八年级数学上册全等三角形复习学案新人教

第12章 全等三角形复习
一、复习目标
1、掌握全等三角形的概念及其性质；
2、会灵活运用全等三角形的判定方法解决问题；
3、掌握角平分线的性质并能灵活运用。

二、知识再现
1、全等三角形的概念及其性质
1）全等三角形的定义： 2）全等三角形性质： （1） （2） （3）周长相等 （4）面积相等
例1．如图1, ABC ∆≌ADE ∆，BC 的延长线交DA 于F ， 交DE 于G,
105=∠=∠AED ACB , 25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数.
例题反思：
2、 全等三角形的判定方法：
例2.如图2,AD 与BC 相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：DBA CAB ∠=∠
例题反思：
例3.如图3，在ABC ∆中，AB=AC ，D 、E 分别在BC 、AC 边上。

且B ADE ∠=∠,AD=DE
求证：ADB ∆≌DEC ∆.
例题反思：
图1
图2 图3
3、角平分线
例4.如图4，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC
例题反思：
三、双基检测
1、下列命题中正确的（ ）
A ．全等三角形的高相等
B ．全等三角形的中线相等
C ．全等三角形的角平分线相等
D ．全等三角形对应角的平分线相等
2、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）
A ．已知两边和夹角
B ．已知两角和夹边
C ．已知两边和其中一边的对角
D ．已知三边
3、完成下列证明过程．
如图5，ABC △中，∠B ＝∠C ，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，且BD CE ，=DEF B ∠∠ 求证：=ED EF ．
证明：∵∠DEC ＝∠B ＋∠BDE （ ），
又∵∠DEF ＝∠B （已知），
∴∠______＝∠______（等式性质）．
在△EBD 与△FCE 中，
∠______＝∠______（已证），
______＝______（已知），
∠B ＝∠C （已知），
∴EBD FCE △≌△( )．
∴E D ＝EF ( )．
四、拓展提高
如图6⑴，AB=CD ，AD=BC ，O 为AC 中点，过O 点的直线分别与AD 、BC 相交于点M 、N ，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由。

若过O 点的直线旋转至图⑵、⑶的情况，其余条件不变，那么图⑴中的∠1与∠2的关系还成立吗？图
4 A D E C
B F 图5
请说明理由。

图6 五、学习反思
请你对照复习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ） A ．5.6×10﹣1
B ．5.6×10﹣2
C ．5.6×10﹣3
D ．0.56×10﹣1 【答案】B
【详解】0.056用科学记数法表示为：0.056=-25.610⨯，故选B.
2．小李家去年节余50000元，今年可节余95000元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为x 元，支出为y 元，则可列方程组为（ ）
A ．5000085%11095000x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．50000115%90%95000
x y x y -=⎧⎨-=⎩ C ．5000085%110%95000x y x y +=⎧⎨-=⎩
D ．5000085%110%95000x y x y -=⎧⎨-=⎩
【答案】B 【解析】根据题意可得等量关系：①去年的收入-支出=50000元；②今年的收入-支出=95000元，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】设去年的收入为x 元，支出为y 元，
由题意得：50000115%90%95000x y x y -=⎧⎨-=⎩
， 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系． 3．下列二次根式是最简二次根式的（ ）
A B C D
【答案】D
【解析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】A. 不是最简二次根式；
B. 7
不是最简二次根式；
C. 不是最简二次根式；
D. 6是最简二次根式；
故选：D.
【点睛】
本题考查的是最简二次根式的概念，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
4．如图，直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若AB=6，AC=4，BC=1．则△APC周长的最小值是
A．10 B．11 C．11.5 D．13
【答案】A
【分析】根据垂直平分线的性质BP=PC，所以△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=10.
【详解】如图，连接BP
∵直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线,
∴BP=PC,
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP,
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB，
∴△APC周长最小为AC+AB=10.
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短.做本题的关键是能得出AP+BP≥AB，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出结论，再根据结论进行推论.
5．将△ABC各顶点的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，顺次连接这三个点，得到另一个三角形，下列选项正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据将△ABC各顶点的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，可得出对应点关于y轴对称，进而得出答案．
【详解】解：∵将△ABC各顶点的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，顺次连接这三个点，得到另一个三角形，
∴对应点的坐标关于y轴对称，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标变化与坐标轴的关系是解题关键．
6．如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：
①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
BD=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BA，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，
∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
∴②正确；
③∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，
∴∠DCE=∠DAE ，
∴△ACE 为等腰三角形，
∴AE=EC ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴AD=EC ，
∴AD=AE=EC ，
∴③正确；
④因为BD 是△ABC 的角平分线，且BA>BC,所以D 不可能是AC 的中点，则AC≠2CD，
故④错误.
故选：C.
【点睛】
此题考查角平分线定理，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键.
7．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )
A ．1，2，3
B ．5，6，7
C ．1，4，9
D ．5，12，13 【答案】D
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A 、因为12+22≠32，所以不能组成直角三角形；
B 、因为52+62≠72，所以不能组成直角三角形；
C 、因为12+42≠92，所以不能组成直角三角形；
D 、因为52+122=132，所以能组成直角三角形．
故选：D ．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
8．如图，C 为线段AE 上任意一点（不与A 、E 重合），在AE 同侧分别是等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD BE =；②PD QE =；③PQ AE ；④60AOB ∠=︒；⑤QB AB =．正确的结论有（ ）
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
【答案】B 【解析】由已知条件可知根据SAS 可证得E ACD BC ∆∆≌，进而可以推导出AD BE =、PD QE =、PQ AE 、60AOB ∠=︒等结论．
【详解】∵ABC ∆和CDE ∆是等边三角形
∴AC BC =，CD CE =，60ACB ECD ∠=∠=︒
∴60PCQ ∠=︒
∴ACB PCQ ECD PCQ ∠+∠=∠+∠即ACD BCE ∠=∠
∴在ACD ∆和BCE ∆中，
AC BC
ACD BCE CD CE
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ACD BCE SAS ∆∆≌
∴AD BE =，ADC BEC ∠∠=，DAC EBC ∠=∠
∵60PCD QCE ∠=∠=∠︒，CD CE =
∴在PCD QCE ∆∆≌中
PCD QCE
CD CE PDC QEC
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴()PCD QCE ASA ∆∆≌
∴PD QE =，PC QC =
∴PCQ ∆是等边三角形
∴60CPQ ACB ∠=∠=︒
∴//PQ AE
∵60ACB BEC EBC ∠=∠+∠=︒
∴60AOB BEC DAC ∠=∠+∠=︒
∵在BQC ∆中，60BQC ECQ CEQ ∠=∠+∠>︒，60BCQ ∠=︒
∴QB BC <
∵BC AB =
∴QB AB <
∴正确的结论是：AD BE =，PD QE =、PQ AE 、60AOB ∠=︒
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形、等边三角形、全等三角形的相关内容，其结论都是在E ACD BC ∆∆≌的基础上形成的结论，说明证三角形全等是解题的关键，既可以充分揭示数学问题的层次，又可以考查学生的思维层次． 9．如图，AO =BO ，CO =DO ，AD 与BC 交于E ，∠O =40º，∠B = 25º，则∠BED 的度数是( )
A ．090
B ．060
C ．075
D ．085
【答案】A 【解析】先证明△OAD ≌△OBC,从而得到∠A=∠B,再根据三角形外角的性质求得∠BDE 的度数,最后根据三角形的内角和定理即可求出∠BDE 的度数.
【详解】解:在△OAD 和△OBC 中,
OA OB O O DO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
∴△OAD ≌△OBC(SAS)
∴∠A=∠B=25°,
∵∠BDE=∠O+∠A=40°+25°=65°,
∴∠BED=180°-∠BDE-∠A=180°-65°-26°=90°,
故选A.
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 和HL ，
做题时，要根据已知条件结合图形进行思考.
10．若关于x 的方程2122ax x x 无解，则a 的值是（ ） A ．1
B ．2
C ．－1或2
D ．1或2
【答案】A
【分析】根据解分式方程的步骤，可求出分式方程的解，根据分式方程无解，可得a 的值．
【详解】解：方程两边同乘()2x -，得()22ax x =+-， ()10a x -=，
∵关于x 的方程2122ax
x x 无解，
∴20x -=，10a -=，
解得：2x =，1a =，
把2x =代入()10a x -=，得：()120a -⨯=，
解得：1a =，
综上，1a =，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，把分式方程转化成整式方程，把分式方程的增根代入整式方程，求出答案．
二、填空题
11．如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠B=70°，则∠C=______．
【答案】35°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB 的度数，再由平角的定义得出∠ADC 的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】∵△ABD 中，AB=AD ，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，
∵AD=CD ，
∴∠C=（180°﹣∠ADC ）÷2=（180°﹣110°）÷
2=35°. 【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
12．若225x y +=，2xy =，则2()x y -=______．
【答案】1
【解析】将原式展开可得22
2x xy y -+，代入求值即可.
【详解】当225x y +=，2xy =时， ()2222222541x y x xy y x y xy -=-+=+-=-=.
故答案为：1.
【点睛】
此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键.
13．为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示．若2S 甲和2
S 乙 分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则2S 甲________2S 乙．(填“>”、“<”或“=”)．
【答案】<
【解析】方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异，所以从图像看苗高的波动幅度，可以大致估计甲、乙两块地苗高数据的方差.
【详解】解：由图可知，甲、乙两块地的苗高皆在12cm 上下波动，但乙的波动幅度比甲大， ∴ 则2
2S S <甲乙
故答案为：<
【点睛】
本题考查了方差，方差反映了数据的波动程度，方差越大，数据的波动越大，正确理解方差的含义是解题的关键.
14．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是5cm ，8cm ，则它的面积是_____cm 1．
【答案】40
【分析】三角形面积=12⨯斜边⨯高.
【详解】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形面积=12
⨯斜边⨯高=58⨯=40.
【点睛】
掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键. 15．如图所示，等边ABO ∆的顶点B 在x 轴的负半轴上，点A 的坐标为13--（，）
，则点B 坐标为_______；点C 是位于x 轴上点B 左边的一个动点，以AC 为边在第三象限内作等边ACD ∆,若点D m n （，）
.小明所在的数学兴趣合作学习小组借助于现代互联网信息技术，课余时间经过探究发现无论点C 在点B 左边x 轴负半轴任何位置，m ，n 之间都存在着一个固定的一次函数关系，请你写出这个关系式是_____．
【答案】-20B （，） 323n m
【分析】过点A 作x 轴的垂线，垂足为E ，根据等边三角形的性质得到OE 和AE ，再根据三线合一得到OB 即可；再连接BD ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ，证明△OAC ≌△BAD ，得到∠CAD=∠CBD=60°，利用30°所对的直角边是斜边的一半以及点D 的坐标得到BF 和DF 的关系，从而可得关于m 和n 的关系式.
【详解】解：如图，过点A 作x 轴的垂线，垂足为E ，
∵△ABO 为等边三角形，A 13--（，）
， ∴OE=1，3，
∴BE=1，
∴OB=2，即B （-2，0）；
连接BD ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ，
∵∠OAB=∠CAD ，
∴∠OAC=∠BAD ，
∵OA=AB ，AC=AD ，
∴△OAC ≌△BAD （SAS ），
∴∠OCA=∠ADB ，
∵∠AGD=∠BGC ，
∴∠CAD=∠CBD=60°，
∴在△BFD 中，∠BDF=30°，
∵D （m ，n ），
∴DF=-m ，DF=-n ，
∵B （-2，0），
∴BF=-m-2，
∵DF=3BF ， ∴-n=3（-m-2），
整理得：323n m .
故答案为：-20B （，）
，323n m .
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，有一定难度.
16．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，BE AD ⊥于点E .若28DBE ∠=︒，则∠=CAB _______________．
【答案】56°
【分析】根据三角形内角和定理证明∠DBE=∠DAC ，再根据角平分线的定义即可解决问题．
【详解】∵∠C=∠E=90°，∠ADC=∠BDE ，
∴∠DBE=∠DAC=28°．
∵AD 平分∠CAB ，
∴∠CAB=2∠CAD=2×28°=56°．
故答案为：56°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解答本题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．若|3x+2y+1|+5x y +-＝0，则x ﹣y ＝_____
【答案】﹣1
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得到方程组321050x y x y ++=⎧⎨+-=⎩
，解方程组后即可得到答案. 【详解】解：∵|3x+2y+1|+5x y +-＝0，
∴321050x y x y ++=⎧⎨+-=⎩
， 解得1116x y =-⎧⎨=⎩
， ∴x ﹣y ＝﹣11﹣16＝﹣1．
故答案为：﹣1.
【点睛】
此题考查绝对值和算术平方根的非负性，根据非负性得到方程组是解题的关键.
三、解答题
18．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm/秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒：
（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）
（2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？
（3）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm/秒的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(10﹣2t )；（2）t ＝2.5；（3）2.4或2
【分析】（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC ﹣BP 即可得到CP 的长；
（2）当t ＝2.5时，△ABP ≌△DCP ，根据三角形全等的条件可得当BP ＝CP 时，再加上AB ＝DC ，∠B ＝∠C 可证明△ABP ≌△DCP ；
（3）此题主要分两种情况①当BA ＝CQ ，PB ＝PC 时，再由∠B ＝∠C ，可得△ABP ≌△QCP ；②当BP ＝CQ ，AB ＝PC 时，再由∠B ＝∠C ，可得△ABP ≌△PCQ ，然后分别计算出t 的值，进而得到v 的值．
【详解】解：（1）点P 从点B 出发，以2cm/秒的速度沿BC 向点C 运动，点P 的运动时间为t 秒时，BP ＝2t ，
则PC ＝（10﹣2t ）cm ；
故答案为：（10﹣2t ）；
（2）当t ＝2.5时，△ABP ≌△DCP ，
∵当t ＝2.5时，BP ＝2.5×2＝5，
∴PC ＝10﹣5＝5，
∵在△ABP 和△DCP 中，
90AB DC
B C BP CP
=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，
∴△ABP ≌△DCP （SAS ）；
（3）①如图1，当BA ＝CQ ，PB ＝PC 时，再由∠B ＝∠C ，可得△ABP ≌△QCP ，
∵PB ＝PC ，
∴BP ＝PC ＝1
2BC ＝5，
2t ＝5，
解得：t ＝2.5，
BA ＝CQ ＝6，
v×2.5＝6，
解得：v ＝2.4（秒）．
②如图2，当BP ＝CQ ，AB ＝PC 时，再由∠B ＝∠C ，可得△ABP ≌△PCQ ，
∵AB ＝6，
∴PC ＝6，
∴BP ＝10﹣6＝4，
2t ＝4，
解得：t ＝2，
CQ ＝BP ＝4，
2v ＝4，
解得：v ＝2；
综上所述：当v ＝2.4秒或2秒时△ABP 与△PQC 全等．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．
19．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【答案】（1）这项工程的规定时间是2天；（2）该工程的费用为180000元．
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x 天，然后根据“甲、乙两队合做15天的工作量＋甲队单独做5天的工作量=1”列方程即可；
（2）先求出甲、乙两队合做完成需要的时间，然后乘每天的施工费用之和即可得出结论．
【详解】（1）设这项工程的规定时间是x 天， 根据题意得：（
11+1.5x x ）×15+5x =1． 解得：x=2．
经检验x=2是方程的解．
答：这项工程的规定时间是2天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（11+30 1.530
⨯）=18（天）， 则该工程施工费用是：18×（6500+3500）=180000（元）．
答：该工程的费用为180000元．
【点睛】
此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键，需要注意的是分式方程要验根．
20．（1）计算：|﹣5|+（π﹣2020）0﹣（
12）﹣1； （2）解方程：
21411x x x ++--＝1．
【答案】（1）4；（2）x ＝﹣2．
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）原式＝5+1﹣2＝4；
（2）方程两边乘以（x+1）（x ﹣1）得：（x+1）2+4＝（x+1）（x ﹣1），
解得：x ＝﹣2，
检验：当x ＝2时，（x+1）（x ﹣1）≠0，
∴x ＝﹣2是原方程的解，
∴原方程的解是：x ＝﹣2．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算和分式方程的计算，掌握有理数的混合运算法则以及分式方程的计算方法是解题的关键．
21．已知如图，长方体的长20BE cm =，宽10AB cm =，高15AD cm =，点M 在CH 上，且5CM cm =，一只蚂蚁如果沿沿着长方体的表面从点A 爬到点M ，需要爬行的最短距离是多少？
【答案】需要爬行的最短距离是152．
【分析】将长方体沿CH 、HE 、BE 剪开，然后翻折，使面ABCD 和面BEHC 在同一个平面内，连接AM ；或将长方体沿CH 、GD 、GH 剪开，然后翻折，使面ABCD 和面DCHG 在同一个平面内，连接AM ；或将长方体沿AB 、AF 、EF 剪开，然后翻折，使面ABEF 和面BEHC 在同一个平面内，连接AM ；再分别在Rt △ADM 、Rt △ABM 、Rt △ACM 中，利用勾股定理求得AM 的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】解：将长方体沿CH 、HE 、BE 剪开，然后翻折，使面ABCD 和面BEHC 在同一个平面内，连接AM ，如图1，
由题意可得：MD ＝MC ＋CD ＝5＋10＝15cm ，AD ＝15cm ，
在Rt △ADM 中，根据勾股定理得：AM 221515152cm ；
将长方体沿CH 、GD 、GH 剪开，然后翻折，使面ABCD 和面DCHG 在同一个平面内，连接AM ，如图2，
由题意得：BM ＝BC ＋MC ＝5＋15＝20cm ，AB ＝10cm ，
在Rt △ABM 中，根据勾股定理得：AM ＝222010105cm ， 将长方体沿AB 、AF 、EF 剪开，然后翻折，使面ABEF 和面BEHC 在同一个平面内，连接AM ，如图3， 由题意得：AC ＝AB ＋CB ＝10＋15＝25cm ，MC ＝5cm ，
在Rt △ACM 中，根据勾股定理得：AM ＝22
255526cm ， ∵152450，105500，526650， ∴152526<10<5，
则需要爬行的最短距离是152cm ．
【点睛】
此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理求解．
22．（1）计算：2a 2•a 4﹣(2a 2)3+7a 6
（2）因式分解：3x 3﹣12x 2+12x
【答案】（1）a 6；（1）3x(x ﹣1)1．
【分析】（1）根据单项式乘单项式的运算法则、合并同类项法则计算；
（1）利用提公因式法和完全平方公式因式分解．
【详解】（1）原式=1a 6﹣8a 6+7a 6=a 6；
（1）原式=3x(x 1﹣4x+4)=3x(x ﹣1)1．
【点睛】
本题考查的是单项式乘单项式、多项式的因式分解，掌握单项式乘单项式的运算法则、提公因式法和完全平方公式因式分解的一般步骤是解题的关键．
23．设2244322M x xy y x y =-+-+，则M 的最小值为______．
【答案】38
-
【分析】把M 化成完全平方的形式，再示出其最小值即可．
【详解】2244322M x xy y x y =-+-+
22112224x y y y
⎛⎫=--++- ⎪⎝
⎭ 22111132224488x y y ⎛⎫⎛⎫=--++--≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 当且仅当14y =-，316
x =表达式取得最小值． 故答案为：38
-．
【点睛】
考查了完全平方公式，解题关键是把整式化成完全平方的形式．
24．如图：在△ABC 中∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CF ⊥AE ， 垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．
求证：（1）AE ＝CD ．（2）若AC ＝12cm ，求BD 的长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】（1）根据DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，得出∠D ＝∠AEC ，再结合∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，证明△DBC ≌△ECA ，即可得证；
（2） 由（1）可得△DBC ≌△ECA ，可得CE=BD ，根据BC=AC=12cm AE 是BC 的中线，即可得出12
CE BC =，即可得出答案． 【详解】证明：（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，
∴∠DCB ＋∠D ＝∠DCB ＋∠AEC ＝90°．
∴∠D ＝∠AEC ．
又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，
在△DBC 和△ECA 中90D AEC DBC ECA BC AC ∠∠∠∠⎪⎩
︒⎧⎪⎨＝＝＝＝，
∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．
∴AE＝CD；
（2）由（1）可得△DBC≌△ECA ∴CE=BD，
∵BC=AC=12cm AE是BC的中线，
∴
1
6
2
CE BC cm
==，
∴BD=6cm．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，证明△DBC≌△ECA解题关键．25．为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.
【答案】甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60km/h和90km/h.
【分析】解：设甲校师生所乘大巴车的平均速度为xkm/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5xkm/h，根据甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地列出方程进行求解即可.
【详解】设甲校师生所乘大巴车的平均速度为xkm/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5xkm/h.根据题意得
240270
1
1.5
x x
-=，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解且符合实际意义，
1.5x＝90，
答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60km/h和90km/h.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为41，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=41；②a-b=2；
③2ab=45；④a+b=1．其中正确的结论是（）
A．①②③B．①②③④C．①③D．②④
【答案】A
【分析】观察图形可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理即可得到大正方形的边长，
从而得到①正确，根据题意得4个直角三角形的面积=4×1
2
×ab=大正方形的面积-小正方形的面积，从而
得到③正确，根据①③可得②正确，④错误.
【详解】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，∴斜边的平方= a2+b2，
由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，
∴大正方形的面积=斜边的平方= a2+b2，
即a2+b2=41，故①正确；
根据题意得4个直角三角形的面积=4×1
2
×ab=2ab，
4个直角三角形的面积=S大正方形-S小正方形=41-4=45，即2ab=45，故③正确；
由①③可得a2+b2+2ab=41+45=14，
即(a+b)2=14，
∵a+b>0，
∴94
由①③可得a2+b2-2ab=41-45=4，
即(a-b)2=4，
∵a-b>0，
∴a-b=2，故②正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，完全平方公式的运用等知识．熟练运用勾股定理是解题的关键． 2．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A ．9，40，41
B ．5，12，13
C ．0.3，0.4，0.5
D ．8，24，25
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
【详解】A 、92+402=412，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B 、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
C 、∵0.32+0.42=0.52，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
D 、82+242≠252，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．当x 为（ ）时，分式211x x -+的值为零． A ．0
B ．1
C ．－1
D ．2
【答案】B 【解析】要使分式的值为零，需要分式的分子为零而分母不为零，据此列式解答即可.
【详解】根据题意可得，21010x x ⎧-=⎨+≠⎩
， ∴当x=1时，分式2
11x x
-+的值为零.故选B. 【点睛】
本题考查分式的值何时为0，熟知分式值为0条件：分子为0且分母不为0是解题的关键.
4．若2()(3)x px q x -+-展开后不含x 的一次项，则p 与q 的关系是
A ．3p q =
B ．30q p +=
C ．30p q +=
D ．3q p =
【答案】B 【分析】利用多项式乘多项式法则计算，令一次项系数为1求出p 与q 的关系式即可．
【详解】2()(3)x px q x -+-＝x 3−3x 2−px 2＋3px ＋qx−3q ＝x 3＋（−p−3）x 2＋（3p ＋q ）x−3q ，
∵结果不含x 的一次项，
∴q ＋3p ＝1．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．
5．点 P （x ，y ）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组 3243
x y a x y a -=-⎧⎨+=-+⎩的解（a 为任意实数），则当 a 变化时，点 P 一定不会经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【分析】首先用消元法消去a ，得到y 与x 的函数关系式,然后根据一次函数的图象及性质即可得出结论． 【详解】解：3243x y a x y a -=-⎧⎨+=-+⎩
①② 用②×2＋①,得52x y +=
∴52y x =-+
∵50,20-<>
∴52y x =-+过一、二、四象限，不过第三象限
∴点P 一定不会经过第三象限，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程的知识，解题的关键是首先消去a ，求出y 与x 的函数关系式． 6．下列四个图形中，不是．．
轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可．
【详解】A 、是轴对称图形，此项不符题意
B 、不是轴对称图形，此项符合题意
C 、是轴对称图形，此项不符题意
D 、是轴对称图形，此项不符题意
故选：B ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．
7．已知点(),0P a 在x 轴的负半轴，则点(),1M a a --在（ ）．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，x 轴负半轴上点的横坐标为负数，再根据相反数的意义和有理数的加法判断M 的坐标符号． 【详解】解：点(),0P a 在x 轴的负半轴， ∴ 0a <，
010a a ∴->-<，，
∴ (),1M a a --在第四象限，
故选：D
【点睛】
本题考查了直角坐标系内点的坐标特征，正确理解坐标轴上点的坐标特征及有理数的加法法则是解答本题的关键．
8．如图，在ABC ∆中，BC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E .若ABC ∆的周长为20，4BE =，则ABD ∆的周长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．12
D ．20 【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出CD=BD ，BC=2BE ，得出AC+AB=△ABC 的周长-BC ，再求出△ABD 的周长=AC+AB 即可．
【详解】解：∵BE=4，DE 是线段BC 的垂直平分线，
∴BC=2BE=8，BD=CD ，
∵△ABC 的周长为20，
∴AB+AC=16-BC=20-8=12，
∴△ABD 的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AC+AB=12，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质得出BD=CD 是解此题的关键． 9．点()()124,,2,y y -都在直线y x k =-+上，则1y 与2y 的大小关系是（ ）
A ．12y y >
B ．12y y =
C ．12y y <
D ．不能比较
【答案】A
【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．
【详解】解：∵直线y x k =-+中，-1＜0，
∴y 随x 的增大而减小．
∵-4＜1，
∴y 1＞y 1．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质．解答此题要熟知一次函数y=kx+b ：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．
10．摩托车开始行驶时，油箱中有油4升，如果每小时耗油0.5升，那么油箱中余油量y （升）与它工作时间t （时）之间函数关系的图象是（ ） A ． B ．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意根据剩余油量等于油箱中的原有的油量减去用去的油量，列出y、x的关系式，然后根据一次函数的图象选择答案即可．
【详解】解：∵油箱中有油4升，每小时耗油0.5升，
∴y=4-0.5x，
∵4-0.5x≥0，
∴x≤8，
∴x的取值范围是0≤x≤8，
所以，函数图象为：
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，一次函数的图象，比较简单，难点在于根据实际意义求出自变量x的取值范围．二、填空题
1154n n的最小正整数值为__________．
【答案】1
54n54n
36n
54n96n
54n
∴1n为完全平方数，
∴n的最小值是1．
故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．。