考研数学公式完整版

考研数学公式完整版
高等数学公式
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
a
x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22
=
'='⋅-='⋅='-='='2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-
='+=
'--
='-=
'⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
2222222⎰
⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C
a
x a x a x dx x a C
a x x a a x x dx a x C
a x x a a x x dx a x I n
n xdx xdx I n n n
n arcsin 22ln 22)ln(221
cos sin 22
2222222
2222222
22
2
22
2
π
π
2
22212211cos 12sin u
du
dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， 一些初等函数： 两个重要极限：
三角函数公式： ·诱导公式：
·和差角公式： ·和差化积公式：
2
sin
2sin 2cos cos 2cos
2cos 2cos cos 2sin
2cos 2sin sin 2cos
2sin
2sin sin β
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ
αβα-+=--+=+-+=--+=+α
ββαβαβαβ
αβαβ
αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=
±⋅±=
±=±±=±1
)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμx
x
arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x
x x
x x
x -+=-+±=++=+-=
=+=
-=
----11ln
21)1ln(1ln(:2
:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x
x
x x x x
·倍角公式：
·半角公式：
α
α
αααααααααααα
α
ααα
cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12
2
cos 12cos 2cos 12
sin -=
+=-+±=+=-=+-±
=+±=-±=ctg tg
·正弦定理：R C
c
B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：
C ab b a c cos 2222-+=
·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=
-=
2
arccos 2
arcsin π
π
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
)
()
()()2()1()(0
)
()()
(!
)1()1(!2)1()
(n k k n n n n n
k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+
'+==---=-∑ΛΛΛ
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=
---'=-)(F )
()
()()()()())(()()(ξξξ
曲率：
.
1
;0.)
1(lim M s M M :.,13202a
K a K y y ds d s K M M s
K tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆=
=''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。

：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α
ααα
α
定积分的近似计算：
α
ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=
-=-=α
α
αααααααααα
αα22222212221
2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=
-=
-=-=-==
⎰⎰⎰----+++++++++-≈
++++-≈
+++-≈
b
a
n n n b
a
n n b
a n y y y y y y y y n
a
b x f y y y y n a b x f y y y n
a
b x f )](4)(2)[(3)(])(2
1
[)()()(1312420110110ΛΛΛΛ抛物线法：梯形法：矩形法：
定积分应用相关公式：
⎰⎰--==⋅=⋅=b
a
b a dt t f a b dx
x f a b y k r
m
m k F A
p F s
F W )(1)(1
,2
221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：
空间解析几何和向量代数：。

代表平行六面体的体积为锐角时，
向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22
2
2
2
2
2
212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k
j i
b a
c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M
d z
y
x z y x
z
y x
z
y
x
z y x
z
y x z y x z
z y y x x z z y y x x u u ϖ
ϖϖϖ
ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ
ϖϖ
ϖϖϖϖϖϖϖ⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==
（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：
同号）
（、抛物面：、椭球面：二次曲面：
参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：
1
1
3,,2221
1};,,{,1
302),,(},,,{0)()()(122
222222
22222
222
22220000002
220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++=
=++=+++==-+-+-c
z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt
z z nt
y y mt
x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D
Cz By Ax d c
z
b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A ϖϖ
多元函数微分法及应用
z
y z x y x y x y x y x F F y z
F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x
v
v z x u u z x z y x v y x u f z t
v
v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z
u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -
=∂∂-=∂∂=⋅
-∂∂
-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅
∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=
， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：
时，
，当
：
多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22
)
,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0
),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v
G u
G v F
u
F
v u G F J v u y x G v u y x F v
u v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：
微分法在几何上的应用：
)
,,(),,(),,(30
))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}
,,{,0
),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()
()()
(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y
x y x x z x z z y z y -=
-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨
⎧====-'+-'+-''-=
'-='-⎪⎩
⎪
⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：
上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ϖ
ϖωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：
上的投影。

在是单位向量。

方向上的
，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f l f
l j i e e y x f l
f j y
f i x f y x f y x p y x f z l x y f
x f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(∂∂∴⋅+⋅=⋅=∂∂∂∂+∂∂=
=∂∂+∂∂=∂∂=ϖϖϖ
ϖϖϖϕϕϕϕ
ϕ
多元函数的极值及其求法：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧=-<-⎩⎨⎧><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22
000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x
重积分及其应用：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰++-=++=++==>===
=
==
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+==='
D
z D
y D
x z y x D
y D
x D
D
y D
x
D
D D
a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M
M y d y x d y x x M
M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2
3
22
2
2
3
22
2
2
3
22
2
22D
2
2
)
(),()
(),()
(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ
ρσ
ρσ
ρσρσρσ
ρσ
ρσ
ρσ
ρθ
θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面
柱面坐标和球面坐标：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
ΩΩ+=+=+====
=
=
===⋅⋅⋅=⎪⎩
⎪⎨⎧=====⎪⎩⎪
⎨⎧===dv
y x I dv z x I dv z y I dv
x M dv z M
z dv y M
y dv x M
x dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z
z r y r x z y x r ρρρρρρρϕθϕϕ
θθϕϕθϕθ
ϕϕθϕϕϕθϕθϕθθθθθθθπ
πθϕ)()()(1,1,1
sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )
,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220
)
,(0
2
2
2
， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标：
曲线积分：
⎩⎨
⎧==<'+'=≤≤⎩
⎨
⎧==⎰
⎰)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t
x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L
ϕβαψϕψϕβαψϕβ
α
特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：
第一类曲线积分（对弧。

，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！
减去对此奇点的积分，，应。

注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；
、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。

上积分起止点处切向量分别为
和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()
()(00
)
,()
,(00==+=
+∂∂∂∂∂∂∂∂-===∂∂-∂∂=-=+=∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂+=+'+'=+⎩⎨
⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x
dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y
P
x Q y
P
x Q G y x Q y x P G ydx
xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P
x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt
t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L
D L D L L
L
L
βαβαψψϕϕψϕψϕβ
α
曲面积分：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++±=±=±=++++=ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy
y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx
yz
xy
xy
D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(2
2γβα系：两类曲面积分之间的关号。

，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正
号；，取曲面的上侧时取正
，其中：
对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：
高斯公式：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑
∑
∑
∑
∑
Ω
∑=++==⋅<∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂ds
A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n ϖϖ
ϖϖϖdiv )cos cos cos (...
,0div ,div )cos cos cos ()(
成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：
—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Γ
Γ
∑
∑∑
Γ
⋅=++Γ∂∂
∂∂∂∂=
∂∂=
∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂
=∂∂∂∂∂∂++=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ds
t A Rdz Qdy Pdx A R
Q P z y x A y P
x Q x R z P z Q y R R
Q
P
z y x R Q P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P
x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ϖ
ϖϖϖ的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k
j i rot cos cos cos )()()(
γβ
α
常数项级数：
是发散的
调和级数：等差数列：等比数列：n
n
n n q q q q q n n 1
312112
)1(3211111
2
+++++=
++++--=
++++-ΛΛΛ 级数审敛法：
散。

存在，则收敛；否则发、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：、比值审敛法：
时，不确定时，级数发散
时，级数收敛
，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞
→+∞→∞
→+++=⎪⎩
⎪
⎨⎧=><=⎪⎩
⎪
⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211Λρρρρρρρρ。

的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1
113214321,0lim )0,(+∞
→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u ΛΛ 绝对收敛与条件收敛：
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
１时发散ｐ 级数： 收敛；
级数：收敛；
发散，而调和级数：为条件收敛级数。

收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11
1
)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n
n n n Λ
ΛΛΛ 幂级数：
01
0)3(lim
)3(111
1111
221032=+∞=+∞
===
≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n
n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定
时发散时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全
，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散
时，收敛于
ρρρ
ρρΛΛΛΛ
函数展开成幂级数：
Λ
ΛΛ
Λ+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()
()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2
0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ
一些函数展开成幂级数：
)
()!12()1(!5!3sin )11(!
)1()1(!2)1(1)1(1
21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+
+=+--x n x
x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n
m ΛΛΛΛΛ 欧拉公式：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix
ix ix
ix ix
e e x e e x x i x e 或 三角级数：。

上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )
sin cos (2)sin()(00101
0ππωϕϕϕω-====++=++=∑∑∞
=∞
=ΛΛnx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n
傅立叶级数：
是偶函数 ，余弦级数：是奇函数
，正弦级数：（相减）
（相加）
其中，周期∑⎰
∑⎰⎰⎰∑+=
==
======+-+-=++++=+++=
+++⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=====++=--∞
=nx a a x f n nxdx x f a b nx b x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n
n n n n n n n cos 2
)(2,1,0cos )(2
0sin )(3,2,1n sin )(2
012413121164
1312112461412185
1311)3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(1
2)sin cos (2)(0
2
2222
2222
222
2
221
0ΛΛΛΛΛΛΛΛπ
π
π
ππ
ππ
π
πππππππ
周期为l2的周期函数的傅立叶级数：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=====++=⎰⎰∑--∞=l
l n l l
n n n n n dx l x n x f l b n dx l x n x f l a l
l
x n b l x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(12)sin cos (2)(10ΛΛ 其中，周期ππππ
微分方程的相关概念：
即得齐次方程通解。

，
代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：
为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x
y
y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='⎰⎰)()(),(),()()()()()()(0
),(),(),(ϕϕϕ 一阶线性微分方程：
)
1,0()()(2))((0)(,0)()
()(1)()()(≠=+⎰
+⎰=≠⎰
===+⎰--n y x Q y x P dx
dy
e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx
dy
n dx
x P dx
x P dx
x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：
全微分方程：
通解。

应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u
y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=∂∂=∂∂=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(
二阶微分方程：
时为非齐次
时为齐次，0)(0)()()()(2
2≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy
x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
2
122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：
为常数；，其中∆'''=++∆=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r
二阶常系数非齐次线性微分方程
型
为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''
概率公式整理
1．随机事件及其概率
吸收律：A
AB A A
A A =⋃=∅⋃Ω
=Ω⋃)( A
B A A A A
A =⋃⋂∅
=∅⋂=Ω⋂)(
)(AB A B A B A -==-
反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=
I
Y n
i i n i i A A 1
1
===
Y I
n
i i n
i i A A 1
1
===
2．概率的定义及其计算
)(1)(A P A P -=
若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒
对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-
加法公式：对任意两个事件A , B , 有
)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃
)()
1()()
()()(211
111
1
n n n
n
k j i k
j
i
n
j i j
i
n
i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P ΛΛY -≤<<≤≤<≤==-+++
-
=∑∑∑
3．条件概率
()=A B P
)
()
(A P AB P
乘法公式
())
0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()()
)
0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P ΛΛΛΛ
全概率公式
∑==n i i AB P A P 1
)()( )()(1
i n
i i B A P B P ⋅=∑=
Bayes 公式
)(A B P k )
()
(A P AB P k =
∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1
)
()()()(
4．随机变量及其分布
分布函数计算
)
()()
()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<
5．离散型随机变量
(1) 0 – 1 分布
1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k
(2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p
n k p p C k X P k n k
k n ,,1,0,)1()(Λ=-==-
*Possion 定理
0lim >=∞
→λn n np
有
Λ
,2,1,0!)
1(lim ==---∞
→k k e
p p C k
k
n n k n
k n n λλ
(3) Poisson 分布 )(λP
Λ,2,1,0,!
)(===-k k e
k X P k
λλ
6．连续型随机变量
(1) 均匀分布 ),(b a U
⎪⎩
⎪
⎨⎧<<-=其他,0,1
)(b x a a
b x f ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F
(2) 指数分布 )(λE
⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,
00,)(x e x f x λλ
⎩
⎨⎧≥-<=-0,10,
0)(x e x x F x
λ
(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
+∞<<∞-=--x e
x f x 2
22)(21
)(σμσ
π
⎰
∞
---
=
x
t t e
x F d 21)(2
22)(σμσ
π
*N (0,1) — 标准正态分布
+∞<<∞-=-x e
x x 2
221
)(π
ϕ
+∞<<∞-=
Φ⎰
∞
--x t e x x
t d 21)(2
2π
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y )的分布函数
⎰
⎰
∞-∞
-=x
y
dvdu v u f y x F ),(),(
边缘分布函数与边缘密度函数
⎰⎰
∞-+∞
∞-=x
X dvdu v u f x F ),()(
⎰+∞
∞-=dv v x f x f X ),()(
⎰⎰
∞-+∞
∞-=y
Y dudv v u f y F ),()(
⎰
+∞
∞
-=du y u f y f Y ),()(
8.
连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,
0),(,1
),(G
y x A y x f
(2)
二维正态分布
+∞
<<-∞+∞<<∞-⨯-=
⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-+------
y x e
y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21
2
21σμσσμμρσμρρ
σπσ
9.
二维随机变量的 条件分布
0)()
()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()
()(>=y f y x f y f Y Y X Y
⎰⎰+∞
∞-+∞
∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰
⎰
+∞
∞
-+∞
∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()(
)(y x f Y X )(),(y f y x f Y =
)()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )()
,(x f y x f X =
)
()()(x f y f y x f X Y Y X =
10.随机变量的数字特征
数学期望
∑+∞
==1
)(k k k p x X E
⎰+∞
∞
-=dx x xf X E )()(
随机变量函数的数学期望
X 的 k 阶原点矩
)(k X E
X 的 k 阶绝对原点矩
)|(|k X E
X 的 k 阶中心矩
)))(((k X E X E -
X 的 方差
)()))(((2X D X E X E =-
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
)(l k Y X E
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
()
l k Y E Y X E X E ))(())((--
X ,Y 的 二阶混合原点矩
)(XY E
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
()))())(((Y E Y X E X E --
X ,Y 的相关系数
XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--)()())())(((
X 的方差
D (X ) =
E ((X - E (X ))2)
)()()(22X E X E X D -=
协方差
()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=
)()()(Y E X E XY E -=
())()()(2
1
Y D X D Y X D --±±
= 相关系数
)
()()
,cov(Y D X D Y X XY =
ρ
线性代数部分
梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。

沟通：突出各部分内容间的联系。

充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。

大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不
知道的。

但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。

基本运算
①A B B A +=+
②()()C B A C B A ++=++
③()cB cA B A c +=+ ()dA cA A d c +=+ ④()()A cd dA c =
⑤00=⇔=c cA 或0=A 。

()
A A T
T
=
()T
T T
B A B A ±=±
()()
T T
A c cA =。

()T
T T
A B AB =
()()()2
12112
-=
=-n n C n n n Λτ
n n A a A a A a D 2222222121+++=Λ
转置值不变A A T = 逆值变A
A
11
=
- A c cA n =
γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+
()321,,ααα=A ，3阶矩阵 ()321,,βββ=B B A B A +≠+
()332211,,βαβαβα+++=+B A
332211,,βαβαβα+++=+B A B A B A B A =*
=*00
()()1,=c j i E
有关乘法的基本运算
nj in j i j i ij b a b a b a C +++=Λ2211 线性性质 ()B A B A B A A 2121+=+， ()2121AB AB B B A +=+ ()()()cB A AB c B cA == 结合律 ()()BC A C AB =
()T
T T
A B AB =
B A AB =
l
k l
k
A A A +=
()
kl l
k
A A =
()k
k k
B A AB =不一定成立！
A AE =，A EA =
()kA kE A =，()kA A kE =
E BA E AB =⇔=
与数的乘法的不同之处
()k
k k
B A AB =不一定成立！
无交换律 因式分解障碍是交换性
一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如 ()()E A E A E A A +-=--3322
无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当0=AB 时0=⇒/A 或0=B 由0≠A 和00=⇒/=B AB
由0≠A 时C B AC AB =⇒/=（无左消去律） 特别的 设A 可逆，则A 有消去律。

左消去律：C B AC AB =⇒=。

右消去律：C B CA BA =⇒=。

如果A 列满秩，则A 有左消去律，即
①00=⇒=B AB ②C B AC AB =⇒=
可逆矩阵的性质 i ）当A 可逆时，
T A 也可逆，且()
()
T
T
A A 11
--=。

k A 也可逆，且()
()
k
k
A A 11
--=。

数0≠c ，cA 也可逆，()
1
1
1--=
A c
cA 。

ii ）A ，B 是两个n 阶可逆矩阵AB ⇔也可逆，且()
111
---=A B AB 。

推论：设A ，B 是两个n 阶矩阵，则E BA E AB =⇔= 命题：初等矩阵都可逆，且 ()()
()j i E j i E ,,1
=-
()()()
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-c i E c i E 11
()()()()()c j i E c j i E -=-,,1
命题：准对角矩阵
kk A A A A 0
000
0000
002211
O =
可逆⇔每个ii A 都可逆，记1122
111
10
00
0000000
----=kk
A A A A O
伴随矩阵的基本性质：
E A A A AA ==** 当A 可逆时， E A A A
=*
（求逆矩阵的伴随矩阵法）
()()
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛==----A A A
A A 1
111
* 伴随矩阵的其他性质
1
*-=A A A
②()
(),**T
T
A A =
④()*,**A B AB =
⑤()
()k
k
A A **=，
2=n 时， ()A A =** ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=d c b a A *
关于矩阵右上肩记号：T ，k ，1-，*
i) 任何两个的次序可交换，
如()
()T
T
A A **=，
()
()
**11--=A A 等
ii) ()()
111
,---==A B AB A
B AB T
T T
，
()***A B AB =
线性表示
s ααα,,,021Λ→
s i αααα,,,21Λ→
βααααααβ=+++⇔→s s s x x x ΛΛ221121,,,有解 ()βααα=⇔x s ,,,21Λ有解()(
)T
s x x x ,,1Λ=
β=Ax 有解，即β可用A 的列向量组表示 ()s r r r C AB ,,,21Λ==，()n A ααα,,,21Λ=， 则n s r r r ααα,,,,,,2121ΛΛ→。

s t αααβββ,,,,,,2121ΛΛ→，
则存在矩阵C ，使得()()C s t αααβββ,,,,,,2121ΛΛ=
线性表示关系有传递性 当p s t r r r ,,,,,,,,,212121ΛΛΛ→→αααβββ， 则p t r r r ,,,,,,2121ΛΛ→βββ。

等价关系：如果s
ααα,,,21Λ与
t βββ,,,21Λ互相可表示
t s βββααα,,,,,,2121ΛΛ←→
记作t s βββααα,,,,,,2121ΛΛ≅。

线性相关
1=s ，单个向量α，0=αx α相关0=⇔α
2=s ，21,αα相关⇔对应分量成比例 21,αα相关n n b a b a b a :::2211===⇔Λ
()n A ααα,,,21Λ=，0=Ax 有非零解0=⇔A
如果n s >，则s ααα,,,21Λ一定相关
0=Ax 的方程个数<n 未知数个数s ②如果s ααα,,,21Λ无关，则它的每一个部分组都无关
③如果s ααα,,,21Λ无关，而βααα,,,,21s Λ相关，则s αααβ,,,21Λ→
证明：设c c c s ,,,1Λ不全为0，使得011=+++βααc c c s s Λ
则其中0≠c ，否则s c c ,,1Λ不全为0，011=++s s c c ααΛ，与条件s αα,,1Λ无关矛
盾。

于是s s c
c c c ααβ---
=Λ11。

④当s ααβ,,1Λ→时，表示方式唯一s ααΛ1⇔无关
（表示方式不唯一s ααΛ1⇔相关）
⑤若s t ααββ,,,,11ΛΛ→，并且s t >，则t ββ,,1Λ一定线性相关。

证明：记()s A αα,,1Λ=，()t B ββ,,1Λ=，
则存在t s ⨯矩阵C ，使得 AC B =。

0=Cx 有s 个方程，t 个未知数，t s <，有非零解η，0=ηC 。

则0==ηηAC B ，即η也是0=Bx 的非零解，从而t ββ,,1Λ线性相关。

各性质的逆否形式
①如果s ααα,,,21Λ无关，则n s ≤。

②如果s ααα,,,21Λ有相关的部分组，则它自己一定也相关。

③如果s ααΛ1无关，而s ααβ,,1Λ→/，则βααs ,,1Λ无关。

⑤如果s t ααββΛΛ11→，t ββΛ1无关，则s t ≤。

推论：若两个无关向量组s ααΛ1与t ββΛ1等价，则t s =。

极大无关组
一个线性无关部分组()I ，若()I #等于秩()I →6421,,,αααα，()I 就一定是极大无关组 ①s ααα,,,21Λ无关⇔()s s =αααγ,,, 21Λ
②()()s s s ααγβαααγαααβ,, ,,,, ,,,12121ΛΛΛ=⇔→ 另一种说法： 取s ααα,,,21Λ的一个极大无关组()I
()I 也是βααα,,,,21s Λ的极大无关组⇔()β,I 相关。

证明：()()ββααβ,,,1I I s ⇔→⇔→Λ相关。

③β可用s αα,,1Λ唯一表示()()s s s ==⇔ααγβααγ,, ,,, 11ΛΛ ④()()s t s s t ααγββααγααββ,, ,,,,, ,,,,11111ΛΛΛΛΛ=⇔→
()()s t ααγββγ,, ,, 11ΛΛ≤⇒
⑤⇔≅t s ββαα,,,,11ΛΛ()()()t t s s ββγββααγααγ,, , ,, 1111ΛΛΛΛ==
矩阵的秩的简单性质 (){}n m A r ,m in 0≤≤ ()00=⇔=A A r A 行满秩：()m A r = A 列满秩：()n A r = n 阶矩阵A 满秩：()n A r =
A 满秩A ⇔的行（列）向量组线性无关 0≠⇔A A ⇔可逆
0=⇔Ax 只有零解，β=Ax 唯一解。

矩阵在运算中秩的变化
初等变换保持矩阵的秩 ①()()A r A
r T
=
②0≠c 时，()()A r cA r = ③()()()B r A r B A r +≤± ④()()(){}B r A r AB r ,m in ≤
⑤A 可逆时，()()B r AB r =
弱化条件：如果A 列满秩，则()()B AB γγ= 证：下面证0=ABx 与0=Bx 同解。

η是0=ABx 的解0=⇔ηAB
ηη⇔=⇔0B 是0=Bx 的解
B 可逆时，()()A r AB r =
⑥若0=AB ，则()()n B r A r ≤+（A 的列数，B 的行数） ⑦A 列满秩时()()B r AB r =
B 行满秩时()()A r AB r =
⑧()()()B r A r n AB r +≥+
解的性质
1．0=Ax 的解的性质。

如果e ηηη,,,21Λ是一组解，则它们的任意线性组合e e c c c ηηη+++Λ2211一定也
是解。

()00,2211=+++⇒=∀e e i i c c c A A ηηηηΛ 2．()0≠=ββAx
①如果e ξξξ,,,21Λ是β=Ax 的一组解，则
e e c c c ξξξ+++Λ2211也是β=Ax 的解121=+++⇔e c c c Λ e e c c c ξξξ+++Λ2211是0=Ax 的解021=+++⇔e c c c Λ i A i ∀⋅=βξ
()e e e e A c A c A c c c c A ξξξξξξ+++=+++ΛΛ22112211 ()βe c c c +++=Λ21
特别的： 当21,ξξ是β=Ax 的两个解时，21ξξ-是0=Ax 的解 ②如果0ξ是β=Ax 的解，则n 维向量ξ也是β=Ax 的解0ξξ-⇔是0=Ax 的解。

解的情况判别
方程：β=Ax ，即βααα=+++n n x x x Λ2211
n αααβ,,,21Λ→
()()A A γβγ=⇔|()()n n αααγβαααγ,,,,,,,2121ΛΛ=⇔
()()A A γβγ>|
()()n A A ==γβγ|
()()n A A <=γβγ| 方程个数m ：
()()m A m A ≤≤γβγ,|
①当()m A =γ时，()m A =βγ|，有解
②当n m <时，()n A <γ，不会是唯一解 对于齐次线性方程组0=Ax ，
只有零解()n A =⇔γ（即A 列满秩） （有非零解()n A <⇔γ）
特征值特征向量
两种特殊情形：
（1）A 是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛*=32
1 0
0 0
**
λλλA ()()()3213
2
1
0** λλλλλλ---=-*-----=
-x x x x x x A xE
（2）()1=A r 时：A 的特征值为()A tr ,0,,0,0Λ 特征值的性质
命题：n 阶矩阵A 的特征值λ的重数()A E r n --≥ λ 命题：设A 的特征值为n ,, , 21λλλΛ，则
命题：设η是A 的特征向量，特征值为λ，即ληη=A ，则 ①对于A 的每个多项式()A f ，()()ηηx f A f =
②当A 可逆时，ηλ
η1
1
=
-A ，ηλ
η|
|*A A =
命题：设A 的特征值为n ,,, 2 1λλλΛ，则
①()A f 的特征值为()()()n f f f ,,, 2 1λλλΛ ②A 可逆时，1
-A 的特征值为
n
1
,,1, 12 1λλλΛ
*A 的特征值为
n
A A A 2 1|
|,,||, ||λλλΛ ③T A 的特征值也是n ,, , 21λλλΛ 特征值的应用
①求行列式n A ,,, ||2 1λλλΛ= ②判别可逆性
E A λ-可逆λ⇔不是A 的特征值。

当()0=A f 时，如果()0≠c f ，则cE A -可逆
若λ是A 的特征值，则()λf 是()A f 的特征值()0=⇒λf 。

()c c f ⇒≠0不是A 的特征值AcE ⇔可逆。

n 阶矩阵的相似关系
当UA AU =时，A B =，而UA AU ≠时，A B ≠。

相似关系有i ）对称性：A B B A ~~⇔ B AU U
=-1
，则1-=UBU A
ii ）有传递性：B A ~，C B ~，则C A ~
B AU U
=-1
，C BV V =-1，则
()()C BV V AUV U V UV A UV ===----1
111
命题 当B A ~时，A 和B 有许多相同的性质 ①B A =
②()()B A γγ=
③A ，B 的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

A 与
B 的特征向量的关系：η是A 的属于λ的特征向量η1
-⇔U 是B 的属于λ的特征向量。

()()
()
η
ληηληη
ληληη1111111 -------=⇔==⇔=U AUU U U A U U U B A χ
χ
正定二次型与正定矩阵性质与判别
可逆线性变换替换保持正定性
()n x x x f ,,,21Λ变为()n y y y g ,,,21Λ，则它们同时正定或同时不正定
B A -~，则A ，B 同时正定，同时不正定。

例如AC C B T
=。

如果A 正定，则对每个0≠x
()0>==ACx Cx ACx C x Bx x T
T
T T
（C 可逆，0≠x ，0≠∴Cx ！） 我们给出关于正定的以下性质 A 正定E A -⇔~
⇔存在实可逆矩阵C ，C C A T
=。

A ⇔的正惯性指数n =。

A ⇔的特征值全大于0。

A ⇔的每个顺序主子式全大于0。

判断A 正定的三种方法： ①顺序主子式法。

②特征值法。

③定义法。

基本概念
对称矩阵A A T
=。

反对称矩阵A A T -=。

简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。

如果A 是一个n 阶矩阵，A 是阶梯形矩阵⇒A 是上三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：（解的情况） ①写出增广矩阵()βA ，用初等行变换化()βA 为阶梯形矩阵()
γB 。

②用()
γB 判别解的情况。

i ）如果()γB 最下面的非零行为()
d 0,,0Λ，则无解，否则有解。

ii ）如果有解，记γ是()
γB 的非零行数，则 n = γ时唯一解。

n <γ时无穷多解。

iii ）唯一解求解的方法（初等变换法）
去掉()γB 的零行，得()
00 γB ，它是()c n n +⨯矩阵，0B 是n 阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。

则0 ≠n n b ii n n b b Λ⇒≠⇒--01 1都不为0。

()
()
()
ηβE r B A −→−−→−行
行
η就是解。

一个n 阶行列式
nn
n n n
n
a a a a a a a a a Λ
ΛΛΛΛΛΛ
21
22221112
11
的值： ①是!n 项的代数和
②每一项是n 个元素的乘积，它们共有!n 项 n nj j j a a a Λ2121其中n j j j Λ21是n ,,2,1Λ的一个全排列。

③n nj j a a Λ11 前面乘的应为()
()
n j j j Λ211τ- ()n j j j Λ21τ的逆序数
()()
∑
-=
n
n n
j j j nj j j j j j a a a ΛΛΛ212
1
2
1211τ
()()()2
12112
-=
=-n n C n n n Λτ
代数余子式
ij M 为ij a 的余子式。

()
ij j
i ij M A +-=1
定理：一个行列式的值D 等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。

n n A a A a A a D 2222222121+++=Λ
一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。

范德蒙行列式
∏<-=j
i i j n
a a a a a )(111
11Λ
Λ 2n C 个
乘法相关
AB 的()j i ,位元素是A 的第i 行和B 的第j 列对应元素乘积之和。

nj in j i j i ij b a b a b a C +++=Λ2211
乘积矩阵的列向量与行向量
（1）设n m ⨯矩阵()n A ααα,,,21Λ=，n 维列向量()T
n b b b ,,,21Λ=β，则
n n b b b A αααβ+++=Λ2211 矩阵乘法应用于方程组 方程组的矩阵形式 β=Ax ，
()()T
m
b b b ,,,2
1
Λ=β
方程组的向量形式
βααα=+++n n x x x Λ2211 （2）设C AB =，
()s A A A AB βββ,,,21Λ=
n ni i i i i b b b A r αααβ+++==Λ2211
AB 的第i 个列向量是A 的列向量组的线性组合，组合系数是B 的第i 个列向量的各分量。

AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合，组合系数是A 的第i 个行向量的各分量。

矩阵分解
当矩阵C 的每个列向量都是A 的列向量的线性组合时，可把C 分解为A 与一个矩阵B 的乘积
特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题
()⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛n n λλλααα000000000
00
0,,,2121O Λ ()n n αλαλαλ,,,2211Λ=
对角矩阵从右侧乘一矩阵A ，即用对角线上的元素依次乘A 的各列向量 对角矩阵从左侧乘一矩阵A ，即用对角线上的元素依次乘A 的各行向量 于是A AE =，A EA =
()kA kE A =，()kA A kE =
两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘
对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂
对一个n阶矩阵A，规定()A
tr为A的对角线上元素之和称为A的迹数。

于是()()T
k
T
k
Tαβ
α
β
αβ1-
=()
[]T
k
T
trαβ
αβ1-
=()T
T trαα
α
α=
其他形式方阵的高次幂也有规律
例如：
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
1
1
2
1
1
A
初等矩阵及其在乘法中的作用
（1）()j i E,：交换E的第j i,两行或交换E的第j i,两列
（2）())(c i E：用数()0≠c乘E的第i行或第i列
（3）())(,c j i E：把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第j列上。

初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换
乘法的分块法则
一般法则：在计算两个矩阵A和B的乘积时，可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向分割与B的横向分割一致。

两种常用的情况
（1）B
A,都分成4块
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
22
21
12
11
A
A
A
A
A，⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
22
21
12
11
B
B
B
B
B
其中
1i
A的列数和
j
B
1
的行数相等，
2i
A的列数和
j
B
2
的行数相关。

⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
+
+
=
22
22
12
21
21
22
11
21
22
12
12
11
21
12
11
11
B
A
B
A
B
A
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
AB
（2）准对角矩阵
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
kk
A
A
A
Λ
O
Λ
Λ
22
11
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛kk kk kk kk B A B A B A B B B A A A 0
00
00
0000000000222211
112211
22
11O Λ
Λ
Λ
ΛΛΛΛΛ
Λ
Λ
O M ΛΛ
矩阵方程与可逆矩阵
两类基本的矩阵方程 （都需求A 是方阵，且0≠A ） ()B Ax I = ()B xA II = （I ）的解法：
()
()
x E B A −→−行
（II ）的解法，先化为T
T
T
B x A =。

()()
T T T x E B A →。

通过逆求解：B Ax =，B A x 1
-=
可逆矩阵及其逆矩阵
定义：设A 是n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵H ，使得E AH =，且E HA =，则称A 是可逆矩阵，称H 是A 的逆矩阵，证作1
-A 。

求1
-A 的方程（初等变换法） ()
()
1-−→−A E E A 行
伴随矩阵
()T
ij nn n n
n n A A A A A A A A A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=Λ
ΛΛΛΛΛΛ2122212
12111*
线性表示
β可以用s ααα,,,21Λ线性表示，即β可以表示为s ααα,,,21Λ的线性组合，
也就是存在s c c c ,,,21Λ使得 βααα=+++s s c c c Λ2211
记号：s αααβ,,,21Λ→
线性相关性
线性相关：存在向量i α可用其它向量s i i αααα,,,,,111ΛΛ+-线性表示。

线性无关：每个向量i α都不能用其它向量线性表示
定义：如果存在不全为0的s c c c ,,,21Λ，使得02211=+++s s c c c αααΛ则称
s ααα,,,21Λ线性相关，否则称s ααα,,,21Λ线性无关。

即：s ααα,,,21Λ线性相（无）关011=++⇔s s x x ααΛ有（无）非零解
()0,,,21=⇔x s αααΛ有（无）非零解
极大无关组和秩
定义：s ααα,,,21Λ的一个部分组()I 称为它的一个极大无关组，如果满足： i ）()I 线性无关。

ii ）()I 再扩大就相关。

()I s ααα,,,21Λ←→ ()()I II s ≅≅ααΛ1
定义：规定s ααα,,,21Λ的秩()()I s #,,, 21=αααγΛ。

如果s ααα,,,21Λ每个元素都是零向量，则规定其秩为0。

(){}s n s ,m in ,, 01≤≤ααγΛ
有相同线性关系的向量组
定义：两个向量若有相同个数的向量：s s βββααα,,,,,,,2121ΛΛ，并且向量方程 0,2211=+++s s x x x αααΛ与02211=+++s s x x x βββΛ同解，则称它们有相同的线性关系。

①对应的部分组有一致的相关性。

421,,ααα的对应部分组421,,βββ，。