ， 所以 6.18 x 6.19， 故选：C.
你能结合图形指出为
h 20 h = 20t-5t2
什么只在一个时间球
的高度为20m吗？
O
2
t
（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
解：令h=20.5，得20.5=20t-5t2，
即 t2 - 4t + 4.1 = 0．
∵(-4)2-4×4.1＜0，
∴方程无实数根． 即小球的飞行高度达不到20.5 m．