【数学】湖南省邵阳市2020届高三上学期第二次月考数学理试卷Word版含答案

【关键字】数学
2017年下学期高三第2次月考试题
理科数学卷
命题：审题：
考试范围：集合至平面向量线性运算占60%，其他占40%.满分150分时量120分钟
一、选择题（本大题共12个小题,每个小题5分,满分60分.每个小题的四个选项中,只有一项符合要求）
1.已知集合是整数集,则
2.若复数为纯虚数,则的值为
3.在中,已知则角为
4.执行如图所示的程序框图,当输入的为6时,输出的的值为
5.已知命题则有关命题的真假及的论述正确的是
假命题,
真命题,
假命题,
真命题,
6.函数的图像与函数的图像的交点个数为
7.函数的最小正周期为
8.已知命题函数在区间上单调递加.给出下列命题：①;②;③;④
其中真命题的个数为
9.已知函数若直线过点,且与曲线相切,则直线的方程为
10.已知实数满足条件,则的最小值为
11.用表示两数中的较小值.若函数的图像关于直线对称,则的值为
12.若定义在上的函数满足则不等式的解集为
二、填空题：本小题共4个小题,每小题5分,满分20分.
13.若函数为奇函数,则实数的值为________.
14.设向量满足则
15.若则__________.
16.记抛物线与圆所围成的封闭图形为区域则从圆中随机选取一点恰好的概率为______________.
三、解答题:本大题满分70分.解答题应写出必要的步骤、演算过程等.
17.（满分12分）.
在钝角三角形中,内角所对的边长为已知角为最大内角,且 （1）求角
（2）若且的面积为求的值. 18.（满分12分）
某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为 （1）求的分布列和数学期望.
（2）记“函数是偶函数”为事件,求发生的概率； 19.（满分12分） 如图,在四棱锥中,平面平面 为的中点. （1）证明:
（2）求二面角的余弦值. 20.（满分12分）
已知椭圆的右焦点为左顶点为 （1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的）两点.试判断直线与轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由. 21.（满分12分） 已知函数
（1）当时,求的单调区间； （2）若求实数的取值范围.
请考生在第22题与23题中任选一题作答,如果多做,则按第22题计分. 22.（满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程 已知极坐标方程
（1）求12,C C 的直角坐标方程,并分别判断12,C C 的形状； （2）求12,C C 交点间的距离.
23.（满分10分）选修4-5 不等式选讲 设函数()1.f x x x a =++-
（1）若3,a =解不等式()5;f x ≤
（2）如果00,()2,x R f x ∃∈≤使得成立求a 的取值范围.
2017年下学期隆回一中高三第2次月考试题卷
理科数学卷参考答案
命题： 审题： 满分150分 时量120分钟
一、选择题（本大题共12个小题,每个小题5分,满分60分.每个小题的四个选项中,只有一项符合要求）
1.已知集合2{|20},A x x x Z =+-<是整数集,则A Z =
【答案】C.【解析】{|(2)(1)0}{|21},A x x x x x =+-<=-<<{1,0}.A Z =-
2.若复数1()i
z a R a i
+=
∈-为纯虚数,其中则z 的值为 【答案】A.【解析】设1,i
bi a i
+=-其中,0.b R b ∈≠则1,i b abi +=+解得 1.a b ==所
以,z i = 1.z =
3.在ABC ∆中,已知(1,3),(3,1),BA BC ==则角B 为 【答案】A.【解析】因为3
cos ,2
BA BC B BA BC
⋅=
=
⋅所以角B 为30. 4.执行如图所示的程序框图,当输入的x 为6时,输出的y 的值为 【答案】D.【解析】略.
5.已知命题:(0,),cos .22p x x x ππ
∀∈+<则有关命题p 的真假及p ⌝的论述正确的是
A.假命题,000:(0,),cos .22
p x x x ππ
⌝∃∈+<
B.真命题,000:(0,),cos .22p x x x ππ
⌝∃∈+<
C.假命题,000:(0,),cos .22p x x x ππ
⌝∃∈+≥
D.真命题,000:(0,),cos .22
p x x x ππ
⌝∃∈+≥
【答案】D.【解析】设()cos ,f x x x =+则()1sin 0,f x x '=->()f x 在(0,)2
π
上单调
递增.所以对(0,
),2x π
∀∈cos ()().22
x x f x f ππ
+=<=命题p 为真命题,选D.
6.函数()2ln f x x =的图像与函数2()45g x x x =-+的图像的交点个数为
【答案】B.【解析】由22()45(2)1g x x x x =-+=-+知,()g x 的图像是顶点坐标为
(2,1),开口向下的抛物线.且(2)2ln 2ln 41(2),f g ==>=作图可知函数()f x 与函数()g x 的图像有两个交点.
7.函数sin sin ()cos sin cos sin x x
f x x x x x
=
+
+-的最小正周期为 【答案】B.【解析】通分可得222sin cos sin 2()tan 2.cos sin cos 2x x x
f x x x x x
===-所以()f x 的
最小正周期.2
T π
=
8.已知命题:sin(2);36p y x x ππ=-=曲线的一条对称轴为:q 函数sin(2)3
y x π
=-在
区间[0,]2
π
上单调递增.给出下列命题：①p q ∧;②p q ∨;③()p q ⌝∧;④().p q ⌝∨
其中真命题的个数为
【答案】A.【解析】当6
x π
=
时,20,3x π
-
=故命题p 为假命题.函数y =sin(2)3
x π
-在 5[0,
]12π上单调递增,在5[,]122
ππ
上单调递减.故命题q 为假命题.从而④为真命题,选A. 9.已知函数()ln ,f x x x =若直线l 过点(0,1)-,且与曲线()y f x =相切,则直线l 的方程为
【答案】C.【解析】()ln 1,f x x '=+设切点为000(,ln ),x x x 则斜率0ln 1k x =+=
00000
ln 11
ln ,x x x x x +=+解得01, 1.x k ==所以l 的方程为1,y x +=即10.x y --=
10.已知实数,x y 满足条件22
220
x y x y x +≥⎧⎪
+≤⎨⎪>⎩,则y x 的最小值为
【答案】A.【解析】略.
11.用min{,}a b 表示,a b 两数中的较小值.若函数()min{,}f x x x t =+的图像关于直线
1x =-对称,则t 的值为
【答案】B.【解析】作图可知,当0t >时,函数()f x 的图像关于直线2
t
x =-对称.所
以1,2
t
-=-解得 2.t =
12.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式3
()1x
f x e >
+的解集为
【答案】A.【解析】令()[()1],x g x e f x =-()[()()1].x g x e f x f x ''=+-由已知可得,
()0g x '>在R 上恒成立,所以()g x 在R 上单调递增. 又(0)(0)13,g f =-=所以不等式
3
()1[()1]3,x x f x e f x e
>
+⇔->即()(0).g x g >解得0,x >所以选A. 二、填空题：本小题共4个小题,每小题5分,满分20分. 13.若函数()()(1)x x f x e e ax -=-+为奇函数,则实数a 的值为________.
【答案】0.a =【解析】易证x x y e e -=-为奇函数,又因为函数()f x 为奇函数,所以
1y ax =+为偶函数.故0.a =
14.设向量,a b 满足4,+=⋅a b a b =则_______.-=a b
【答案】2.【解析】因为2
2
()()420164,-=--=a b a +b ab =所以 2.-=a b
15.若4
cos(),45
πα-=则sin 2α=__________.
【答案】
7.25【解析】2167sin 2cos(2)2cos ()121.242525
ππααα=-=--=⨯-= 16.记抛物线2:C y x =与圆22:2O x y +=所围成的封闭图形为区域,M 则从圆O 中随
机选取一点,P 恰好P M ∈的概率为______________.
【答案】11
.46π
+【解析】略.
三、解答题:本大题满分70分.解答题应写出必要的步骤、演算过程等. 17.（满分12分）.
在钝角三角形ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边长为,,.a b c 已知角C 为最大内角,且
2sin .c A =
（1）求角;C
（2）若c =且ABC ∆求,a b 的值.
解：（12sin ,c A =2sin sin .A C A =因为sin 0,A ≠
所以sin 2
C =
…………（3分） 因为ABC ∆为钝角三角形,且角C 为最大内角,所以
.2
C π
π<<故2.3
C π
=
…………（5分）
（2）因为ABC ∆的面积为1sin 242
S ab C ab =
==所以 6.ab =…………（7分） 由余弦定理得2
2
2
2
2
2
2cos (),c a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-所以2
2
()a b c +=+
18624,ab =+=即a b +=…………（10分）
所以,a b 是方程2
60x -+=的两解,解得a b ==
…………（12分）
18.（满分12分）
某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌
手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为321
,,,434
且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参
赛的轮次为.ξ
（1）求ξ的分布列和数学期望. （2）记“函数()3sin
()2
x f x x R ξ
π+=∈是偶函数”为事件A ,求A 发生的概率； 解：（1）ξ的可能取值为1,2,3.1(1),4P ξ==311
(2),434P ξ==⨯=
321
(3).432
P ξ==⨯=…………（3分）
ξ的分布列为
19
123.4424
E ξ=⨯+⨯+⨯=…………（7分）
【评分建议】分布列和数学期望各计2分. （2）因为()3sin
()2
x f x x R ξ
π+=∈是偶函数,所以1ξ=或 3.ξ=…………（9分）1323
()(1)(3).4434
P A P P ξξ==+==
+⨯=…………（12分） 19.（满分12分）
如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAB ⊥平面,,90,ABCD AD
BC ABC ∠=PA =
3,1,2,3,PB BC AB AD O ====为AB 的中点.
（1）证明:PO CD ⊥；
（2）求二面角C PD O --的余弦值.
解：（1）联结,PO 因为3,PA PB ==O 为AB 的中点, 所以.PO AB ⊥又平面PAB ⊥平面,ABCD 交线为,AB
PO ⊆平面,PAB 所以.PO ABCD ⊥平面又CD ⊆平面
,ABCD 所以.PO CD ⊥…………（5分）
（2）取线段CD 的中点,E 2OE =，,OE
BC 因为90,ABC ∠=所以
,.AB BC AB OE ⊥⊥由（1）知, .PO ABCD ⊥平面故可以O 为原点, 射线,,OB OE OP
分别为,x y z 轴,轴轴的正半轴建立空间直角坐标系.O xyz -则
(0,0,0),(1,1,0),(0,0,
22),(1,3,0).O C P D -…………（6分）
于是(1,1,22),(2,2,0),(0,0,CP
CD OP =--=-=
设平面CPD 的一个法向量为111(,,),x y z =m 由0,0CP CD ⋅=⋅=m m 得
111110
,220
x y x y ⎧--+=⎪⎨
-+=⎪⎩令11,z =
得=m …………（8分） 设平面OPD 的法向量为222(,,),x y z =n 由0,0OP OD ⋅=⋅=n n 得
2220
,30
x
y ⎧=⎪⎨
-+=⎪⎩令23,x =得(3,1,0).=n …………（10分） 所以4
cos ,.5
⋅<>=
==m n m n m n 易知二面角C PD O --的平面角为锐角,所以二面角C PD O --的余弦值为4
.5
…………（12分）
20.（满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(1,0),F 左顶点为(2,0).A -
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过点A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆
E 交于（不同于点A 的）,M N 两点.试判断直线MN 与x 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.
D
解：（1）由已知得1,2,c a ==222 3.b a c =-=…………（3分）
所以椭圆E 的方程为22
1.43
x y +
=…………（4分） （2）①当直线MN 与x 轴垂直时,直线AM 的方程为2,y x =+
联立22
23412
y x x y =+⎧⎨+=⎩得271640,x x ++=解得22().7x x =-=-或舍去 此时直线MN 的方程为2
.7x =-直线MN 与x 轴的交点为2(,0).7
- …………（6分）
②当直线MN 不垂直于x 轴时,设直线MN 的方程为.y kx m =+
联立22
3412
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222
(43)84120.k x kmx m +++-= 设1122(,),(,),M x y N x y 则222
1212122
22
8412312,,,434334km m m k x x x x y y k k k
--+=-==+++ 且2
2
2
(8)4(43)(412)0,km k m ∆=-+->即224 3.m k <+…………（8分）
而1122(2,),(2,),AM x y AN x y =+=+由题意知,,AM AN ⊥
即22
121212271642()40,43
m km k AM AN x x x x y y k -+⋅=++++=
=+ 解得2
7
m k =
或2().m k =舍去…………（10分） 当27m k =时,满足224 3.m k <+直线MN 的方程为2
(),7y k x =+此时与x 轴的交点
为2(,0).7-故直线MN 与x 轴的交点是定点,坐标为2
(,0).7
-…………（12分）
21.（满分12分）
已知函数2()(ln ),.f x x a x x a R =++∈
（1）当1a =-时,求()f x 的单调区间；
（2）若1
()(1),2
f x e a >+求实数a 的取值范围.
解：（1）当1a =-时,2()ln ,f x x x x =--1(21)(1)
()21.x x f x x x x
+-'=--
= （1分）
令()0,f x '=得 1.x =当(0,1)x ∈时,()0,()f x f x '<单调递减;
(1,)x ∈+∞时,()0,f x '>()f x 单调递增. …………（3分）
所以()f x 的增区间为(1,),+∞减区间为(0,1). …………（4分）
（2）212()2(1),0.x ax a
f x x a x x x
++'=++=
> 当0a =时,2().f x x =显然符合条件. …………（5分）
当0a >时,
存在0(0,x a ∈-使得22
00
0000()ln 2f x x ax a x x ax a =++≤+- 0<.而1
(1)0,2
e a +>不合题意. …………（7分）
当0a <时,对于22x ax a ++,因为280,a a ∆=->设220x ax a ++=的两根为
1212,(),x x x x <又因为120,2
a
x x =
<所以120.x x << 当2(0,)x x ∈时,()0,()f x f x '<递减；当2(,)x x ∈+∞时, ()0,()f x f x '>递增.
所以2
min 22
22()()ln .f x f x x ax a x ==++…………（9分） 又2
2
220,x ax a ++=所以min 221()(2ln 1).2
f x a x x =+- 因为1()(1),2f x e a >+所以min 1
()(1),2
f x e a >+即222ln 2.x x e +<+解得20.x e <<
因为2
2
220,x ax a ++=所以2
2
0022(,0).11
x e a x e =-∈-++
综上所述,实数a 的取值范围为2
2(,0].1
e e -+…………（12分） 请考生在第22题与23题中任选一题作答,如果多做,则按第22题计分. 22.（满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程
已知极坐标方程12:10,:sin() 6.3
C C π
ρρθ=-=
（1）求12,C C 的直角坐标方程,并分别判断12,C C 的形状； （2）求12,C C 交点间的距离.
解：（1）1C 的直角坐标方程为22100.x y +=
1C 是以原点为圆心,半径10r =的圆. …………（2分）
因为1sin()sin cos 6,32πρθρθθ-=-
=将cos ,sin x y ρθρθ==代入得
120.y --=2C 表示一条直线. …………（5分）
（2）记12,C C 的交点为,,A B 圆1C 的圆心到直线AB
的距离6,d =
=（7分） 所以12,C C
交点间的距离为16.AB ===…………（10分） 23.（满分10分）选修4-5 不等式选讲 设函数()1.f x x x a =++-
（1）若3,a =解不等式()5;f x ≤
（2）如果00,()2,x R f x ∃∈≤使得成立求a 的取值范围.
解：（1）当3a =时,22,1()134,13.22,3x x f x x x x x x -≤-⎧⎪
=++-=-<<⎨⎪-≥⎩
…………（3分）
作出图像（略）,可得不等式()5f x ≤的解集为37
[,].22
-
…………（5分） （2）因为00,()2,x R f x ∃∈≤使得成立所以min ()2,f x ≤…………（7分）
即12,a +≤解得3 1.a -≤≤…………（10分）
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