省级教学竞赛获奖课件(人教版)5.5.2简单的三角恒等变换课件(人教版)

2
2
2
将(1)(2)两个等式的左右两边分别相除，可得tan2 α 1 cosα . 2 1 cosα
简单的三角恒等变换
例7的结果还可以表示为：
cosα 1 2sin2 α 2
降角升幂
cosα 2cos2 α 1 2
sin2 α 1 cosα
2
2
降幂升角
cos2 α 1 cosα 22
因此，函数y sin x 3 cos x周期为2，最大值为2，最小值 2.
【解析】(2)原式 5(3 sin x 4 cosx)
5
5
5(cos sin x sin cosx) 5sin(x ) (其中tan 4)
3
因此，函数y 3sin x 4cos x的周期为2，最大值为5，最小值 5.
a
简单的三角恒等变换
【例9】求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1) y sin x 3 cos x； (2) y 3sin x 4cosx.
【解析】(1)原式 （2 1 sin x 3 cos x) （2 cos sin x sin cosx) 2sin(x )
2
2
3
3
3
2
（3） 3sin15 cos15;
【解析】原式 2(sin 15 3 cos15 1 ) 2(sin 15 cos30 cos15 sin 30 )
2
2
2sin(15 30 ) 2sin 45 2.
简单的三角恒等变换
【例6】把下列各式化成Asin(ωx φ)的形式.
（1）sinx cosx;
简单的三角恒等变换
【例10】如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上
3
的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩
形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
【解析】在RtOBC中，OB cos，BC sin， 在RtOAD中，DA tan 60 OA
降 角
=1 2sin2 2cos2 1 升
tan 2 2 tan
幂
1 tan2
sin2 α 1 cosα
22
降
cos2 α 1 cosα 22
幂 升
tan2 α 1 cosα
角
2 1 cosα
辅助角引入公式：a sin x b cosx Asin(x )，其中tan b .
（2）sinx 3cosx;
（3） 3sinx cosx;
【解析】(1) 原式 2(sin x 2 cos x 2 ) 2(sin x cos cosx sin ) 2 sin(x )
2
2
4
4
4
(2) 原式 2(sin x 1 cos x 3 ) 2(sin x cos cosx sin ) 2sin(x )
【解析】α是 α 的二倍角. 在倍角公式cos2α 1 2sin2 α，以α代替2α，以α 代替α，得
2
2
cosα 1 2sin2 α ， 所以sin2 1 cos .（1）
2
2
2
在倍角公式cos2α 2cos2 α 1，以α代替2α，以α 代替α，得
2
cosα 2cos2 α 1， 所以cos2 1 cos （2）
32
2
6 32
66
由0 ,得 2 5 ，
36
66
所以当2
6
2
，即
6
时，S最大
1 3
3 3
3. 3
因此，当 时，矩形ABCD面积最大，最大面积为 3 .
6
6
Q
D
α OA
C BP
04
归纳总结
Sum Up
简单的三角恒等变换
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
2
2
3
3
3
(3) 原式 2(sin x 3 cos x 1 ) 2(sin x cos cosx sin ) 2sin(x )
2
2
6
6
6
简单的三角恒等变换
对于asin ωx bcosωx,(a 0,b 0) 都可以化成化成Asin(ωx φ)的形式，(其中A a2 b2，tanφ b ).
1 tan tan
tan 2
2 tan 1 tan2
02
知识精讲
Exquisite Knowledge
简单的三角恒等变换
学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的
新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.
【例7】试用cosα表示sin2 α ,cos2 α , tan2 α . 222
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin
cos 2 1 2sin2 cos 2 2cos2 1
tan tan tan
1 tan tan
tan tan tan
a
常见辅助角引入：sin x cosx 2 sin(x );
4
3 sin x cosx 2sin(x ); sin x 3 cosx 2sin(x );
6
3
05
课后作业
Homework After Class
简单的三角恒等变换
1.已知cos 1，且270 360，试求sin 和cos 的值.
tan2 α 1 cosα 2 1 cosα
sin α 1 cosα
2
2半
角 cos α 1 cosα
2
2公
tan α 1 cosα 式 2 1 cosα
注：符号 由 所在
2
的象限决
定.
因为不同的三角函数式不仅会有结构情势方面的差异，而且还会存在所包含的角， 以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子 所包含的各个角之间的联系，并以此为根据选择适当的公式．这是三角恒等变换的一个 重要特点．
简单的三角恒等变换
【例10】如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上
3
的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩 形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
S 1 ( 3 sin 2α 1 cos2α) 3 1 3 sin(2α π ) 3
3
2
2
2.求函数y sin x cos x 3 cos2 x 3 的周期和最值. 2
a
asin ωx bcosωx
a2 b2 ( a sin ωx b cosωx)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 (sinωx cosφ cosωx sin φ) (其中cosφ a ，sinφ b )
a2 b2
a2 b2
a2 b2 sin(ωx φ) (其中tanφ b )
半角公式公式的推导
数学运算 直观想象
利用三角恒等变换求值，求角，化简
数据分析
01
知识回顾
Retrospective Knowledge
简单的三角恒等变换
两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin
倍角公式公式：
所以OA 3 DA 3 BC 3 sin ，AB OB OA cos 3 sin，
3
3
3
3
3，
Q
设矩形ABCD的面积为S，
D
C
则S AB BC (cos 3 sin ) 1 sin 2 3 1 cos 2
3
2
3
2
α OA
BP
第五章 三角函数
5.5.2 简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换
教学目标
01 能用二倍角公式导出半角公式（重点） 02 能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值（重点、难点）
03能 能利用三角恒等变换对三角恒等式的证明和一些简单的应用（重点、难点）
简单的三角恒等变换 数学抽象
学科素养
逻辑推理 数学建模
简单的三角恒等变换
【例8】求证：
（1）sin
cos
1 2
sin
sin
;
证明：因为
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin 两式相加： sin( ) sin( ) 2sin cos
sin cos 1 [sin( ) sin( )]
2
（2）sin sin 2sin cos .
2
2
证明：由（1）可得
sin cos 1 [sin( ) sin( )]
2
设 ，
则 ， -
2
2
代入上式，即可得
sin sin 2sin cos -
2
2
03
拓展提升
Expansion And Promotion
简单的三角恒等变换
【例5】求下列各式的值.
（1） 2 sin15 2 cos15;
2
2
【解析】原式 sin15 cos 45 cos15 sin 45 sin(15 45 ) sin 60 3 .
2
（2）1 sin105 3 cos105;
2
2
【解析】原式 sin105 cos60 cos105 sin 60 sin(105 60 ) sin 45 2 .