河南省2022学年高二下学期月考数学(理)试卷 含答案

高二第一次质量检测理数试题
第I 卷（选择题）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数()x f 的定义域为()b a ,，导函数()x f '在()b a ,内的图象如图所示，则函数()x f 在()
b a ,内有几个极小值点（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．已知曲线2
22y x x =+-在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是（ ） A ．(1,3) B ．(1,3)-- C ．(2,3)-- D ．(2,3)-
3．若a b R ∈，，给出下列条件：①1>+b a ；②2=+b a ；③2>+b a ；④222>+b a ；⑤1>ab ．其中能推出“b a ，中至少有一个数大于1”的条件有几个（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知函数()2ln 81f x x x =++，则x
f x f x ∆-∆-→∆)
1()21(lim 0
的值为（ ）
A ．10
B ．10-
C ．20-
D ．20
5．下列函数中，导函数在(0,)+∞上是单调递增函数的是（ ）
A.x x y -=ln 3
B.x e y x
+= C.23+=x y D.x x x y 22
3
+-=
6．已知三次函数()x f y =的图象如图所示，若()x f '是函数()x f 的导函数，则关于x 的不等式()()7f x f x >'的解集为（ ）
A. }410|{<<<x x x 或
B. }7|{<x x
C. {
}14x x << D. }104|{<<>x x x 或 7．若函数x x x y 962
3
+-=的图象与直线a y =有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. )0,(-∞
B. )4,0(
C. ),4(∞+
D.
)3,1(
8．函数x kx x x f 7)(2
3
-+=在区间]1,1[-上单调递减，则实数k 的取值范围是（ ） A. ]2,(--∞ B. ]2,2[- C. ),2[∞+- D. ),2[∞+
()
y f x '=
9．把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为（ ）
A ．2:1
B ．π:1
C ．1:2
D ．π:2
10．已知()x f '为()x f 的导函数，若()2ln x x f =，且()12
1
2113-+'=⎰b a f dx x b b ，(1)b >，
则b a +的最小值为（ ） A ．24 B ．22
C ．
2
9 D ．
222
9
+ 11．设函数)0(2
)(>+=
x x x
x f ，观察下列各式： 2
)()(1+=
=x x
x f x f ， 43))(()(12+=
=x x
x f f x f ， 87))(()(23+=
=x x
x f f x f ， 16
15))(()(34+=
=x x
x f f x f ， …，))(()(1x f f x f n n -=，…，
根据以上规律，若2018
1
)21(>n f ，则整数n 的最大值为（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
12．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(∞+∈x 时，都有不等式0
)()(<'-x f x x f 成立，若)1(f a =，
)2(24.04
.0-=f b ，)16
1
(log )21(log 44f c =，
则c b a ,,的大小关系是（ ） A ．b c a >>
B ．c b a >>
C ．a c b >>
D ．b a c >>
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．曲线3
4x x y -=在点)3,1(处的切线的倾斜角是 ． 14．已知函数x x x x f ln 342
1)(2
-+-
=在]1,[+t t 上不单调，则t 的取值范围是 ． 15．下列命题中正确的有 ．（填上所有正确命题的序号）
①一质点在直线上以速度)/(1232
s m t t v --=运动，从时刻)(0s t =到)(3s t =时质点运动的路程为)(15m ；②若x x x <∈sin ),,0(则π；③若0)(0='x f ，则函数)(x f y =在
0x x =取得极值；④已知函数x x x f 4)(2
+-=，则π=⎰dx x f 2
)(．
16．对于三次函数)0()(2
3≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义：设)(x f '是函数)(x f y =的
导数，)(x f ''是)(x f '的导数，若方程0)(=''x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”
．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若16
1
2131)(23++-=x x x x f ，则该函数的对称中心为 ，计算1232012
()()()()______2013201320132013
f f f f ++++=．
三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本题满分10分)
已知命题09:2
=+-mx x p 无实数解，命题:q 方程
1142
2=-+-m
y m x 表示焦点在x 轴上的 双曲线．
（1）若命题q ⌝
为假命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题“q p 或”为真，命题“q p 且”为假，求实数m 的取值范围． 18． (本题满分12分)
已知函数),(2)(2
3
R b a bx ax x x f ∈+++=的图象在点))1(,1(f M 处的切线方程为
0312=-+y x ．
（1）求b a ,的值；
（2）求)(x f 在]4,2[-的最值．
19．(本题满分12分)
已知c b a ,,分别是ABC ∆的内角C B A ,,所对的边，)6
cos(sin π
-=B a A b ．
（1）求角B 的大小；
（2）若2=b ，求ABC ∆面积的最大值．
20．(本题满分12分)
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a 元(a 为常数，52≤≤a )的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为
x e
k
(e 为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元． （1）求分公司经营该产品一年的利润)(x L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润)(x L 最大？并求出)(x L 的最大值．
21．(本题满分12分)
（1）当2
a b ==
时，求函数()f x 的单调区间； （2）当0a =，1b =-时，方程()f x mx =在区间2
[1,e ]内有唯一的实数解，求实数m 的取
值范围．
22．(本题满分12分)
函数.,)1()(R a e a x x g x
∈++= （1）讨论)(x g 的单调性；
（2）若对任意R x ∈，不等式e ex e x g x
-≥-3)(恒成立，求实数a 的取值范围．
高二第一次质量检测理数答案
第I 卷（选择题）
一、选择题
1-4：ABAC 5-8：BABB 9-12： CCCD
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题
13.
4π
. 14.0＜t ＜1或2＜t ＜3 15. ②④ 1
16.(,1)2
2012
三．解答题
17. 解：（1）命题q ：40
,10
-m m >⎧⎨
-<⎩得1＜m ＜4
依题意得q 为真命题
所以，m 的取值范围为(1,4) …………………………（4分） （2）命题p ：∆=m 2
﹣36＜0，得6-＜m ＜6 …………………………（6分）
依题意得p 与q 必然一真一假 若p 真q 假，则66
41m m m -<<⎧⎨
≥≤⎩
或，得6-＜m ≤1或4≤m ＜6 ……………………（8分）
若p 假q 真，则66
14
-m m m ≥≤⎧⎨
<<⎩或，此时无解 ………………………（9分）
所以，实数m 的取值范围为6,1][4,6)-（ …………………………（10分）
18. 解：（1）函数()f x =x 3+ax 2+bx +2的导数为()f x '=3x 2
+2ax +b ， ……… …（1分）
由图象在点M （1，f （1））处的切线方程为12x +y -3＝0， 可得3+2a +b =12-，3+a +b =9-，
解得a 3=-，b =9-； ……… ………… … … …… … （4分） （2）3
2
()392f x x x x =--+的导数为2
()369,f x x x '=-- 由()0f x '=，可得13x x =-=或，
令()0f x '>，得x >3或x <1-；令()0f x '<，得﹣1<x <3；
故()f x 在(2,1)--,(3,4)上单调递增,(1,3)-上单调递减；……… … … …… … （8分）
且(1)7f -=,(3)25f =-,(2)0f -=,(4)18f =-
所以()f x 在[2,4]-的最小值为25-，最大值为7． ……… … … …… … （12分） 19. 解：（1）∵在ABC ∆中，由正弦定理
sin sin a b
A B
=
，可得b sin A ＝a sin B ， 又sin cos()6
b A a B π
=-,
∴a sin cos()6B a B π
=-，即：sin cos()6
B B π
=-，整理可得：tan B = ∵B ∈(0,)π，∴B 3
π
=
． …… … … … … …… … … … （6分）
（2）由（1）及余弦定理可得：4＝a 2
+c 2
﹣2ac cos
3
π，可得：ac ＝a 2+c 2
﹣4， 又a 2
+c 2
≥2ac ，当且仅当a ＝c 时等号成立，∴ac ≥2ac ﹣4，解得ac ≤4，
∴S △ABC 1
2
=
ac sin B ≤142⨯=（当且仅当a ＝c 时等号成立）．
故∆ABC … …… … … …… … … … （12分）
20. 解:(1) 由于年销售量为Q (x )＝k
e x ，则k e 40＝500，所以k ＝500e 40
，则年售量为Q (x )＝500e 40
e
x
万件，
则年利润L (x )＝(x -a -30)500e 40
e x ＝500e 40
·30x x a e --(35≤x ≤41)．… … … （4分）
(2) L '(x )＝500e 40
·
31x
a x
e +-. …… …… … … … （5分）
①当2≤a ≤4时，33≤a +31≤35，
当35≤x ≤41时，L '(x )≤0；所以x ＝35时，L (x )取最大值为500(5-a )e 5
.…（8分）
②当4<a ≤5时，35<a +31≤36，
令L '(x )＝0，得x ＝a +31，易知x ＝a +31时，L (x )取最大值为5009a
e
-. …（11
分）
综上所述：当2≤a ≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5-a )e 5
万元；当4<a ≤5，每件产品的售价为(31+a )元时，该产品一年的利润最
大，最大利润为5009a
e
-万元． … …… … ……… … … … … …
（12分）
21．解:（1）依题意知：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
当1
2
a b ==
11()()()22221f 'x x x x x x +=--1--=，
令()0f 'x =，解得1x =(负值舍去)，
当x 变化时，()f x 与()f x '的变化情况如下表：
易得函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞．…… … …（4分） （2）当0a =，1b =-时，()ln x f x x =+，
由()f x mx =，得ln x x mx +=，又0x >，所以ln 1x
m x
=+， 要使方程()f x mx =在区间2
[1,e ]上有唯一实数解，只需ln 1x m x
=+有唯一实数解…（6
分） 令2ln ()1(1e )x g x x x =+
≤≤，则2
1ln ()x
g'x x -=， 令()0g'x =，解得e x =，
当x 变化时，()g x 与()g x '的变化情况如下表：
易得函数()g x 在区间[1,e)上单调递增，在区间2
(e,e ]上单调递减． … ……（8分） 画出函数()g x 的草图(图略)，
因为(11)g =，1(e)1e g =+，22
2()e 1e g =+，所以2211e m ≤<+或11e
m =+， …（11分）
故方程()f x mx =在区间2
[1,e ]内有唯一的实数解时，
实数m 的取值范围是22{|11e m m ≤<+或1
1}e
m =+． …… …… … …（12分） 22. 解：（1）x
e a x x g )2()(++='，
当2--<a x 时，0)(<'x g ；当2-->a x 时，0)(>'x g ；
故()g x 在区间)2,(---∞a 上递减，在),2(+∞--a 上递增. …… …… … …（3分） （2）不等式e ex e x g x
-≥-3)(恒成立，即x e e
ex a x
--≥
3恒成立， …… … …（5分） 设x e
e
ex x f x
--=3)(，则x x e e ex e x f --='34)(， …… … …（6分） 设x
e ex e x h --=34)(，03)(<--='x
e e x h ，故)(x h 在R 上递减，…… … …（8分） 又0)1(=h ，故当)1,(-∞∈x 时，0)(>x h ；当),1(∞+∈x 时，0)(<x h ； 故)(x
f 在)1,(-∞上递增，在),1(∞+上递减；故)(x f 的最大值是1)1(=f ，
综上，a 的范围是),1[∞+． … … …… … …… … … …… …（12分）。