2017高中数学 1.4 生活中的优化问题举例课时作业1 新人教A版选修2-2
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∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．
ห้องสมุดไป่ตู้B组 能力提升
9．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝ x3－ x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．
(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
解析：设OO1为xm，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.
则由题设可得正六棱锥底面边长为
＝ (m)，
于是底面正六边形的面积为
S＝6× ( )2＝ (8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V＝ × (8＋2x－x2)(x－1)＋ (8＋2x－x2)
＝ (8＋2x－x2)
＝ (16＋12x－x3)，
课时作业(九)生活中的优化问题举例
A组 基础巩固
1．有边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为()
A．18B．10
C．8 D．1
解析：设正方形的边长为x，则
V＝(8－2x)(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x) ，
V′＝4(3x2－13x＋10) ，
令V′＝0，得x＝1，
所以当x＝1时，容积V取最大值为18.
答案：D
2．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()
A．2πr2B．πr2
C．4πr2D. πr2
解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ，
∴S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ.
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，则在(0,24)内有x＝8，故当x＝8时，V有最大值．
答案：B
4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()
解析：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，
可得k＝ .∴Q＝ x3.
∴总费用y＝ · ＝ x2＋ .
∵y′＝ － .令y′＝0，得x＝20.
∴当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，
当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增．
∴当x＝20时，y取得最小值，
解析：设底面两邻边长分别为xcm,2xcm，则高h＝ ＝ .
∴表面积S＝4x2＋2(x＋2x)· ＝4x2＋ (x＞0)．
∴S′＝8x－ ＝ (x3－27)．
令S′＝0，解得S在(0，＋∞)内的唯一可能的极值点为x＝3，∴x＝3时函数取极值，且就是它的最小值．
答案：634
6．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为__________dm时最省料．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析：(1)设隔热层厚度为xcm，
由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝ ，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝ .
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20× ＋6x＝ ＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－ .
令f′(x)＝0，即 ＝6，
解得x＝5或x＝－ (舍去)．
当0≤x＜5时，f′(x)＜0；
当5＜x≤10时，f′(x)＞0.
故x＝5时是f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋ ＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
此时，L(30)＝23 000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
答案：D
5．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________cm，宽为________cm，高为________cm时，可使表面积最小．
S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos2θ＝0，∴θ＝ .
当θ＝ ，即R＝ r时，S侧最大且(S侧)max＝2πr2.
答案：A
3．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()
即汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
10．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
A．30元B．60元
C．28 000元D．23 000元
解析：设毛利润为L(P)，由题意知，
L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)
＝(8 300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11 700P－166 000，
所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700.
令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解析：(1)当x＝40时，
汽车从甲地到乙地行驶了 ＝2.5小时，要耗油 ×2.5＝17.5(升)．
(2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝ × ＝ x2＋ － (0＜x≤120)，
h′(x)＝ － ＝ (0＜x≤120)．
令h′(x)＝0，得x＝80.
因为x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；
x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
解析：设底面边长为xdm，则高h＝ ，
其表面积为S＝x2＋4× ×x＝x2＋ ，
S′＝2x－ ，令S′＝0，得x＝8，
则高h＝ ＝4(dm)．
答案：4
7．一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________时，帐篷的体积最大．
求导数，得V′＝ (12－3x2)．
令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．
当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.
所以当x＝2时，V最大．
答案：2 m
8．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？
ห้องสมุดไป่ตู้B组 能力提升
9．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝ x3－ x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．
(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
解析：设OO1为xm，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.
则由题设可得正六棱锥底面边长为
＝ (m)，
于是底面正六边形的面积为
S＝6× ( )2＝ (8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V＝ × (8＋2x－x2)(x－1)＋ (8＋2x－x2)
＝ (8＋2x－x2)
＝ (16＋12x－x3)，
课时作业(九)生活中的优化问题举例
A组 基础巩固
1．有边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为()
A．18B．10
C．8 D．1
解析：设正方形的边长为x，则
V＝(8－2x)(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x) ，
V′＝4(3x2－13x＋10) ，
令V′＝0，得x＝1，
所以当x＝1时，容积V取最大值为18.
答案：D
2．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()
A．2πr2B．πr2
C．4πr2D. πr2
解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ，
∴S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ.
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，则在(0,24)内有x＝8，故当x＝8时，V有最大值．
答案：B
4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()
解析：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，
可得k＝ .∴Q＝ x3.
∴总费用y＝ · ＝ x2＋ .
∵y′＝ － .令y′＝0，得x＝20.
∴当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，
当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增．
∴当x＝20时，y取得最小值，
解析：设底面两邻边长分别为xcm,2xcm，则高h＝ ＝ .
∴表面积S＝4x2＋2(x＋2x)· ＝4x2＋ (x＞0)．
∴S′＝8x－ ＝ (x3－27)．
令S′＝0，解得S在(0，＋∞)内的唯一可能的极值点为x＝3，∴x＝3时函数取极值，且就是它的最小值．
答案：634
6．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为__________dm时最省料．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析：(1)设隔热层厚度为xcm，
由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝ ，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝ .
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20× ＋6x＝ ＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－ .
令f′(x)＝0，即 ＝6，
解得x＝5或x＝－ (舍去)．
当0≤x＜5时，f′(x)＜0；
当5＜x≤10时，f′(x)＞0.
故x＝5时是f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋ ＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
此时，L(30)＝23 000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
答案：D
5．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________cm，宽为________cm，高为________cm时，可使表面积最小．
S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos2θ＝0，∴θ＝ .
当θ＝ ，即R＝ r时，S侧最大且(S侧)max＝2πr2.
答案：A
3．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()
即汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
10．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
A．30元B．60元
C．28 000元D．23 000元
解析：设毛利润为L(P)，由题意知，
L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)
＝(8 300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11 700P－166 000，
所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700.
令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解析：(1)当x＝40时，
汽车从甲地到乙地行驶了 ＝2.5小时，要耗油 ×2.5＝17.5(升)．
(2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝ × ＝ x2＋ － (0＜x≤120)，
h′(x)＝ － ＝ (0＜x≤120)．
令h′(x)＝0，得x＝80.
因为x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；
x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
解析：设底面边长为xdm，则高h＝ ，
其表面积为S＝x2＋4× ×x＝x2＋ ，
S′＝2x－ ，令S′＝0，得x＝8，
则高h＝ ＝4(dm)．
答案：4
7．一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________时，帐篷的体积最大．
求导数，得V′＝ (12－3x2)．
令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．
当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.
所以当x＝2时，V最大．
答案：2 m
8．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？